测量设备无关量子密钥分配的综合参数估计

王 洪 马 智 江浩东 高 明

(数学工程与先进计算国家重点实验室(信息工程大学) 郑州 450001)(007jieyong@sina.com)



测量设备无关量子密钥分配的综合参数估计

王 洪 马 智 江浩东 高 明

(数学工程与先进计算国家重点实验室(信息工程大学) 郑州 450001)(007jieyong@sina.com)

参数估计(单光子计数率与误码率)是影响诱骗态MDI-QKD(measurement device-independent quantum key distribution)成码率的重要因素.利用综合估计的方法，研究采用自发参量下转换(spontaneous parametric down conversion, SPDC)源的MDI-QKD参数估计问题.区别于已有的独立估计方法，从平均计数率和误码率方程组中得到参数解析式，然后充分考虑参数之间的关联性，将其作为一个整体函数进行分析.通过在闭区间内求函数最小值，给出了更紧的安全码率估计.该方法为进一步提升此类MDI-QKD协议的性能提供了思路.

量子密钥分配；诱骗态；测量设备无关；自发参量下转换源；统计涨落

量子密钥分配(quantum key distribution, QKD)具有理论上的无条件安全性，然而，实际系统不可避免地会存在误差和缺陷，从而带来安全问题.探测器是QKD系统的重要部件，当前针对实际QKD系统的攻击方案大部分是基于探测器漏洞开展的.如果能解决探测器漏洞则很大程度上能够提升实际QKD系统的安全性.Lo等人[1]提出测量设备无关(measurement device-independent, MDI)QKD，该方案对探测端设备没有任何要求，甚至可以假设其是不可信的.鉴于MDI-QKD良好的安全性和可行性，众多研究者对其进行了深入的理论与实验研究.

图1 基于参量下转换源的MDI-QKD

MDI-QKD的一个基本安全假设是源可信，然而，在当前技术条件下，理想的单光子源并不具备良好的实用性.因此，采用弱相干源(weak coherent state source, WCSs)或自发参量下转换(spontaneous parametric down conversion, SPDC)源，结合成熟的诱骗态方法成为更好的选择.在成码率公式中，关键是给出单光子产率(yield)Y11的下界和误码率e11的上界.不少研究者对结合诱骗态方法的MDI-QKD进行了深入研究，给出了各种有效的估计方法.核心思想是在假设相同光子数脉冲具有相同计数率和误码率的基础上联立方程，分别对隐私放大项中的2个参数Y11和e11进行估计.事实上，这2个参数之间存在一定的关联，分别估计时，Y11的下界和e11的上界很可能无法同时达到.因此，独立估计得到的码率不够紧致.针对这一问题，我们在前期工作中提出了针对弱相干光源的综合估计的方法，给出了更好的码率估计[2].

SPDC源是除WCSs外的另一类实际可用光源，虽然目前没有后者应用广泛，但其理论与实验研究也引起了广泛关注[3-5].事实上，在Wang(王向斌)等人[6]的研究工作中，并没有对光子数分布的具体形式做限定，只是要求其满足一定的性质.因此，在其框架下，SPDC源与WCSs均可直接应用.

从本质上来说，在诱骗态MDI-QKD的安全码率公式中，核心是要估计表达式Y11[1-h(e11)](这里将其称为隐私放大项)的下界.本文采用综合估计的方法，研究基于SPDC源的MDI-QKD参数估计问题.从平均计数率与误码率联立方程中直接给出含单光子计数率Y11和误码率e11的隐私放大项解析式，同时在闭区间内求该解析式的最小值，得到了更紧的估计值，提升了协议的安全密钥率.

1 基于参量下转换源的MDI-QKD

对于采用SPDC源的MDI-QKD方案，其基本原理如图1所示.图1中，PDC表示非退化的SPDC过程，BS是分束比为50∶50的分束器，PM是相位调制器.Alice和Bob分别控制其光源发送脉冲，经过非线性晶体后，自发产生非退化的参量下转换过程.根据标记探测器工作状态的不同会产生2类信号：一类是标记量子态；另一类信号经过分束器BS，分成参考量子态和信号量子态.信号量子态经过相位调制器PM加载相位信息后，完成信号编码过程.随后，参考量子态和信号量子态均经过不安全的量子信道，发送给非可信第三方进行Bell测量.最后，进行后处理过程，提取安全密钥.事实上，脉冲自Alice和Bob发出后，这种方案和标准的MDI-QKD基本框架是一致的.值得注意的是，在这类方案中，量子态的制备会涉及探测过程，即标记探测器.这里对探测的要求和最终的第三方Bell测量不同，必须保证是可信的.这和MDI-QKD本身的要求并不矛盾，因为这里的标记探测属于信号源的范畴，可以置于可信区域.

