基于数字滤波器的伺服系统谐振抑制方法

王建敏，吴云洁*，刘佑民，张武龙

(1.北京航空航天大学 自动化科学与电气工程学院，北京100191;2.北京航空航天大学 飞行器控制一体化技术重点实验室，北京100191;3.北京航天发射技术研究所，北京100076;4.北京仿真中心导弹控制系统仿真国防科技重点实验室，北京100854)

在实际的机械伺服系统中，机械谐振模态普遍存在.原因是伺服系统的传动部分，比如传动轴、连接轴等，并非是完全刚性的，在受力后会发生弹性形变.机械谐振不仅会影响伺服系统的稳定性和跟踪精度，还会严重损害机械部件，降低其寿命.因此，在伺服系统中，机械谐振的抑制一直是控制研究的重要问题，对此已有大量研究.

机械谐振的产生原因复杂多样并且难以避免，因此只能针对已存在的机械谐振进行抑制或消除的研究.在众多对机械谐振抑制的研究中，大致可以将机械谐振抑制方法分为以下几类:

1)通过改进硬件方法进行谐振抑制.文献［1］利用传感器直接测量电机端与负载端的位置和速度信号，根据两端信号估算出机械谐振的状态，然后进行抑制;而文献［2］是通过设计硬件陷波器电路并加入到伺服系统中来补偿机构谐振的幅频特性，进而消除机械谐振的.

2)通过设计控制器，采用不同的控制方法实现谐振抑制.Slobodan和 Milic［3］利用速度环反馈控制方式设计了伺服系统的谐振抑制方案;Krzysztof和Teresa［4］在反馈控制的基础上加入增益-积分速度控制器在双质量体系统中实现了谐振的抑制;杨晓霞等［5］利用加速度反馈方法设计了控制器，从而将谐振抑制到一定范围内;于晶等［6］在加速度反馈的前提下设计了高阶滑模控制器，有效抑制了机械谐振，在保证动态响应性能的同时，增强了系统对于负载扰动的鲁棒性;文献［7-8］则利用扰动观测器和反馈补偿器对系统中的机械谐振进行了估计和补偿，达到了谐振抑制的效果.

3)通过设计数字滤波器来抑制或消除机械谐振的影响.在此类谐振抑制方法中，应用陷波器实现机械谐振抑制的研究是最多的［9-12］.Xu等［13］将自适应的低通滤波器加入到速度反馈回路中实现了对机械谐振的抑制.

以上3种对机械谐振的抑制方法研究中，通过硬件改进的抑制方法花费的时间和成本相对比较多，实现难度也比较大，不易广泛推广;通过改善控制策略实现谐振抑制的方法虽然可以从整体系统上达到较好的控制效果，但控制器的设计过程相对繁琐，对系统的功能需要有较强的把握才能保证设计的控制器可用;通过加入数字滤波器消除机械谐振的方法相对简单、容易实现，但现有文献均只是针对谐振点频率抑制的研究.而在出现机械谐振时往往是谐振点和反谐振点成对出现的，利用陷波器只抵消了谐振点，反谐振点同样会影响伺服系统的跟踪精度和带宽.

基于以上原因，本文针对陷波器、低通滤波器进行了研究，并提出了一种双二次型滤波器，能够解决同时抑制谐振点和反谐振点的问题，在提高跟踪精度的同时增大了系统的带宽.并利用伺服转台系统进行了实验验证.

1 问题描述

1.1 数学模型

对于直流电机直接驱动的伺服系统，当考虑机械谐振模态时，一般采用双质量体模型来描述系统动态［14］，即

式中，Ra为电枢电阻;La为电枢电感;i为电枢电流;Ke为反电动势系数;θm为电机转角;um为电枢电压;Tm为电机输出力矩;Kt为电磁转矩常数;Jm为电机转动惯量;Bm为电机端黏性阻尼系数;Tl为扭转力矩;θl为负载转角;Ks为转轴的机械刚度;Jl为负载转动惯量;Bl为负载端黏性阻尼系数;Td为扰动力矩，包括摩擦力矩、耦合力矩及外部干扰力矩.

