大口径传输反射镜在装配紧固力下的面形误差分析

李桂华　王　辉　熊　召　高　亮　曹庭分　周　海

1.华中科技大学数字制造与装备技术国家重点实验室，武汉，4300742.清华大学，北京，100084　　3.中国工程物理研究院，绵阳，621900

大口径传输反射镜在装配紧固力下的面形误差分析

李桂华1王辉2熊召3高亮1曹庭分3周海3

1.华中科技大学数字制造与装备技术国家重点实验室，武汉，4300742.清华大学，北京，1000843.中国工程物理研究院，绵阳，621900

400 mm级通光口径的大型传输反射镜是我国在建的高功率固体激光装置中的关键部件，反射镜的面形精度对最终的激光打靶精度有直接影响。针对反射镜所采用的螺纹紧固型装配固定方式，通过结构有限元分析和波面拟合方法研究了理论螺纹紧固力和反射镜面形变化定量作用规律。考虑零部件的制造误差、材料以及人为操作等变化因素的影响，实际中各个螺钉的紧固力在一定范围内呈随机分布，基于蒙特卡罗模拟仿真方法研究了实际螺钉紧固力的不确定性对反射镜面面形精度的影响，得出了满足面形精度要求的临界紧固力大小，为现场反射镜装配工艺的校准和优化提供了理论借鉴。

大口径反射镜; 装配; 面形精度; 蒙特卡罗仿真

Abstrct: In China’s high power solid laser facility, precision mounting of 400 mm class large reflecting mirror is very important for the final targeting accuracy of laser beams. Considering that the reflecting mirror was mounted with screws array, the mathematical relationship among nominal fastening forces and the reflector surface deformation was studied with FEM method and wavefront polynomial methodologies. Furthermore, taking some real world factors such as, manfuactring errors, material properties and manual operations-into account, there was a random distribution within a wide range for real fastening forces even under same tightening torque. So a Monte-Carlo simulation method was proposed to predicate the impact of the uncertain fastening forces on the reflector’s surface deformation. Additionally, the force limitation was also obtained to control the surface deformation, which can be used to guide practical reflector precsion assembly.

0　引言

我国在建的大型高功率固体激光装置中，通光口径达到400 mm级的大口径传输反射镜主要用来执行高能激光束的引导与传输，因此，反射镜在光路中的装校精度会直接影响最终激光束的打靶精度。为了满足最终光路的打靶精度，必须保证反射镜在整个光路系统中的方位精度和反射镜的面形精度[1-4]，因此对反射镜的装配有严格的工艺要求，具体有两个性能要求：夹持稳定性和面形精度。夹持稳定性是指装夹完毕后的反射镜，经过运输振动和姿态旋转后，其法线相对镜框的角度改变量，这里要求反射镜法线相对镜框的角度变化应小于10″，即50 μrad；面形精度是指反射镜夹持后其面形满足波前指标要求，即波峰-波谷(peak-valley,PV)值小于1/(3λ)(λ为检测激光的波长，取λ=0.6328 μm)。

反射镜装配过程可分为定位和夹紧，装配前零件的生产加工满足了定位精度要求；夹紧力主要是保证装配后的定位精度不被破坏，即装配的夹持稳定性，在这里是通过螺钉预紧实现的。在螺钉预紧力的作用下，镜体会发生变形，PV值增大，面形精度恶化，从而影响激光束的传输特性，因此研究螺钉预紧力与面形精度之间的关系，确定合理的装配紧固方案，对提高反射镜及激光束组的装校精度有重要意义。

1　有限元分析模型的建立

反射镜主要结构如图1所示。影响反射镜面形精度的主要因素有三个：一是在镜面加工中产生的原始面形误差；二是由于反射镜自身重力引起的附加面形误差；三是装配过程中由螺钉紧固力引入的面形误差。这里反射镜面的加工误差不予考虑，利用有限元分析软件ANSYS分析自重和螺钉紧固力对镜面面形的影响，该反射镜尺寸为610 mm×440 mm×85 mm，材料为K9，材料的弹性模量为88 GPa，泊松比为0.215，密度为2520 kg/m3。

图1　反射镜结构(镜框四周侧面均布96个螺纹孔)

施加的载荷为反射镜自身重力、侧面和顶面的螺钉作用在反射镜上的正压力(底面的螺钉起位移约束作用)，在ANSYS中建立的有限元模型如图2所示。理想情况下每个螺钉施加的力大小相同。将压力以4 N的步长逐渐从0加到600 N，进行150次的结构分析，分别可以得到图3所示的反射镜整体形变。表1所示为通过结构分析得到的变形后镜面上的节点数据，这些数据将用于反射镜面形的拟合分析。