本文主要分析对象是已有的主被动三强度MDI-QKD协议[7]，该协议实际上是在标准的被动诱骗态协议中主动增加一个诱骗态.下面对其进行简单描述.

Alice和Bob分别选择3种不同的光强：真空态0，诱骗态vA，信号态μA(0，vB，μB)，并制备对应的量子态；取决于标记探测器的工作状态，不同光强的脉冲均被分为2部分：标记脉冲和非标记脉冲.Alice和Bob的脉冲信号进一步经过分束器BS后，其中一路利用相位调制器PM进行相位信息的加载，然后2路信号通过不安全信道发送给非可信第三方，完成联合Bell测量.协议的基本前提：即使是不同强度的光信号(信号态和诱骗态)，其相同光子数脉冲具有相同的计数率和误码率.

2 隐私放大项的综合估计

在上述协议中，如果只考虑Z基下的标记脉冲成码，则码率公式为

(1)

如果同时考虑非标记脉冲，则码率公式为

(2)

因此，协议的最终安全密钥率为

R=max{RT,R*}.

(3)

2.1 单光子计数率和误码率

基本思路：通过分析发现，已有工作均是将单光子计数率Y11和误码率e11当作独立的变量，分别考虑其上下界.然而，正如我们之前指出的，这2个参数存在一定的关联性，很可能无法同时取到最优值，因而导致码率估计不够紧致.事实上，我们可以采取综合估计的办法，即综合考虑2个参数构成的整体函数.综合考虑后，可以将求隐私放大项下界转换为求闭区间内连续函数最小值问题，从而充分提取参数间的关联信息，最终改进码率估计.

针对第1节的主被动三强度协议，在估计参数时，仅考虑双方同为标记诱骗态和同为非标记信号态的情形，列出平均计数率与误码率的方程.事实上，可以同样考虑信号态与诱骗态的不同组合，得到更多的方程，从而进一步改进参数估计过程.本文的重点是综合估计方法，因此不再深入讨论更多方程的估计问题.

对SPDC源来说，在标记使用时，Alice和Bob需要利用探测器对其中一个模式的脉冲进行标记,这取决于标记探测器的工作状态.另一个脉冲有2种使用方式：第1种是主动使用方式，即舍弃未标记成功的量子信号，而标记成功的量子信号用于成码；第2种称为标记使用方式，其中标记和非标记信号均用于产生原始密钥.

类似文献[7]，我们同样要求标记信号态和非标记诱骗态脉冲的光子数分布满足条件：

(4)

此时，可列出2个平均计数率方程：

(5)

Y11=

(7)

事实上，式(6)中双方光子数之和大于等于3的部分可以单独考虑，分析可知，λ1≥0，λ2≥0，ωdA,dB≥0，因此可将公式重新记为：

Y11=Q+ρYρ，

(8)

(9)

其中，J={(m,n)|m≥1,n≥1,m+n≥3}.

(10)

这里，为了进行联合估计，我们采用与计数率估计类似的方法，列出2个误码率方程，求解得到：

e11Y11=QE+ρeρYρ，

(11)

由于ρYρ≥0，因此在已有分析中，为估计单光子计数率Y11的下界，可以在式(8)中直接取ρYρ=0，即取单光子计数率的下界Y11=Q；而对于误码率e11的上界估计，通常由式(10)估计，或者在式(11)中取eρYρ=1求出上界.显然，ρYρ=0和eρYρ=1不可能同时成立，因此，这种方法并不能得到紧的参数估计.

2.2 参数综合估计

根据上面给出的解析式可知:

F(eρ,Yρ)

Y11(1-H(e11)).

(12)

可以看出，如果采取对2个参数Y11和e11进行独立估计的方法，则函数F(eρ,Yρ)无法取到最优值.因此，我们综合考虑2个参数之间可能存在的关联，直接从双变元函数F(eρ,Yρ)出发，求整体的最优值.