伺服系统中的机械谐振模态主要是由各传动轴之间的柔性引起的.将式(1)～式(5)化简，可得电机输出转角与电机力矩之间的关系为

式中，s为拉普拉斯算子;K1=JmJl;K2=JmBl+JlBm;K3=JmKs+JlKs+BmBl;K4=BmKs+BlKs.

1.2 谐振问题

本文所研究的伺服系统采用干扰观测器(DOB)加零相差前馈控制器(ZPETC)的综合控制结构［15-16］.当存在机械谐振时，系统的模型辨识就不准确，这样将影响DOB的设计，进而影响系统的跟踪精度和系统带宽.

对式(6)做进一步的分析可知，该系统存在谐振极点和谐振零点.这些零极点引起了伺服系统的机械谐振.通过对该伺服系统加白噪声测试，获得了系统伯德图如图1所示.

图1 系统伯德图Fig.1 System Bode diagram

从图1的幅频特性曲线上明显看到系统有较大的谐振，其中波峰b点为谐振点，波谷a点为反谐振点.式(6)的谐振极点使其产生谐振点，谐振零点使其产生反谐振点.由幅频特性曲线可知，系统的谐振频率比较低而谐振峰值比较高，这为DOB的设计带来了一定的困难.因为谐振点附近，名义模型和实际模型的误差增大，系统的鲁棒稳定性很难满足;若要满足系统的稳定性条件，则需要减小滤波器的带宽，系统频带要求就不一定能满足.因此，需要设计滤波器对机械谐振进行抑制，进而设计符合条件的DOB和ZPETC，满足系统的控制要求.

2 数字滤波器的设计

对于机械谐振问题，采用数字滤波器是一种简单有效的方法，即设计滤波器来分别抵消系统中的谐振极点和谐振零点.在控制输入和被控对象之间串联一个滤波器，其结构图如图2所示.

图2 串联滤波器结构图Fig.2 Structure image of connected filter

则串联滤波器后的系统传递函数表示为

式中，θ(s)为电机输出转角;u(s)为输入电压;Gp(s)为被控对象;Q(s)为所设计的数字滤波器.

2.1 陷 波 器

常用的陷波器为改进型双T网络陷波器，因其能够方便地实现作用频率、陷波带宽和陷波深度的调节，因此被广泛使用.其传递函数［10］为

式中，a=1/ω20;b=k1/ω0;c=k2/ω0，ω0为陷波器的作用频率;k1，k2分别为陷波器的陷波带宽参数和陷波深度参数.

由于陷波器是带阻滤波器，其幅频特性曲线的中段是向下弯曲的，因此可以将图1中的b点抑制掉.将ω0设置为b点的频率值，同时根据谐振频率选择合适的参数k1和k2即可设计好陷波器.将设计好的陷波器加入到式(7)所示的传递函数中，可获得新的被控对象频率响应.图3所示为加入陷波器后系统的伯德图.

图3 加入陷波器后系统的伯德图Fig.3 Bode diagram of system added notch filter

由图3的幅频特性曲线可见，陷波器的凹陷点与系统谐振点b的峰值点正好相互抵消，得到了较为光滑的幅频特性曲线，如图中虚线所示.在较多数的文献中采用的是上述方法进行谐振抑制的，能达到一定的效果，在本文第3节将通过实验进行验证.但是由于反谐振点a(即幅频特性曲线中向下凹陷的点)的存在，对系统的建模仍然会产生较大误差.图中的点划线(Gn(s))是根据实际曲线拟合的名义模型，它与滤波后的系统幅频特性曲线(Gp(s)Q1(s))相比，在中频段的差距还是比较大的.

