融合系中态射的扩张问题

郝成功，王 霞，常学武

（山西大学 数学科学学院，山西 太原030006）

0 引 言

本文所使用的符号和术语大多是标准的，具体可参考经典群论教程［1-2］和Craven［3］的融合系教程［4］.特别地，本文总约定p为一个素数.

Alperin等在经典文献［5-6］中研究了有限群中的Sylow交现象，由此引发了融合系（见定义2）理论的萌芽与发展［7-10］.作为范畴，态射的扩张是一个核心技术.本文将从态射扩张的角度描述融合系中的Sylow交现象.

设G为有限群，P，Q∈Sylp（G）为G的两个Sylow p-子群，称P∩Q为关于P的极大Sylow交，若对任意R∈Sylp（G），只要P∩G≤P∩R，必有R=P或P∩R=P∩Q.可以验证，若P∩Q为关于P的有大Sylow交，其必为关于Q的极大Sylow交.进而，如果对任意x∈CG（P∩Q），总有P∩Qx-1=P∩Q，则称P∩Q为一个强Sylow交.

定理1 设G为有限群，P∈Sylp（G），Q＜P，φ∶Q→P为FP（G）中一个态射，则下述成立：

1）φ总可扩张到一个Sylow交上.特别地，如果φ不可扩张，则Q必为P中的一个Sylow交.反之，如果Q为P中的一个极大Sylow交，则存在某个φ不可扩张.

2）令φ=cg，则φ不可扩张当且仅当对任意x∈CG（Q），总有Q=P∩P（xg）-1.等价地，对任意D≤P，则D为强Sylow交当且仅当D存在一个不可扩张的FP（G）-态射.

3）P中的极大Sylow交均为强Sylow交.

Craven在文献［3］中对一般融合系定义了domestic交，并利用该概念给出Alperin融合定理［5］的简洁证明.本文第二个结果即用态射扩张刻画饱和系的essential子群和domestic交.

定理2 设P为当有限p-群，F为P上饱和融合系.如果Q∈Ff，则下述成立：

1）Q∈Fe当且仅当Q存在强不可扩张的F-自同构.

2）Q∈Fd当且仅当Q存在不可扩张的F-自同构.

1 预 备

定义1 设G为有限群，P∈Sylp（G）.则群融合系FP（G）是一个范畴，其对象为P的所有子群；对任意A，B≤P，态射集为

其中，cg为g诱导的共轭映射；FP（G）中态射合成为普通映射合成.

Puig将群融合系的概念推广到一般融合系.

定义2 设P为有限p-群.称范畴F为P上的一个融合系，如果F的对象为P的合部子群，对Q，R≤P，其态射集HomF（Q，R）为从Q到R的一些单同态，并满足下面三个公理：

1）若g∈P和Q，R≤P满足Qg≤R，则cg∈HomF（Q，R），其中cg∶Q→R为g所诱导的共轭映射；

2）对任意φ∈HomF（Q，R），同构映射φ∶Q→Qφ属于HomF（Q，Qφ）；

3）若φ∈HomF（Q，R）是同构映射，则其逆φ-1∈HomF（R，Q）.

对任意Q≤P，简记AutF（Q）=HomF（Q，Q）.显然NP（Q）可共轭作用在Q上，记AutP（Q）为NP（Q）在Aut（Q）中的像，即有AutP（Q）≅NP（Q）／Cp（Q）.显然AutP（Q）≤AutF（Q）且Inn（Q）◁AutF（Q）.再令OutF（Q）=AutF（Q）／Inn（Q）.如果存在F-同构φ∶Q→R，则称Q和R为F-共轭.

定义3 设G为有限群，P‖G|.称子群M≤G为强p-嵌入子群，如果对任意g∈G-M，|G∶M|和|M∩Mg|均是p′-数.

定义4 设F为有限p-群P上的融合系，Q≤P.

1）称Q为fully normalized子群，若对Q的任意F-共轭R，总有|NP（Q）|≥|NP（R）|.

2）称Q为F-centric子群，若对Q的任意F-共轭R，总有CP（R）≤R.

3）称Q为F-essential子群，如果Q为F-centric子群，并且OutF（Q）包含强p-嵌入子群.

分别用Ff（Fc，Fe）表示P的fully normalized（F-centric，F-essential）子群的全体.

目前研究最为广泛也是最重要的当属下述所谓的饱和融合系.

定义5 设P为有限p-群，F为P上融合系.称F为饱和融合系，如果

1）OutF（P）是p′-群；

2）对任意Q≤P和F-态射φ∶Q→P，若Qφ∈Ff，则总存在态射扩张¯φ∶Nφ→P，其中

可以验证有限群融合系FP（G）总是饱和的.

定义6 设F为P上饱和融合系，称Q≤P为F的一个domestic子群，如果存在一个F-态射φ∶Q→P，使得Q和Qφ均为fully normalized的，并且Nφ=Q.记Fd为F的domestic子群全体.