从文化生态学理论的角度看，“非遗”的传承、保护和发展成效主要受代表性传承人，传承保护的内容、方式、机制，以及整体机理的构建等因素的影响。这些要素综合起来，构成了“非遗”传承保护的生态环境。它们以不同的方式组合起来，构成了“非遗”传承保护模式。江苏的“非遗”传承保护主要存在以下四种模式。

首先需要引入我们之前证明过的一个引理[2]：

则函数的非零最小值可在3种情形下取到：

1)U-bL-a，则最小值为

2)U-b

3)U-b≥c，则最小值为

结合引理1，可以直接估计隐私放大项的最优值：

(13)

3 性能分析

3.1 统计涨落分析

正如本文之前提到的，实际条件下的QKD安全必须考虑有限码长因素，在码率公式中分析统计涨落带来的影响.为了与已有结果进行公平比较，我们采用标准误差分析方法.

统计涨落分析，重点是对由实验观测得到的平均计数与误码率进行误差估计.采用标准误差分析方法，通常认为观测值服从某个区间内的正态分布.对于平均计数率QμAμB，可以得到其取值区间为

QμAμB(1-α

QμAμB(1-α，

其中，NμAμB是给定光强下，发送的总脉冲数，α与具体安全参数有关，通常取α=5.

(14)

(15)

(16)

包含统计涨落的单光子误码率上界也可类似进行讨论，最终可以给出其取值的上界：

(17)

3.2 数值模拟

本节主要通过数值仿真比较综合估计方法与原始方法的性能.为了比较的公平性，采用与文献[7]一致的理论方法计算参数估计过程中涉及到的平均计数率与误码率.

首先，在标记使用时，取决于标记探测器的工作状态，SPDC源发出的脉冲可以分为2类：标记脉冲和非标记脉冲，其对应的光子数分布与文献[7]一致.

根据文献结论，标记使用时，平均计数率公式为

Qα β=[Dr0(1-Dr1)+(1-Dr0)Dr1][Ds0(1-

Ds1)+(1-Ds0)Ds1],

(18)

其中，α∈{0,vA,μA}，β∈{0,vB,μB}.

因此，只需要计算各类情形下，探测器成功探测到光子的概率Dri，Dsi，i∈{0,1}，即可得到具体的平均计数率.对于非标记脉冲，根据其光子数分布(文献[7]中的式(9)和式(10))，可以直接计算得到每个探测器成功探测到光子的概率为

(19)

(20)

类似地，标记脉冲也可同样进行计算.需要注意的是，对于Alice或Bob选择真空态光强，即α=0或者β=0时，探测器成功探测到光子的概率Dri，Dsi，i∈{0,1}需要根据对应的光子数分布重新计算，不能直接套用式(19)和式(20)的结论.

数值模拟采用的基本实验参数参见表1.其中，光纤信道的衰减系数α=0.2 dBkm，实际纠错算法的效率f=1.16，(光学组件和探测设备)探测效率ηD=0.145，探测系统发生错误的概率为ed=0.015，探测系统的背景噪声计数率pd=3×10-6.

表1 基于参量下转换源的MDI-QKD数值模拟参数

此外，双方的诱骗态和信号态光源基本参数为

图2中对双方发送的总脉冲数分别为N=1013和N=1014时，原始估计方法与本文估计方法的成码率进行了比较.其中，曲线Global 14表示发送脉冲为N=1014时，本文综合估计方法给出的码率，单光子计数率和误码率分别由式(14)和式(17)给出；曲线Separate 14表示脉冲为N=1014时，原始的分离估计方法对应的码率，其中，单光子计数率由式(15)给出，误码率由式(10)结合标准误差分析方法给出；曲线Global 13和曲线Separate 13表示发送脉冲为N=1013时，2种不同方法给出的码率.

图2 不同估计方法的性能比较

从图2可以看出，通过综合估计，有效地利用了单光子计数率与误码率之间的关联信息，提高了安全密钥率.此外，图2也显示，在数据量较小时，综合估计方法对码率的提升效果较好.

为进一步说明2种估计方法的不同，我们对综合估计和分离估计方法得到的单光子计数率Y11与单光子误码率e11进行比较.为描述方便，记综合估计方法得到的参数分别为Y11,G与e11,G；而分离估计方法得到的参数为Y11,S与e11,S.

图3给出了2种估计方法得到的单光子计数率与误码率比值关系.图3(a)表示计数率比值：Y11,SY11,G，图3(b)表示误码率比值：e11,Ge11,S.