图2　反射镜有限元模型

图3　一次仿真的反射镜整体形变

节点X向坐标(mm)Y向坐标(mm)Z向(法线方向)坐标(nm)936264.2531718328-190.1556439500-6.87594775787937276.5385690060177.139066417110.81943700536938-264.2531664244190.155591053011.30908395998939-276.4739142669-177.2997257465-4.91054342026940-276.6879161078177.170323006510.42591599426941-292.1133405863186.590412694410.45142229798942-273.0508399636206.590412598811.80764556153︙︙︙︙

2　反射镜面的波面拟合和面形误差分析

2.1波面拟合

图3所示的反射镜的整体形变体现了其波前像差，包括了诸如平移量、倾斜量、离焦、像散、慧差、球差等。由于光学元件波前像差影响激光光束的波前质量和聚焦能力，因此控制波面误差就成为光学系统集成装校的一个关键问题。在波前像差中，平移量和倾斜量是刚性位移，进行反射镜面形分析时一般不直接由镜面上节点的Z向位移计算，而是将刚性位移项从面形数据中分离出来，在校准工序中对刚性位移进行补偿。对于离焦与像散等项目，美国NIF(national ignition facility)在研究过程中提出将光学元件的此类低级误差从面形数据中分离出来，然后从激光长程光路的整体性能出发，末端配置变形镜，通过波面拟合方法对系统进行整体补偿[5]。

波面拟合就是选择一个线性无关的基底函数系Z(x,y)对由有限元分析得到的反射镜面形变化的离散节点数据进行拟合，用连续的函数w(x,y)表示被测元件的面形[6]。传统的波面拟合采用的是Zernike多项式拟合方法，表示为

w(x,y)=q1Z1(x,y)+q2Z2(x,y)+…+

qnZn(x,y)=q ZT

(1)

其中，q=(q1,q2,…,qn)T为Zernike多项式系数；Z=(Z1(x,y),Z2(x,y),…,Zn(x,y))为n项Zernike多项式。

光学元件的刚性位移、离焦与像散等项目可以用Zernike多项式的前6项表示：

Z=(1,x,y,2(x2+y2)-1,x2-y2,2xy)

(2)

其中，Z1为常数项，表示沿Z方向的位移；Z2为x方向倾斜项；Z3为y方向倾斜项；Z4为离焦项；Z5为像散项，轴线方向为0°和90°；Z6为像散项，轴线方向为±45°。

以Z(取前6项)为基底拟合波面，拟合公式为

w(x,y)=q1+q2x+q3y+q4(x2+y2)+

q5(x2-y2)+q6xy

(3)

将变形后的节点坐标代入式(3)，反射镜面上节点个数为719，则可以得到719个方程，而未知量只有6个。矛盾方程组一般不存在通常意义下的解，可利用最小二乘法来求得参量q=(q1,q2,…,qn)T，得到拟合的波面。

2.2面形误差分析

光学元件的面形精度通常用波峰-波谷(PV)值和均方根(root sum square, RMS)值来表征。PV值对应的是波面峰值和谷值之间的差，RMS值体现了波面的变化的快慢，计算公式分别为[7]

EPV=maxdi-mindi

(4)

(5)

式中，di为节点i到理想波面的法向距离；Ai为与节点i关联的单元面积；At为总面积；N为总的单元节点数。

ANSYS中划分网格采用的是均匀划分的方式，所以RMS值可以简写为

(6)

(a)PV值

(b)RMS值1.初始面形　2.移除刚性位移后的面形3.移除刚性位移、离焦和像散项后的面形图4　PV值和RMS值与螺钉紧固力F间的关系

根据表1中的节点坐标可以得到的原始PV值和RMS值，通过波面拟合可以得到移除刚性位移后的PV值和RMS值以及移除离焦与像散项的PV值和RMS值，如图4所示。可以看出，紧固力F大于20N时各项PV值和RMS值均与压力值成线性关系。同等面形精度要求下，移除离焦与像散项后对应的压力值最大，也就是移除离焦与像散项后面形精度明显提高，从而提高了所允许的紧固力的上限，增加了稳定性。因此，面形精度分析参考美国NIF中光学元件的面形分析方法分离出波面中的低级误差离焦与像散项，反射镜面形精度要求为波面移除离焦与像散项后残余的面形PV值小于1/(3λ)即211nm。

3　基于蒙特卡罗法的螺钉紧固力不确定性分析

3.1螺钉紧固力的不确定性

反射镜采用了近百个锁紧螺钉密集排布夹紧的方式，以实现均匀预紧。单个螺钉的紧固力与安装扭矩之间的关系为[8]

(7)

式中，Ts为螺纹扭矩；D2为螺纹的中径；P为螺距；μs为螺纹摩擦因数；β为螺纹牙侧角(多取30°)。

根据螺纹紧固的基本理论，拧紧力矩与螺栓紧固力成线性关系，根据拧紧力矩就可得出紧固力。但实际中由于零部件工艺、材料、接触条件及安装顺序等的影响，在等拧紧力矩下，紧固力的离散性比较大，因此，通过拧紧力矩来控制螺栓紧固力的控制精度不高，其误差约为±25%，最大可达±40%[9]。因此需要研究紧固力的不确定性对镜面面形精度的影响。

