基于二维逾渗相变重整化群的混凝土重力坝断面破坏评价

顾培英，邓 昌，肖仕燕，章道生，汤 雷

(1.南京水利科学研究院材料结构研究所，江苏南京 210029;2.水利部水科学与水工程重点实验室，江苏南京 210029)

目前水工混凝土结构安全评估一般是通过外观破损调查了解损伤状况，借助多种无损或局部有损专项检测技术，并结合部分复核计算来进行，但从某种意义上讲难以进行整体安全性评价。顾培英等［1］提出了一种基于重整化群理论的混凝土结构整体安全性评价新方法。重整化群方法是威尔逊在量子场理论中提出的［2-4］，他把量子场论中的重整化群方法应用于临界现象研究，主要有3个方面的应用:①多孔介质中的渗流;②岩石破碎;③断层破裂。笔者分别针对损伤概率不等正方体单元、三棱柱单元，建立了基于岩石破碎模型的局部损伤与正方体、三棱柱整体结构破坏概率的关系［1，5-6］。已开展的研究在水工混凝土整体安全评价方面取得一定成果，但研究发现，岩石破碎模型重整化群方法忽略了结构失效路径，而混凝土重力坝失效路径不容忽视。

为解决上述问题，本文主要讨论逾渗相变重整化群方法。逾渗模型是Broadbent提出的模拟流体在无序连通介质中流动的模型［7-8］。如单元渗透概率p0小于渗透阈值p*时，多孔介质整体渗透概率很小，几乎不渗透;当p0=p*时，液体开始流动;当p0＞p*时，多孔介质总是渗透的。该模型在其他诸多领域也得到广泛应用，如森林火灾传播、聚合物凝胶化、传染疾病传播、流化床烧结过程、稀释磁体等，甚至被应用于研究地区经济发展状况。1995年White等［9］发展了针对流体的重整化方法，国内外不少学者对其进行了改进［10-14］。假定最小单元渗透概率相等，根据一定准则，推得稍大的1级原胞渗透概率，再由1级原胞渗透概率推得2级原胞渗透概率，依此类推，尺度越来越大，建立n+1级与n级原胞渗透概率递推公式，求得不动点，其中不稳定不动点即为渗透临界点。朱大勇等［15］给出了4×4单元网格渗透概率解析表达式。吴国雄等［16］运用重整化群方法分析了沥青混凝土路面开裂破坏渗流模型，求出渗流阈值，以确定沥青混凝土路面开裂破坏的临界条件。何超等［17］在不同尺度变换元胞数下采用重整化群法计算四邻域规则和八邻域规则下二维导电点的渗流参数。姜春露等［18］借助重整化群理论，推导了脆性岩石临界破坏强度与峰值应力比值的表达式，预测伺服渗透试验渗透突变点位置。张蕊等［19］推导了脆性岩石渗透率峰值点应变与渗透率急剧增大点应变的数学表达式。薛雷等［20］把岩体脆性破坏过程看作一个逾渗相变过程，在利用重整化群方法在求得一维和二维系统逾渗阈值的基础上，研究了岩体脆性破坏三维逾渗阈值附近的临界特性。

传统逾渗重整化群理论成功地解释了逾渗模型的突变现象，利用标度不变性处理相变和临界点问题，建立局部与整体关系，已在诸多领域中得到应用，该方法在处理大体积结构上具有优越性，可用于重力坝整体安全评价。传统逾渗模型假设若原胞从一侧至对边(面)存在连续渗流通道，则该原胞是可渗透的。笔者认为，混凝土重力坝整体贯穿破坏与失效路径有关，具有方向性，类似于渗流通道，若原胞从一侧至对边(面)存在一个连续失效路径，则该原胞是破坏的。将传统逾渗模型中的单元渗透概率替换成单元破坏概率，即可根据逾渗重整化群理论，开辟混凝土重力坝整体破坏风险研究新思路。本文主要在传统正方形单元等损伤概率逾渗模型基础上，推导正方形单元不等损伤概率模型，确定梯形原胞、三角形原胞破坏情况，建立三角形断面逾渗相变重整化群模型，并以某一混凝土重力坝断面为例，对上、中、下部不同单元损伤概率下的断面整体破坏情况进行比较研究。

1 传统二维逾渗模型

传统2×2二维逾渗模型示意图如图1所示。取1级单元为最小单位，按重整化群方法组成越来越大的原胞，最低一级即1级原胞由2×2二维单元即4个单元方阵组成。传统逾渗模型讨论的是每个单元渗透概率相等情况，根据每个单元渗透概率p0确定1级原胞渗透概率p1。如果从原胞的左方至右方存在一连续渗流通道，则该原胞是可渗透的。问题被重整后，4个1级原胞变成2级原胞的4个2级单元。2级原胞渗透概率p2由2级单元(即1级原胞)渗透概率确定。这个过程不断重复至越来越大的标度。2×2二维单元网格模型n+1级原胞渗透概率pn+1与n级原胞渗透概率pn之间的关系见式(1)，该模型临界渗透概率为 0.618［21］。

