随机利率和分数跳-扩散过程下的幂期权定价

邓小华，冯世强

(1．四川广播电视大学，四川 成都 610073 ;2．西华师范大学数学与信息学院，四川 南充 637009)

1 引 言

随着数理金融的蓬勃发展，期权定价问题逐渐成为计量经济学和金融数学研究的热点．已经从经典的B-S 模型，发展到欧式期权、亚式期权、实物期权的研究．一方面，偏差因素的随机性越来越高，无限地贴近交易市场的实际情形，如标的资产的价格、预期收益率、波动率和利率从常数转变为时间t 的随机函数．另一方面，诞生了越来越多的新型期权．幂期权就是其中一种典型的新型期权．幂期权根据到期日的执行条件不同分为两类，每一类都有看涨和看跌两种情形．它与标准期权的主要区别在于:持有人在期权到期日不仅可以得到一个标准的价值损益，还能将这个价值损益提高到它的n 次幂． 如:在到期日，看涨幂期权的价值为-K(其中，K 是执行价格，ST是到期日标的资产的价格，n∈N*)．由此，两类幂期权在到期日的价格可以表示为如下形式［1］:

1)第一类幂期权:

2)第二类幂期权:

幂期权的研究受到国内外学者们的广泛关注．Blenman，Clark［2］考虑了B1ack-schok 模型下幂式交换期权的价值;赵巍［3］提出用测度变换方法解决随机幂式期权的定价模型;苏小囡等［4］假设标的资产价格服从跳-扩散过程，市场利率满足Vasicek 模型，当随机利率与资产价格相关时，通过测度变换的方法，选取不同的概率测度，给出幂式期权的价格公式并得到几种特殊情况时的结论;李超［5］假定股票价格服从分数O-U过程，利率服从分数Vasicek 利率模型，利用风险中性定价公式及随机分析理论等，给出两类欧式幂型看涨、看跌期权的定价公式;笔者［6］也曾在随机利率环境下，研究了标的资产价格服从分数O-U 过程的幂期权定价问题，得到相应的定价公式．上述模型中，标的资产的价格大都基于Brown 运动．但在现实市场中，突发事件是不可避免的，如:自然灾害，政府政策变化等．它们会对金融市场产生巨大影响，导致股价、汇率等出现大幅度的跳跃．Merton 于1976年首次引入跳-扩散模型［7］，在几何Brown 运动上加入刻画市场突发事件引起标的资产价格波动的复合Poisson 过程．实证研究表明，跳-扩散模型更切合实际．同时，标的资产的对数收益率服从一种“尖峰厚尾”的分布，存在长期相关的分形特征．

本文假设期望收益率和波动率均为关于时间t 的非随机函数，在扩展的Vasicek 利率模型和分数跳-扩散模型下，导出了两类幂期权的看涨(看跌)定价公式．

2 模型介绍

2．1 分数Brown 运动下的积分定义

分数Brown 运动具有长期依耐性、自相似性等特征，是一个连续的Gauss 过程{BH(t)，t∈R}，BH(0)=0，E(BH(t))=0，CH(t，s)=(|t|2H+ |s|2H- |t-s|2H)/2 ．其中，0 ＜H ＜1，H 称为Hurst 指数．当H =0．5 时，BH(t)即为几何Brown 运动B(t);当H≠0．5，{BH(t)，t∈R}既不是马氏过程，也不是半鞅，因此不能用通常的随机积分理论来分析．文献［8］用Wick 积和分数噪声理论定义了H ＞0．5 时的一种随机积分:

其中，◇为Wick 积．

2．2 Vasicek 利率模型

在分数风险中性测度Q 下，假设利率r(t)满足如下的随机微分方程:

其中:a(t)描述利率的长期水平，b(t)是调整短期和长期关系的均值回复率;BQ(t)为风险测度Q 下的几何Brown 运动，记其与分数Brown 运动的相关系数为ρ，σr(t)是波动率．这就是扩展的Vasicek 模型［6］．

2．3 分数跳-扩散模型

若把跳-扩散模型中的几何Brown 运动B(t)扩展为分数Brown 运动BH(t)，就得到分数跳-扩散模型．即标的资产价格过程{S(t):t≥0}满足随机微分方程:

其中，{BH(T)，0≤t≤T}为概率空间(Ω，F，P)上的分数Brown 运动，r(t)是t 时刻的短期利率，它等于期望收益率，σ(t)是t 时刻的波动率;Qt为标的资产价格在时间段［0，t］内发生随机跳跃的次数，它是服从参数为λ 的Poisson 过程，J(t)表示跳跃的相对高度，θ=E［J(t)］且ln(1 +J(t))～N(ln(1 +θ)-δ2/2，δ2)，

