浅谈卷长度的理论算法及应用

柯成森

一、前言

以卷的方式存在的产品、半成品是极为常见的，例如胶卷、合成革卷、贝斯、离型纸、纤维布卷、纸卷、铝卷、铜卷，等等。在产险理赔中，常需要计算卷的长度。

二、计算方法理论推导

1.阿基米德螺线法

由于卷是绕以r为半径的轴芯一圈一圈卷起来的，每绕一圈卷半径就增加δ。由此我想到了阿基米德螺线（图1）。阿基米德螺线，亦称“等速螺线”。当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，该射线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。这是首次由阿基米德在他著作《论螺线》中给出了定义。阿基米德螺线在极坐标体系的一般方程是

ρ（θ）=ρ0+aθ

ρ代表阿基米德螺线上的点到原点的距离，θ为角度（弧度制），a为常数，螺距等于2πa，即Δθ=2π时，Δρ=2πa。设螺线的螺距为δ，则a=以此为数学模型，考虑到螺线绕一周径向增大一个δ的特点，以卷起始点内侧离圆心距离r的位置作为螺线的起点，则方程为

ρ0=r，ρ（θ）=ρ0+θ

即ρ（θ）= r+θ

假设卷纏绕的圈数为n，根据图2可知n=，求卷长度就是计算螺线的弧长，ρ（θ）对积分就是弧长，θ使用弧度制。

这是利用阿基米德螺线极坐标方程，求得的卷长度计算公式。

2.面积法

如图2所示，卷从A点卷至D点时平直卷到B点（即过B点作⊙O切线交于D点），AB即卷的厚度δ，B点卷至E点时平直卷到F点，C点是第2圈开始的地方，从F点到C点假设为以B点为圆心、δ为半径的圆弧，以此类推。最后第n圈外缘交OX轴于G点，内缘交OX轴于J点。则OA=OD=r，OJ=OH=R，nδ=R-r。

下面计算卷侧面积。

设∠AOD=θ，θ采用弧度制，

图1 阿基米德螺线示意图 图2 面积法示意图

三、应用

【实例1】某合成革厂的贝斯（合成革的中间产品）卷，卷中心是一根外径8.9cm的铁轴，贝斯卷外径100cm，贝斯厚度1.4mm，问该卷贝斯长度为多少米？

根据公式①，计算贝斯长度如下：

L=π（R2-r2）/δ=π（0.52-0.04452）/0.0014=556.56m

【实例2】贝斯卷外径100cm，中心的铁轴外径8.9cm，该卷贝斯长度为600米，现平放被水浸泡离外缘20cm。问受损的贝斯长度为多少？

设未受损的贝斯长度为L`，未受损处半径为R`，则受损的贝斯长度ΔL=L-L`，R`=0.5-0.2=0.3m

根据公式①，有L=π（R2-r2）/δ，L`=π（R`2-r2）/δ，

经简单数学变换，有ΔL：L=（R2-R`2）：（R2-r2），即

ΔL=（R2-R`2）L/（R2-r2）=（0.52-0.32）*600/（0.52-0.04452）=387.07m， 即受损的贝斯长度为387.07米。

四、结语

综上，本文运用阿基米德螺线的方程，求得卷的长度计算公式为。也可运用“面积法”得到计算公式，其中。后者在θ极小情况下可简化成公式①。

根据该公式，产险公司理赔人员可以方便地计算受损卷的长度，以确定财产损失的数量。如在水灾理赔中，可以通过对受水浸泡的卷外沿环尺寸的测量，计算出受损卷材的长度。也可以根据相关参数，对火灾损毁的卷堆放空间进行假想复原推演，用以评估实际损失情况。

（作者单位：中国太平洋财产保险股份有限公司温州分公司）