传统2×2二维逾渗模型示意图

2 正方形单元不等损伤概率逾渗相变重整化群模型

传统重整化群方法处理的是损伤概率相等的情况，由于实际混凝土结构各局部损伤概率常常不等，需建立不等局部损伤概率的正方形平面破坏评价模型，即分别推导各损伤破坏情况下的递推公式。以下通过图2所示的正方形二维原胞破坏情况示意图来说明。图2(a)为破坏情况示意图，图2(a)中的数字为破坏单元个数，a、b、…、f为某破坏单元数不变情况下的不同组合。假设左方至右方存在一连续破坏路径，则该原胞是破坏的，存在 2a2、2f2、3a3、3b3、3c3、3d3和4共7种破坏情况。图2(b)为单元编号，设定1级原胞中的4个单元损伤概率依次为p01、p02、p03、p04。

首先推导7种破坏情况下的1级原胞损伤概率，分 别 用 p1，2a2、p1，2f2、p1，3a3、p1，3b3、p1，3c3、p1，3d3、p1，4表示，计算公式为

图2 正方形二维原胞破坏情况示意图

求和得到1级原胞损伤概率

重整化后，同样得n+1级损伤概率

显然，不等概率递推公式比等概率复杂得多，式(4)是一个通式，传统等概率渗透概率递推公式(1)只是针对单元损伤概率相等情况下的一个特例。

3 三角形断面逾渗相变重整化群模型

上述讨论情况只适用于正方形断面结构，并划分成正方形单元，混凝土重力坝断面不具备此条件，通常其断面呈三角形，所以需分别对重力坝断面和单元进行处理，建立符合实际重力坝断面的逾渗相变重整化群模型。三角形断面等间距分成2n等份，若n=3，则分成8等份。三角形断面逾渗模型示意图如图3所示，图3(a)中共有64个单元，单元类型包括梯形和三角形，梯形、三角形原胞分别如图3(b)、图3(c)所示。

梯形原胞、三角形原胞破坏情况示意图分别如图4、图5所示，同样存在7种破坏情况。

图3 三角形断面逾渗模型示意图

图4 梯形原胞破坏情况示意图

图5 三角形原胞破坏情况示意图

若单元损伤概率相等，则7种破坏情况下的1级原胞损伤概率分别为

求和可得到1级原胞损伤概率p1，重整化后，pn+1与pn间的关系同式(1)。由此可知，传统2×2正方形单元逾渗模型渗透概率递推公式也适用于图4、图5划分方式的等概率梯形、三角形单元。

由于结构老化、渗流、水平荷载、工作环境、地震、洪灾等对结构各部位造成的损伤不同，各单元局部损伤概率往往不等。同理，只要梯形、三角形单元编号方式与图2(b)相同，则单元损伤概率不等的1级、n+1级原胞损伤概率推导过程类似，其结果同式(2)～(4)。

若最大级原胞对应于某一混凝土重力坝断面，则可通过式(4)递推得到该断面整体破坏概率P。需要指出的是，虽然2×2正方形单元逾渗模型递推公式形式上适用于梯形、三角形单元，但由于单元形状、大小、位置、受力状态各不相同，单元损伤概率确定方法也不同于渗透概率的确定方法，单元损伤概率的确定可参考文献［22］。

4 混凝土重力坝断面破坏评价算例

根据以上算法，利用MATLAB自编计算程序。根据前期研究成果，原胞级数一般取3即可满足实际工程需要［23］，所以本文原胞级数选3级和4级。以某混凝土重力坝断面为例，分别划分成3级原胞和4级原胞，即对边长进行8等分、16等分划分，分别有64个、256个1级单元。为便于确定计算工况，从上至下1级单元依次称为1层、2层、……、8层或1层、2层、……、16层。计算网格示意图如图6 所示，计算工况列于表 1。pL1、pL2、…、pL16分别为第1层、第2层、……、第16层单元损伤概率;p0，m、p0，e分别为中部和上、下部区1级单元损伤概率。对于实际结构而言，结构底部损伤对抗渗、受力不利，极有可能使损伤进一步加剧;水利工程往往位于地震多发区，若遭受地震，则上部结构地震响应较大，其损伤概率也较大。为便于比较上下部及中部区不同损伤范围的影响，将重力坝断面单元损伤分上、中、下部三个区讨论，计算中假设中部区和上、下部区单元损伤概率区内相等。

计算得到结构断面整体破坏概率P的变化曲线如图7所示，图中横坐标为上下部区1级单元损伤 概率值p0，e，并以中部区单元损伤概率p0，m为系列。为便于研究临界概率，图中还给出了单元等损伤概率 p0，m=p0，e曲线、整体破坏概率等于单元损伤概率 P=p0，e直线。

