基于上采样和高阶Hermite插值滤波器组的超宽带数字波束形成技术研究

杜强， 宋耀良， 季晨荷， 曹东

(南京理工大学 电子工程与光电技术学院， 江苏 南京 210094)



基于上采样和高阶Hermite插值滤波器组的超宽带数字波束形成技术研究

杜强， 宋耀良， 季晨荷， 曹东

(南京理工大学 电子工程与光电技术学院， 江苏 南京 210094)

直接延时(DTD)补偿是超宽带(UWB)信号波束形成的有效方法，其数字波束形成(DBF)的效果与DTD滤波器的频率特性有直接的关系。在分析现有Lagrange插值滤波器存在问题的基础上，研究了利用多路上采样和高阶Hermite插值滤波器结合实现 UWB信号DTD的方法，以及通过多路延时补偿实现UWB信号DBF的技术。提出了一种结构简单的固定系数插值DTD补偿滤波器组的DBF实现方法。理论分析与仿真结果表明，与Lagrange插值法相比，该方法不仅实时性更好，而且在采样率低于Nyquist率时能更好地恢复原始UWB信号，其UWB信号DBF性能明显优于传统方法。

雷达工程； 超宽带雷达； 波束形成； 高阶Hermite插值； 上采样

0　引言

高分辨力超宽带(UWB)雷达因其具有很强的“四抗”能力在区域预警、警戒和安检和反恐等领域有广泛的应用前景，而UWB信号的波束形成是UWB雷达实现高分辨探测和成像的关键性课题。传统相控阵雷达运用的移相法因受信号带宽的制约，应用在UWB雷达信号波束形成时存在扫描角度范围受限，波束指向偏移等问题[1-2]，因此相控阵技术不能运用于UWB雷达信号波束形成中。

目前，UWB信号的波束形成方法可分为频域和时域两大类，文献[3-4]研究并比较了这两类方法，频域法易于多波束形成，但由于频率对阵列流型向量的影响，会引起波束偏移等问题，而时域法是一种实时处理方法，消除了频域法存在的问题。直接延时(DTD)补偿法利用精确延时实现时域波束形成，是近年来UWB信号处理的研究热点[5-13]。目前实现DTD的实现方法可分为模拟和数字两类[5-7]。文献[5]提出了光纤模拟延迟线方法，但由于模拟延迟线实现困难，灵活性差，造价昂贵。使用数字延时技术实现DTD则相对简单灵活，更利于与现代多输入多输出(MIMO)技术结合，实现多路UWB信号的处理。分数延时滤波是目前使用数字延时技术实现DTD最为简便易行的技术，因而得到了广泛关注[14-19]。传统分数延时滤波器，例如Lagrange分数延时滤波器[6]和Farrow结构滤波器[7]，它们的幅频特性与群时延特性在近Nyquist采样率情况下性能恶化，因而导致在UWB信号波束形成中信号高频部分衰减变大，数字波束形成(DBF)增益下降[6-7]。文献[22]在文献[20-21]的基础上，利用Hermite分数延时滤波器，解决了传统分数延时滤波器幅频特性与群时延特性随频率的增加而恶化的问题[14]，有利于UWB信号波束形成。然而文献[22]提出的方法需要针对不同信号入射角不断调整滤波器系数，结构较复杂，且采用Nyquist采样率，完成一次插值需要的采样点数较多，实时性不够理想。本文在上述文献基础上，研究了利用多路低速采样代替单路高速采样，并结合上采样和高阶Hermite插值滤波器结合实现 UWB信号DTD，以及通过多路延时补偿实现UWB信号DBF的技术，提出了一种结构简单的固定系数插值DTD补偿滤波器DBF实现方法。该方法相比最常用的Lagrange插值法能更准确地恢复UWB信号，计算量更小，恢复出的信号相关性更好。与文献[22]滤波器系数随信号入射角有关相比，本文使用了固定系数的Hermite插值滤波器，简化了结构，降低采样率为Nyquist率的一半，且完成一次插值所需采样点数大大减少，提高了实时性。仿真结果表明UWB线性调频信号高频部分波束增益不下降，旁瓣更低，其DBF效果明显优于传统方法。