图3 2种估计方法的计数率与误码率取值对比

为了更好地对2种方法进行比较，我们在图3中不考虑统计涨落因素，仅对协议参数的估计值进行对比.其中，横轴均表示传输损耗，图3(a)纵轴是分离估计方法(由式(15)给出)与本文综合估计方法得到的单光子计数率(式(14))的对比值；图3(b)纵轴是本文综合估计方法(式(17))与分离估计方法单光子误码率(式(10)结合标准误差分析方法给出)的对比值.

从图3可以看出：本文估计方法得到的单光子计数率Y11,G高于分离估计方法计数率Y11,S；另一方面，其单光子误码率e11,G则低于分离估计方法得到的误码率e11,S.且随着传输损耗增大，2个比值Y11,SY11,G和e11,Ge11,S均迅速减小.

4 总 结

本文主要研究了基于SPDC源的MDI-QKD协议参数估计问题.通过综合考虑的方法改进了码率公式中的单光子计数率与误码率的估计，将求隐私放大项下界的过程规约为求解闭区间内连续函数的最小值问题，得到了更紧的参数估计.数值模拟显示，该方法能够提高基于SPDC源的诱骗态MDI-QKD协议安全码率.如果能够进一步考虑不同光强组合的方程，综合参数估计会得到更紧的码率公式.本文方法本身不需要对实验方案进行任何硬件上的改进，仅依靠理论方法即可改善协议的性能，因而具有较好的应用价值.

[1]Lo H K, Curty M, Qi B. Measurement-Device-Independent quantum key distribution[J]. Physical Review Letters, 2012, 108, 130503: 1-5

[2]Jiang H D, Gao M, Wang H, et al. A global estimation of the lower bound of the privacy amplification term for decoy-state quantum key distribution[EB/OL]. [2015-10-10]. http://arxiv.org/abs/1502.04427

[3]Shan Y Z, Sun S H, Ma X C, et al. Measurement-device-independent quantum key distribution with a passive decoy-state method[J]. Physical Review A, 2014, 90, 042334: 1-9

[4]Zhou C, Bao W S, Li H W, et al. Tight finite-key analysis for passive decoy-state quantum key distribution under general attacks[J]. Physical Review A, 2014, 89, 052328: 1-9

[5]Wang Q, Wang X B. Simulating of the measurement-device independent quantum key distribution with phase randomized general sources[J]. Scientific Reports, 2014, 4, 4612: 1-7

[6]Wang X B. Three-intensity decoy-state method for device-independent quantum key distribution with basis-dependent errors[J]. Physical Review A, 2013, 87, 012320: 1-11

[7]Zhou C, Bao W S, et al. Phase-encoded measurement-device-independent quantum key distribution with practical spontaneous-parametric-down-conversion sources[J]. Physical Review A, 2013, 88, 052333: 1-15

王 洪

博士，讲师，主要研究方向为量子密码与量子计算.

007jieyong@sina.com

马 智

博士，教授，主要研究方向为量子密码与量子编码.

ma_zhi@163.com

江浩东

硕士研究生，主要研究方向为量子密码.

tusidike@163.com

高 明

博士，讲师，主要研究方向为量子密码与量子计算.

gaoming@nudt.edu.cn

Global Parameters Estimated of Measurement-Device-Independent Quantum Key Distribution

Wang Hong, Ma Zhi, Jiang Haodong, and Gao Ming

(StateKeyLaboratoryofMathematicalEngineeringandAdvancedComputing,InformationEngineeringUniversity,Zhengzhou450001)

Parameter estimation (the yield and the phase error rate of the single photon) is a major factor that affects the key rate of decoy-state MDI-QKD. This paper investigates the issues of parameter estimation in MDI-QKD with a spontaneous parametric down conversion (SPDC) source with a joint estimation method. Different from the existing separate estimation method, we derive analytical solutions to the parameters from the equation set of the average count rate and error rate, and then analyze it as a unitary function conceding the relevance between the two parameters. Through looking at the minimum of the function in the closed interval, a tighter estimation of the secure key rate is obtained. This method provides a new way to increase the performance of the MDI-QKD protocol.

quantum key distribution; decoy state; measurement device-independent; spontaneous parametric down conversion source; statistical fluctuation

2015-10-06

国家“八六三”高技术研究发展计划基金项目(2011AA010803);国家自然科学基金项目(61472446,11175170,U1204602)

TP309.7