图6 计算网格示意图

表1 计算工况

根据图7，从结构断面整体破坏概率曲线趋势看，整体破坏概率P随单元损伤概率的增大而增大。当中部区单元损伤概率p0，m较小，上、下部区单元损伤概率 p0，e＜0.40时，P值很小，趋近于0;当p0，e≥0.40 时，P 开始增大，并随 p0，e的增大而急剧增大，最后趋近于 1。当 p0，m较大时，即使 p0，e较小，P 也较大;当 p0，m很大时，P 趋近于 1。此外，p0，m≤0.30时，p0，e与 P 关系曲线几乎重叠，即 p0，m较小时，p0，m对 P 影响很小。

图7 结构断面整体破坏概率曲线

p0，m=p0，e下的整体破坏概率曲线与 P=p0，e直线的交点概率0.618即为传统单元等损伤临界概率，对于不等单元损伤概率，整体破坏概率曲线与P=p0，e直线交点定义为类临界概率，即为重力坝断面整体贯穿破坏临界概率p*，p*对应于p0，m下的上下部区单元损伤临界概率。由图7可知，在0.05≤p0，e＜1.00范围内，当 0.05≤p0，m＜0.50 时，整体破坏概率曲线与 P=p0，e直线只有一个交点，曲线 p0，m=0.50、0.60、0.70有2 个交点，p0，m＞0.70 时没有交点。分析破坏状况相同下的3级、4级原胞曲线趋势，即分别比较图7(a)与图7(c)、图7(b)与图7(d)，可知随原胞级数的增加，2个交点的曲线会逐步趋近于1个交点或没有交点。如图7(a)中曲线p0，m=0.70有2个交点，图7(c)中该曲线虽仍有2个交点，但P值增大，曲线逐步上移，趋势是没有交点;图7(b)中曲线 p0，m=0.50、0.60 都有2 个交点，图7(d)中曲线 p0，m=0.50 只有 1 个交点，虽 p0，m=0.60仍有2个交点，但P值减小，曲线逐步下移，趋势是1个交点。换句话说，对于临界概率附近的中部区单元损伤结构，随着计算精度的提高，要么只有1个交点p*，要么没有交点。1个交点意味着单元即使损伤，但只要p0，e＜p*，断面就不会发生整体贯穿破坏，只有p0，e＞p*才会发生整体贯穿破坏。无交点说明中部区单元损伤概率已经较大，此时断面已发生整体贯穿破坏，此时可认为上下部区损伤状况的类临界概率为零。

此外，相对于单元等损伤临界概率而言，不等单元损伤概率下的类临界概率发生偏移，类临界概率与中部区单元损伤概率的关系曲线如图8所示。

8 类临界概率与中部区单元损伤概率的关系曲线

结合图7、图8可知，随着p0，m的增大，p*有所减小，但当 p0，m0，m较小时，p*变化不大，当 p≥0.60 时，p*急剧降低。综合分析可知，当p0，e＜0.40时，坝断面整体处于安全状态;0.4≤p0，e≤0.6时，整体安全性降低，结构由安全向整体破坏过渡，处于亚健康状态;当p0，e＞0.60时，坝断面整体安全性极低，此时若外界环境恶化，极有可能发生整体贯穿破坏。

5 结语

在传统正方形单元等损伤概率逾渗模型的基础上，提出了基于二维逾渗相变重整化群的混凝土重力坝断面破坏评价方法，推导了正方形单元不等损伤概率逾渗相变重整化群模型，得到了断面整体破坏概率，传统的二维逾渗模型只是该模型针对正方形单元损伤概率相等情况下的一个特例。确定了梯形原胞、三角形原胞破坏情况，建立了包括梯形、三角形单元的三角形断面逾渗相变重整化群模型。虽从形式上看，正方形单元公式适用于梯形、三角形单元，但由于其单元形状、大小、位置、受力状态各不相同，单元损伤概率的确定方法也大不相同。

算例计算表明，当单元损伤概率小于0.40时，坝断面整体处于安全状态;当单元损伤概率在0.40～0.60时，整体安全性降低，结构由安全向整体破坏过渡;当单元损伤概率大于0.60时，坝断面整体安全性极低，此时若外界环境恶化，极有可能发生整体贯穿破坏。

本文所提方法虽涉及逾渗模型，但与传统逾渗模型有本质区别。传统逾渗模型是描述流体在多孔介质中的渗透情况，渗流要服从流体力学规律，建立的是单元渗透概率与整体渗透概率间的关系。而本文讨论的是单元损伤概率与整体贯穿破坏间的关系，单元损伤需遵循结构静动力学规律，研究的重点是单元损伤概率如何分布会引起重力坝的整体贯穿破坏，借鉴贯穿破坏与渗流通道的相似性，而渗流本身并不是关注重点。此外，本研究与有限元也有本质区别。

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