1　UWB信号DTD补偿及波束形成原理

使用传统Lagrange插值法应用在超宽带信号波束形成时将导致信号高频部分波束增益下降。而文献[22]的方法针对不同的波达方向，各单元滤波器组的系数需要不断调整，以满足延时补偿的需求，系统结构复杂，同时采样率较高。针对上述问题，本文提出了基于多通道上采样和固定系数高阶Hermite插值滤波器共同实现DTD补偿的UWB信号DBF的方法。图1为使用该方法的等间距线阵单元DBF系统原理图，其中L为阵元数。图2为图1中子系统高阶Hermite插值滤波器组的内部结构图。

图1　UWB阵列DBF原理图Fig.1　The principle of a linear array DBF for UWB signals

图2　高阶Hermite插值滤波器组内部结构图Fig.2　The inner structure of high-order Hermite interpolation filter sets

假设UWB信号入射方向与阵元法线方向夹角为θB，Hermite插值滤波器组第i个单元输入的接收信号为si(t)，i=0,1,…,L-1. 然后，si(t)分成4路，1路直接通过，其余分别通过1阶、2阶、3阶模拟微分器，得到s′i(t)、s″i(t)、s‴i(t). 接着，对4路信号以低于Nyquist率的采样率(1/T2)进行采样得到离散信号si(nT2)、s′i(nT2)、s″i(nT2)、s‴i(nT2). 通过对4路采样信号的M倍上采样提高数字延迟的准确性。随后4路信号分别通过对应的Hermite插值滤波器后将4路输出相加恢复与原始信号si(t)对应的高采样率信号fi(nT1)，其中T1/T2=1/M，如图2所示。

设天线单元0为基准，天线单元i相对于天线单元0传播延时可表示为

(1)

τi0(θ)是信号入射角θ和阵元间距d的函数。第0个天线单元接收信号为s0(t),则第i个通道接收信号可表示为si(t)=s0(t-τi0(θ))，i=0,1, …,L-1，信号通过该天线单元的Hermite插值滤波器组后，该单元输出的信号为

fi(nT1)=s0(t-τi0(θ))|t=nT1.

(2)

以此类推，得到L组高速采样合成信号fi(nT1)，i=0,1,…,L-1.

设gi(nT1)是fi(nT1)经过数据移位后的信号，令gi(nT1)=fi((n+Di)T1)，Di为整数。那么

gi(nT1)=fi(t+γi0)|t=nT1=s0(t-τi0+γi0)|t=nT1.

(3)

当γi0满足如下关系时，便在信号入射角θB上形成波束，

τi0=γi0=idsinθB/c=DiT1,

(4)

然后通过对其进行数据移位，实现对来自θB方向上信号的叠加。当上采样率足够高时,完全能满足波束形成的要求。阵列的输出为各个通道的输出信号相加，即

(5)

此时各天线阵元对入射角为θB上的信号实现叠加，阵列获得最大的输出功率。

2　高阶Hermite插值滤波器

与传统的Lagrange插值滤波器实现DTD相比，高阶Hermite插值滤波器组在采样率低于Nyquist率时不仅能够更准确地恢复UWB信号，而且能够以更短的滤波器阶数实现DTD，有更好的实时性。高阶Hermite插值法描述如下：

给定N+1个不同节点(t0,x(t0)) ，(t1,x(t1))，…，(tN,x(tN))，N+1个与其相应1阶导数节点(t0,x′(t0))，(t1,x′(t1))，…，(tN,x′(tN))，N+1个与其相应2阶导数节点(t0,x″(t0))，(t1,x″(t1))，…，(tN,x″(tN))，N+1个与其对应的3阶导数节点(t0,x‴(t0))，(t1,x‴(t1))，…，(tN,x‴(tN))，那么一定能找到一个4N+3次多项式P4N+3(t)满足以下(6)式：

x(t)≈P4N+3(t)=

(6)

(7)

可以求得

(8)

式中：

(9)

t∈[0,N]，tk=n-k，ti=n-i.

