统计思想方法在求解整数列问题中的应用

侯作奎

统计的基本思想方法是用样本估计总体，即从总体中抽取一个样本，通过对这个样本的观察、研究而得出结果，去估计总体的相应结果.这个统计思想为求解某些整数列问题开辟了一条新的途径.

如果具有某些性质的整数在自然数列（“总体”）中的分布具有某种均匀性，那么就可考虑用统计思想方法.

下面举例说明.1求某些整数列的指定项

例1从自然数列1，2，3，…，中依次划去3的倍数，4的倍数，但其中5的倍数均保留（例如15，20都不划去），将划完后剩下的数依从小到大排列，构成数列{an}，其中a1=1，a2=2，a3=5，a4=7，…，那么a1997的值是（）.

A.3328B.3321C.3330D.3329

解①估计：前100项中，3的倍数共33个；4的倍数共25个；12的倍数共8个；15的倍数共6个；20的倍数共5个；60的倍数1个.

将自然数列的前n项按要求划去所述各数后，剩下的数的个数设为φ（n），则

φ（100）=100-（33+25-8）+（6+5-1）=60.所以φ（100）100=35.

设{an}的前1997项是从数列{n}的前m项中取出的，则1997m≈35m≈3328项，即a1997近似3328或3329.

②验证：为方便计算，取n=3330.

把前3330项自然数按要求划去所述各数，其中3的倍数1110个；4的倍数832个；12的倍数277个；15的倍数共222个；20的倍数共166个；60的倍数55个.

所以φ（3330）=3330-（1110+832-277）+（222+166-55）=1998.即自然数列{n}的前3330中，含有数列{an}的前1998项.

因为3330不划去，所以a1998=3330，因3329不划去，故a1997=3329.选D.

评这里取前100个自然数为“样本”，求出该样本中“事件A”（{an}的前r项）的容量与样本容量的比值，由此去估计出总体容量m（即数列{n}的项数）.然后对m及其附近的值加以验算、修正即可获得答案.

例2（1994年全国高中数学联赛第2试第2题）将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项.

解①估计：因105=3×5×7，那么与105互素的数，即是从自然数列1，2，3，…，中依次划去3的倍数、5的倍数、7的倍数后剩下的数，设这些剩下的数依从小到大排序构成数列{an}.

考虑自然数列前105项中与105互素的自然数的个数.

3的倍数35个；5的倍数21个；7的倍数15个；15的倍数7个；21的倍数5个；35的倍数3个；105的倍数1个.

将自然数列的前n项按要求划去所述各数后，剩下的数的个数设为φ（n），则φ（105）

=105-（35+21+15）+（7+5+3）-1=48.所以φ（105）105=48105=1635，即在自然数列的前105项中与105互素的数有48个，与样本容量之比为1635.

于是数列{an}取前1000项时，自然数列{n}的项数大约为1000÷1635≈2187，即a1000在2187附近.

②验证：把前2187个自然数按要求划去所述各数，其中3的倍数共729个；5的倍数共437个；7的倍数共312个；15的倍数共145个；21的倍数共104个；35的倍数共62个；105的倍数共20个.

所以φ（2187）=2187-（729+437+312）+（145+104+62）-20=1000.即数列{n}的前2187项中含有数列{an}的前1000项.

因2187{an}，2186在数列{an}中，故a1000=2186.2求某些整数列的项数

例3（1987年上海高三数学竞赛试题）已知等差数列{an}：5，8，11，…，与等差数列{bn}：1，5，9，…，均有300项，则有个数同时出现在这两个数列中.

解{an}的第300项为a300=5+299×3=902，即为自然数列{n}的第902项；{bn}的第300项为b300=1+299×4=1197，即是{n}的第1197项.这两个等差数列公差的最小公倍数是12.设数列{n}的前902项中，同时出现在这两个数列中的项构成数列{cn}，问题即求{cn}的项数n.

实际上，数列{cn}是从数列{n}中，自第5项起，以间隔为12，依次取出各数，按原序排列构成的一个等差数列.故取数列{n}的前12项为“样本”，其中仅有1项（即5）同在{an}与{bn}中，为样本容量的112.则n902=112，由此估计n≈75.

验证：因c75=5+（75-1）×12=893在{an}、{bn}中，但893+12=905>a300，即不在{an}中.故所求的n=75.

例4（普通高中课程标准实验教科书，必修5第46页第6题）有两个等差数列2，6，

10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和.

解{an}：2，6，10，…，190是从数列{n}中，自第2项起，以间隔为4，依次取出各数，按原序排列而成的数列；{bn}：2，8，14，…，200是从数列{n}中，自第2项起，以间隔为6，依次取出各数，按原序排列而成的数列；现从数列{n}中，自第2项起，以间隔为12，依次取出各数，按原序排列构成一数列{cn}.显然{cn}是等差数列，且cn=2+12（n-1）同时出现在{an}、{bn}中，设其项数为n.

仿例3的求法，有n190=112，估计n=15或16.因c16=2+12×15=182<190，

c17=194不在数列{an}中.所以n=16.

所以{cn}前16项之和为16=16（2+182）2=1472.

例5（江苏第三届高二数学通讯赛题）设f（x）=x2+5x+6，且={0，1，2，…，1994}，

a∈，f（a）能被6整除，具有这样性质的a的个数是.

解①估计：f（a）=a2+5a+6=a（a+5）+6.设a∈，f（a）被6整除，即a（a+5）被6整除的数，按从小到大排成一列，构成数列{an}，需求数列{an}的项数n.

考虑a在“样本”：0，1，2，3，4，5中取值，易知a=0，1，3，4时满足要求，此时a的取值个数与样本容量的比值为23，的容量为1995.则

n1995=23n=1330.

②验证：因1995=332×6+3，当a=6k+i（i=0，1，3，4）时，a（a+5）能被6整除.故将中的元素按从小到大，每连续6个数分为一组，可分为332组，余下三数：1992，1993，1994，每组有4项及1992，1993均在数列{an}中，但1994不在此数列中.

所以数列{an}中共有4×332+2=1330项.