3.2蒙特卡罗仿真

蒙特卡罗(MonteCarlo)方法亦称为随机模拟方法、随机抽样技术或统计试验方法，是一种基于概率论数理统计，通过随机变量的统计试验、随机模拟来求解问题近似解的数值方法[10]，因此蒙特卡洛法被广泛应用于不确定性的分析中，其一般分析流程如图5所示。

图5　蒙特卡罗仿真流程

螺钉紧固力的理论值用Fn表示，紧固力误差用p表示，紧固力的分布区间为[Fn(1-p),Fn(1+p)]，假定紧固力在这一区间内呈随机分布，利用ANSYS中的RAND()函数可以实现对紧固力的模拟。

3.3螺钉紧固力误差对面形的影响

将紧固力的理论值设为350N，紧固力误差p分别设为15%、20%、25%、30%、35%五个等级，对应不同的分布范围，分别进行500次的随机仿真，研究不同的紧固力误差p对面形精度的影响。紧固力的理论值为350N时，在不同的紧固力误差下得到波面移除离焦和像散项后的残余PV值和RMS值样本，如图6所示。图7中的频率分布直方图直观地体现了PV值样本的分布规律，本文分别假定样本呈正态分布和对数正态分布，进行分布拟合，得到对应的概率密度函数。从图7中可以看出对数正态分布可以更好地拟合样本，这是因为500次仿真的PV值并非严格地呈正态分布，而是呈正偏态分布，而对数正态分布是一种典型的正偏态分布；本文利用柯尔莫哥洛夫-斯摩洛夫(K-S)检验[11]对假设进行验证，验证置信度为0.05时原假设是否成立(在MATLAB中运用K-S检验函数kstest()进行处理，若返回值H=0则可以接受原假设，H=1则不能接受原假设)。从表2中可以看出，大多数情况下的样本不能假定为正态分布，而所有情况均可以假定为对数正态分布。

(a)PV值

图6 Fn=350 N时不同紧固力误差p下的仿真结果

(a)p=15%

(b)p=20%

(c)p=25%

(d)p=30%

(e)p=35%

图7Fn=350 N时不同紧固力误差下的仿真结果分布

由表2可以看出，随着紧固力误差p的增大，螺钉紧固力分布范围变大，样本的对数均值μ和对数标准差σ随之增大，PV值的超标率(PV值大于211 nm的概率)增大。对于正态分布，根据3σ原则，可以将上限LU定义为

LU=μ+3σ

对数正态分布的累计概率函数为

表2　Fn=350 N时仿真统计结果

故反射镜的面形PV值的上限可以表示为

EPVU=eμ+3σ

这样可以得到不同紧固力误差下的PV值上限EPVU，EPVU随螺钉紧固力误差的增大呈近似线性增长，如图8所示。

图8　Fn=350 N时紧固力误差对PV值的影响

4　反射镜装配工艺的确定

4.1螺钉安装力矩的确定

由上述分析可以得到，螺钉紧固力误差是影响反射镜面形精度的重要因素，为了提高面形精度，需要尽可能地减小紧固力误差。实际装配过程中，为保证螺钉的紧固力均匀一致，采用精度为2%的力矩扳手进行等扭矩拧紧，可以将螺钉的紧固力误差控制住±25%之内。为了得到在此条件下合适的理论螺钉紧固力，研究了不同理论紧固力对镜面面形的影响。在±25%的螺钉紧固力误差下，将理论紧固力分别设为180 N、220 N、260 N、300 N和340 N，分别进行500次仿真计算，得到图9所示的仿真结果。

(a)PV值

(b)RMS值

图9p=±25%时不同理论紧固力下的面形误差模拟结果

对仿真得到的样本进行对数正态分布拟合，进行统计分析，表3显示了其统计结果。由图10可以看出，在一定紧固力误差下，PV值随理论紧固力的增大呈近似线性增大，由拟合的直线可以得到，当PV值上限EPVU为211 nm时，理论紧固力为221.4 N，因此可以在实际装配中将螺钉的理论紧固力设置为221.4 N。反射镜组件中用到的螺钉材料为C1-70，镜框的材料为5A06，而钢和铝无润滑时的摩擦因数为0.3，取螺纹当量摩擦因数μs=0.3，查机械设计手册可知，D2=5.513 mm，P=0.75 mm，β=30°，根据螺钉紧固力与安装扭矩公式，计算出螺钉的安装扭矩为237.862 N·mm。