可以通过下面的公式得到高阶Hermite插值滤波器组hl(u) ，u∈[0,N×M-1]，l=0,1,2,3的系数。

(10)

3　性能分析

3.1Hermite插值滤波器误差分析

考虑UWB线性调频信号

(11)

式中：f0为起始频率；μ为调频斜率，μ=-B/t0，B为信号带宽，t0为连续信号时长；t∈[0,t0]. 1/T2为Nyquist采样率的一半，1/T3为Nyquist采样率，即T2/T3=2，T1/T2=1/M，T1/T3=2/M，那么高速采样后的离散线性调频UWB信号可以表示为

(12)

可以利用s(t)的采样s(nT3)或者利用s(t)、s′(t)、s″(t)、s‴(t)的采样s(nT2)、s′(nT2)、s″(nT2)、s‴(nT2)得到合成高速采样信号f(nT1). 评价插值滤波器性能的好坏，可用误差20log |f(nT1)-s(nT1)|衡量。

图3和图4分别给出了使用Lagrange插值滤波器和高阶Hermite插值滤波器的插值误差。其中f0=2.2 GHz，B=0.5 GHz，1/T1=281.6 GHz，1/T2=2.2 GHz，1/T3=4.4 GHz，t0=4.65×10-7s，即该信号频率扫描范围为2.2～1.7 GHz. 使用Lagrange法的滤波器阶数N=32M-1，采样率为Nyquist率1/T3，而Hermite法的滤波器阶数N=4M-1，采样率为Nyquist率的一半(1/T2). 从图3和图4中可以看出，使用Lagrange插值法的误差较大，尤其在信号高频部分误差接近0 dB，因此导致阵列信号高频部分波束增益下降。而使用高阶Hermite插值法的误差即使在抽样率为Lagrange插值法的一半时，即Nyquist率的一半时，其插值误差在信号全部频段内均小于-49 dB，能够准确恢复UWB信号，性能出色。同时高阶Hermite插值法滤波器阶数N=4M-1，滤波器阶数更小，群时延相比与Lagrange插值法更低，有更好的实时性，且完成一次插值所需采样点数大大减少，降低了计算量。

图3　使用Lagrange插值滤波器的插值误差曲线Fig.3　The interpolation error using the Lagrange interpolation filter(sampling frequency=4.4 GHz)

图4　使用Hermite插值滤波器的插值误差曲线Fig.4　The interpolation error using the Hermite interpolation filter(sampling frequency=2.2 GHz)

3.2UWB线性调频信号的波束形成仿真结果分析

假设接收信号仍然为上述线性调频信号，信号入射角θB只有一个，为29.14°，阵元间距d=0.07 m，阵列天线数目L=16，各天线单元接收信号的信噪比为0 dB. 为进一步降低旁瓣，用-30 dB Chebyshev窗函数加权处理。图5和图6分别为当L=16时使用Lagrange法和Hermite法的波束图。其中使用Lagrange法的采样率为1/T3，即Nyquist率，而使用Hermite法的采样率为1/T2，为Nyquist率的一半。为更清楚地表明信号频率对波束增益的影响，图7中画出了图5与图6中的来波方向的频率- 增益二维剖面，从图7中可以看出对于来波方向上的信号，Lagrange法使UWB线性调频信号波束增益下降2 dB以上，尤其是信号的高频部分衰减更大，波束增益衰减7 dB. 而使用Hermite法的信号在高频区波束几乎无衰减，波束增益没有下降。为更清楚地说明两种插值方法对波束的影响，在图8和图9中选择了1.7 GHz、2.0 GHz和2.2 GHz这3个频率，画出了使用两种插值方法的波束图对比，即频率- 副瓣二维剖面。从图8和图9中可以看出，在波束宽度相同的条件下，使用Hermite插值法的旁瓣较Lagrange插值法更低。旁瓣低的原因是使用Hermite插值法能更准确地恢复出高速采样UWB信号，且恢复出的信号相关性更好。两种方法时间复杂度均为O(M).