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定义7 设P为有限p-群，F为P上一个融合系，Q≤P.设φ∶Q→P为一个F-态射.如果φ可扩张到某个子群Q＜S≤P上，则称φ是可扩张的态射，否则称之为不可扩张的态射.记AuteF（Q）为Q的所有可扩张自同构生成的子群，称为Q的可扩张自同构群.称AutF（Q）-AuteF（Q）中元素为Q的强不可扩张的自同构.

由定义可知AutP（Q）≤AuteF（Q）.特别地，如果Q∈Ff∩Fc，则α∶Q→Q可扩张当且仅当Nα＞Q，据此推出

记OuteF（Q）=AuteF（Q）／Inn（Q），称为Q的可扩张外自同构群.

2 证 明

定理1的证明 1）令φ=cg∶Q→P，则Qg=Qφ≤P，从而Q≤P∩Pg-1，所以cg∶P∩Pg-1→P∩Pg是φ的扩张.特别地，若φ不可扩张，则迫使Q=P∩Pg-1为Sylow交.反之，若Q=P∩Pg-1为极大Sylow交，考虑FP（G）-态射cg∶Q→P，则由Q的极大性知，cg不可扩张.

2）必要性.设φ=cg∶Q→P不可扩张，由1）知，Q=P∩Pg-1.对任意x∈CG（Q），Q=Qx≤Pg-1.即Q≤（Pg-1）x-1=P（xg）-1，从而Q≤P∩P（xg）-1.显然cxg∶P∩P（xg）-1→P∩Pxg是cg的一个扩张，与cg不可扩张矛盾，迫使Q=P∩P（xg）-1，∀x∈CG（Q）.

充分性.假设ch∶X→P是cg∶Q→P的一个扩张，不妨设X=P∩Ph-1.则ch=cg∶Q→P，所以x=hg-1∈CG（Q），则X=P∩Ph-1=P∩P（xg）-1=Q，故cg不可扩张.

3）由1）知，如果Q为P中的一个极大Sylow交，则存在某个φ不可扩张，故Q为P中的一个强Sylow交.

下述引理提供了融合系中domestic子群若干等价描述及基本性质.

1）A∈Fd.

2）存在某个α∈AutF（A），使得Nα=A.

3）存在某个α∈AutF（A），使得AutP（A）∩AutP（A）α=Inn（A）.

4）OutF（A）关于素数p存在平凡的Sylow交.

证明 1）⇒2）由domestic子群的定义知，存在B≤P和F-同构φ∶A→B，使得A和B均为F-完全正规化的，并且Nφ=A.又因为AutP（B）φ-1∈SylP（AutF（A）），故 存 在α∈AutF（A），使得AutP（B）φ-1=AutP（A）α.由Nφ=A，知AutP（B）φ-1∩AutP（A）=Inn（A），即AutP（A）α∩AutP（A）=Inn（A）.由 定 义Nα=ACP（A），又由ACP（A）≤Nφ=A，所以Nα=A.

2）⇒1）显然成立.

2）⇐⇒3）⇐⇒4）由上述证明过程可得.

为证明定理2，需要下面结论.

引理2 设G为有限群，p为|G|的素因子，任取P∈Sylp（G），令

则G存在强p-嵌入子群当且仅当M＜G.此时M即为G的一个强p-嵌入子群.

证明 假设G存在一个强p-嵌入子群X，其共轭仍为强p-嵌入子群，故可选取X＞P.任取g∈M，则1＜P∩Pg≤X∩Xg，按定义g∈X，据此可知M≤X＜G，即M＜G.

反之，假设M＜G，只需证M为G的一个强p-嵌入子群.显然P≤M.任取g∈G，如果M∩Mg不是p′-子群，则存在非平凡p-子群R使得R≤M∩Mg，则Mg-1≤M，但P∈Sylp（M），故存在x∈M使得Rg-1≤Px，此时P∩Pxg≥R＞1.根据M的定义，有xg∈M，亦即g∈M或M=G，矛盾.因此M为G的强p-嵌入子群.

定理2的证明 1）如果Q∈Fe或Q存在强不可扩张的F-自同构，则按定义均有Q∈Fc.由此表明为证本结论，可不妨设Q∈Fc.因为Q∈Ff，故AutP（Q）∈Sylp（AutF（Q）），此时显然OutP（Q）∈Sylp（OutF（Q））.又因为Q∈Fc，按定义CP（Q）≤Q，所以QCP（Q）=Q＜P，表明Inn（Q）＜AutP（Q），从 而1＜OutP（Q）≤OuteF（Q）.由引理2知OutF（Q）存在强p-嵌入子群当且仅当AuteF（Q）＜AutF（Q），按定义

所以Q∈Fe当且仅当Q存在强不可扩张的F-自同构.

2）由引理1直接可得.

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