由式(2)两边同除以S(t)，有

由分数Brown 运动下的积分定义(1)，得到(详见文献［8］):

2．4 引理［6］:

3 期权定价公式及其证明

3．1 第一类幂期权的定价

定理1:假设利率满足扩展的Vasicek 模型(2)，标的资产价格满足分数跳-扩散模型(3)，且在［0，t］内发生n 次跳跃，若执行价格为K，到期日为T，则第一类看涨幂期权在到期前任意时刻t 的价格为:

N(·)表示标准正态分布的累积概率．

证明:根据无套利定价理论，第一类看涨幂期权在时刻t 的价格

记EQ［·］为分数风险中性测度Q 下的拟条件数学期望算子，，则有

式(7)中第一项的计算:由式(4)和引理，有

同理，可以计算式(7)中的第二项，如下:

将以上两式的结果带入式(7)，从而得到式(6)的结果．证明完成．

由看涨-看跌平价关系，很容易得到第一类看跌幂期权在到期前任意时刻t 的定价公式．

定理2:假设利率满足扩展的Vasicek 模型(2)，标的资产价格满足分数跳-扩散模型(3)，且在［0，t］内发生n 次跳跃，若执行价格为K，到期日为T，则第一类看跌幂期权在到期前任意时刻t 的价格为:

其中:N(·)表示标准正态分布的累积概率，

注:1)当J(t)=0，H=0．5 时，定理1 和定理2 就是随机利率下第一类看涨(跌)幂期权的定价公式．2)当σr(t)=0，H=0．5 时，定理1 和定理2 就是跳扩散模型下第一类看涨(跌)幂期权的定价公式．3)当J(t)=0 时，定理1 和定理2 的定价公式与文献［5］中随机利率和分数布朗运动下幂期权的定价公式对应等价．

3．2 第二类幂期权的定价

定理3:假设利率满足扩展的Vasicek 模型(2)，标的资产价格满足分数跳-扩散模型(3)，且在［0，t］内发生n 次跳跃，若执行价格为K，到期日为T，则第二类看涨幂期权在到期前任意时刻t 的价格为:

证明:根据无套利定价理论，有

由引理，将式(4)代入，得到

将式(13)和式(14)代入式(12)，得到定理3 的结论．证明完成．

由看涨-看跌平价关系，很容易得到第二类看跌幂期权在到期前任意时刻t 的定价公式．

定理4:假设利率满足扩展的Vasicek 模型(2)，标的资产价格满足分数跳-扩散模型(3)，且在［0，t］内发生n 次跳跃，若执行价格为K，到期日为T，则第二类看跌幂期权在到期前任意时刻t 的价格为:

注:1)当J(t)=0，H=0．5 时，定理3 和定理4 就是随机利率下第二类看涨(跌)幂期权的定价公式．2)当σr(t)=0，H=0．5 时，定理3 和定理4 就是跳扩散模型下第二类看涨(跌)幂期权的定价公式．3)当J(t)=0 时，定理3 和定理4 的定价公式与文献［5］中随机利率和分数布朗运动下幂期权的定价公式是对应等价的．

4 结 论

本文考虑利率的随机性和标的资产价格的跳跃性，在随机利率和分数跳-扩散过程下研究了两类幂期权的无套利定价．运用无套利定价原理和随机微分理论，导出并证明了两类看涨(跌)幂期权的定价公式，使文献［5］的结果得到了相应的扩展．

［1］ 赵佃立．分数布朗运动环境下欧式幂期权的定价［J］．经济数学，2007，24(1):22 -26．

［2］ BLENMAN L P，CLARK S P． Power exchange options［J］．Finance Research Letters，2005 (2):97 -106．

［3］ 赵 巍，何建敏．基于测度变换方法的随机型创新幂式期权定价［J］．中国管理科学，2009 ，17 (2):21 - 23．

［4］ 苏小囡，王文胜．幂式期权在跳扩散模型下的定价［J］．华东师范大学学报，2011，5(3):12 -20．

［5］ 李 超．分数维Vasicek 模型下欧式幂型期权的定价公式［J］．中国科技信息，2014，2:167 -170．

［6］ 邓小华，何传江，方 知．随机利率下服从分数O-U 过程的幂期权定价［J］．经济数学，2009，26(1):64 -71．

［7］ MERTON R C． Option pricing when underlying stock return are discontinuous［J］．Journal of Economics，1976(3):125 -144．

［8］ HU Y，ФKSENDAL B． Fractional white noise calculus and applications to finance［J］． Infinite Dimensional Analysis，Quantum Probability and Related Topics，2003，6:1 -32．