图5　使用Lagrange法接收波束图Fig.5　Beam pattern of the array using Lagrange interpolation method(L=16, θB=29.14°,d=0.07 m, sampling frequency=4.4 GHz,SNR=0 dB)

图6　使用Hermite法接收波束图Fig.6　Beam pattern of the array using Hermite interpolation method(L=16, θB=29.14°,d=0.07 m, sampling frequency=2.2 GHz,SNR=0 dB)

图7　来波方向频率- 增益二维剖面Fig.7　The 2D frequency-gain section from the direction of arrival

图8　3个频率下使用Lagrange法接收波束图Fig.8　Beam pattern of the array using Lagrange interpolation method for three different frequencies(L=16, θB=29.14°,d=0.07 m, sampling frequency=4.4 GHz,SNR=0 dB,f=1.7 GHz,2.0 GHz,2.2 GHz)

图9　3个频率下使用Hermite法接收波束图Fig.9　Beam pattern of the array using Hermite interpolation method for three different frequencies(L=16, θB=29.14°,d=0.07 m, sampling frequency=2.2 GHz,SNR=0 dB,f=1.7 GHz,2.0 GHz,2.2 GHz)

4　结论

本文研究了基于DTD补偿UWB信号DBF的原理和实现，提出了基于上采样技术和高阶Hermite插值滤波器的DTD补偿波束形成方法。理论分析和计算机仿真表明该方法能更好地恢复原始UWB信号，特别在滤波器阶数较低时，该方法对信号高频部分的恢复效果大大优于目前最为常用的Lagrange插值滤波器，计算量更小，且恢复出的信号相关性更好。该方法无需调整高阶Hermite插值滤波器的系数，结构简单，同时降低采样率为Nyquist率的一半，而且完成一次插值所需采样点数更少，提高了实时性。UWB线性调频信号的实例仿真表明，与Lagrange插值法相比，UWB信号高频部分波束增益不下降，旁瓣更低，大幅改善了UWB的DBF性能。虽然该方法降低了对采样率的要求，但由于处理的是UWB信号，为保证实时性，采样率仍然较高，在实现上有一定难度。该方法的实现是下一步的研究工作。

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Research on UWBDBF Using Direct Time Delay Compensation Based on Up-sampling Technology and High-order Hermite Interpolation Filter Sets

DU Qiang, SONG Yao-liang, JI Chen-he, CAO Dong

(School of Electronic and Optical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, Jiangsu, China)

Direct time delay (DTD) compensation is an effective method for beamforming of ultra-wideband (UWB) signal. The digital beam-forming (DBF) performance is directly related to the frequency response of the DTD filter. Based on the analysis of problems existing in Lagrange interpolation filter, a novel method utilizing interpolation filter sets with fixed coefficients is presented to implement DBF. High-order Hermite interpolation filter sets with simple structure combing multi-channel up-sampling technology are applied to DTD and the DBF of UWB signals is achieved by multi-channel delay compensation. Theoretical analysis and simulation results show that the proposed method is featured by a more accurate recovery of UWB signals when sampling rate is less than the Nyquist rate. It has a better real-time and an obviously superior DBF performance compared to the traditional methods such as Lagrange.

radar engineering; UWB radar; beamforming; high-order Hermite interpolation; up-sampling

2014-03-06

国家自然科学基金项目(61071145、61271331)

杜强(1985—)，男，博士研究生。E-mail:qdu1023@gmail.com;

宋耀良(1960—)，男，教授，博士生导师。E-mail:ylsong@mail.njust.edu.cn

TN958.6

A

1000-1093(2015)04-0696-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.04.018