表3　p=±25%时的仿真统计结果

图10　p=±25%时Fn对PV值的影响

4.2实例验证

实际工程中由于扭矩扳手的读数显示精度问题，选定的螺钉安装扭矩为230±5 N·mm，分别对10块反射镜进行装配，用大口径干涉仪对装配完成的反射镜进行面形检测，测得的分离出离焦和像散项后的面形残余PV值如图11所示，230±5 N·mm的螺钉安装扭矩下，10块反射镜的面形PV值均小于211 nm，上述反射镜装配时的螺钉紧固方案得到了验证。

图11　面形测量结果

5　结语

针对高功率固体激光器中的大口径反射镜，通过结构分析和面形拟合进行了面形精度分析。首先针对理想情况(即螺钉紧固力均匀)研究了面形中没有分离出离焦与像散以及分离出离焦与像散后的面形PV值和螺钉紧固力之间的关系，然后针对实际中螺钉紧固力的不均匀，提出了用蒙特卡罗方法分析螺钉紧固力的不确定性对镜面面形的影响。研究发现，面形中分离出离焦与像散项后可以很大程度地增大装配所允许的紧固力，从而提高反射镜组件的稳定性；当螺钉紧固力在一定范围内随机分布时，多次仿真得到的面形PV值用对数正态分布可以较好地拟合，且随着螺钉紧固力误差的增大，螺钉紧固力的分布范围变大，面形PV值超标率也变大，根据3σ原则得到的PV值的上限随螺钉紧固力误差的增大近似呈线性增大，故改进螺钉紧固力的精度可以提高面形精度。

[1]Bray M, Liard A, Chabassier G. Laser Méga Joule Optics(Ⅰ): New Methods of Optical Specification[C]//Proc. SPIE 3739, Optical Fabrication and Testing. Berlin: SPIE, 1999:449-460.

[2]Liard A, Bray M, Chabassier G. Laser MégaJoule Optics(Ⅱ): Wavefront Analysis in the Testing of Large Components[C]//Proc. SPIE 3739, Optical Fabrication and Testing. Berlin: SPIE, 1999:461-472.

[3]Mainguy S, Airiau J, Bart T, et al. Update of Laser Mégajoule Large Optics Wavefront Performance Requirements[C]//Proc. SPIE 8602, High Power Lasers for Fusion Research II. San Francisco: SPIE, 2013:86020G-1～86020G-7.

[4]Hurst P A, Grasz E L, Wong H, et al. Optical Assembly and Alignment for the National Ignition Facility Project[C]//Proc. SPIE. 3264, High-Power Lasers. San Jose: SPIE, 1998:86-92.

[5]Spaeth M L, Manes K R, Widmayer C C, et al. The National Ignition Facility Wavefront Requirements and Optical Architecture[J]. Optical Engineering, 2004, 43(12): 2854-2865.

[6]Loomis J S. FRINGE User’s Manual[M]. Tucson: University of Arizona, 1976.

[7]Doyle K B, Genberg V L, Michels G J. Integrated Optomechanical Analysis[M]. Washington D C: SPIE Press, 2002.

[8]卜炎. 螺纹联接设计与计算[M]. 北京:高等教育出版社, 1995.

[9]赵曼, 控制螺栓联接预紧力的方法[J]. 华电技术, 2006(7): 36-38.

Zhao Man. The Methods of Controlling Pre-tightening Load of Bolt Connections, Water Conservancy & Electric Power Machinery[J]. Huadian Technology,2006(7): 36-38.

[10]徐钟济. 蒙特卡罗方法[M]. 上海:上海科学技术出版社,1985

[11]Wilcox R R. Some Practical Reasons for Reconsidering the Kolmogorov-Smirnov Test[J]. British Journal of Mathematical and Statistical Psychology, 1997, 50(1): 9-20.

(编辑苏卫国)

Surface Error Analysis of Large Reflecting Mirror under Assembly Fastening Forces

Li Guihua1Wang Hui2Xiong Zhao3Gao Liang1Cao Tingfen3Zhou Hai3

1.State Key Laboratory of Digital Manufacturing Equipment and Technology,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan,430074 2.Tsinghua University,Beijing,100084 3.China Academy of Engineering Physics,Mianyang,Sichuan,621900

large reflecting mirror; assembly; surface accuracy; Monte-Carlo simulation

2014-05-21

TH16DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.09.008

李桂华，女，1989年生。华中科技大学机械科学与工程学院硕士研究生。主要研究方向为光学装备的计算机辅助精密装配技术。王辉(通信作者)，男，1977年生。清华大学机械工程系副研究员。熊召，男，1983年生。中国工程物理研究院激光聚变中心助理研究员。高亮，男，1974年生。华中科技大学机械科学与工程学院教授。曹庭分，男，1977年生。中国工程物理研究院激光聚变中心助理研究员。周海，男，1969年生。中国工程物理研究院激光聚变中心研究员。