对图3进行深入的分析计算可知，加入陷波器后系统的幅值稳定裕度为38.8 dB.而系统带宽通过分析估计约为11.8 rad/s(由于闭环系统无法准确获得，因此只能是估计，下同).

2.2 二阶低通滤波器

从图1的幅频特性曲线中可知，反谐振点a的出现将系统的幅值压了下来，致使幅频特性曲线的斜率值增大.而一般情况下将转台伺服系统视为二阶系统，因此在模型辨识时以二阶系统参数辨识为主.则斜率值的增大不利于对系统参数的辨识，并且导致辨识模型与实际模型的差值增大，进一步影响控制器的设计.考虑到二阶低通滤波器(又称振荡环节)幅频特性的特点，因此设计二阶低通滤波器对反谐振点a进行抑制.二阶低通滤波器的传递函数［17］为

式中，ξ为阻尼比;ωn为自然频率.

二阶低通滤波器的谐振频率与自然频率的关系为

式中ωr为滤波器的谐振频率.

将ωr取为a点的频率值，根据式(10)可计算得到自然频率，并选取合适的阻尼比ξ即可得到具有抑制a点谐振能力的二阶低通滤波器.将该滤波器加入到式(7)的传递函数中可得到新的传递函数的频率特性，加入低通滤波器后系统的伯德图如图4所示.

图4 加入低通滤波器后系统的伯德图Fig.4 Bode diagram of system added low-pass filter

由图4的幅频特性曲线可知，加入低通滤波器后系统的反谐振点a被抑制了，系统的幅频特性曲线的低频段变得比较平滑，斜率值也有了一定程度的减小.拟合的名义模型曲线(Gn(s))与滤波后的系统幅频特性曲线(Gp(s)Q2(s))在中频段的吻合度还是很高的.第3节中将通过实验证明该滤波器使得系统的频带提高了.但是该低通滤波器使得系统的相移增大了，从图4的相频特性曲线中可以看到，中频段以后系统的相移增大了将近180°.并且由于谐振点b依然存在，对整个系统的控制器设计仍然会产生影响.

通过进一步的分析计算，加入该滤波器后系统的幅值稳定裕度为31.3 dB，闭环系统带宽约为11.9 rad/s.

2.3 双二次滤波器

为了同时抑制谐振点和反谐振点，在结合2.1节和2.2节所述陷波器和二阶低通滤波器特性的基础上，设计了双二次型滤波器.设

则双二次滤波器设计为

式中，ωa为对应 a点的频率;ωb为对应 b点的频率.

该双二次型滤波器的物理意义很直观，可以理解为Qa(s)和Qb(s)均是二阶低通滤波器，其幅频特性曲线具有向上的谐振峰.现将Qb(s)取倒数，则其幅频特性曲线变成了向下的谐振峰.它与Qa(s)串联后，由Qa(s)抵消系统幅频特性曲线中的谐振点a，1/Qb(s)抵消反谐振点b，这样系统幅频特性曲线中的正、反谐振点均得到了抑制.

将式(13)的双二次滤波器与式(8)的陷波器相比较可发现，当ωa=ωb时，式(13)与式(8)具有相同的形式，可见陷波器是所设计的双二次滤波器的一种特例形式.

将式(13)及式(6)代入式(7)，可得新的被控对象的表达形式为

式中，G′p(s)为去除了谐振零极点的被控对象;K5，K6，K7为耦合常数.

由式(14)可见，所设计的双二次型滤波器将抵消原被控对象中的谐振极点和谐振零点，进而消除机械谐振.

根据式(10)可分别计算得到ωa和ωb的值，再选择合适的阻尼比ξa和ξb即可设计完成双二次滤波器.将该双二次滤波器串入式(7)的传递函数中，得到如式(14)所示的新系统，进而得到加入双二次滤波器后系统的伯德图如图5所示.

图5 加入双二次滤波器后系统的伯德图Fig.5 Bode diagram of system added two-second filter

从图5的幅频特性曲线中可看到，系统的谐振已经被完全抑制，系统的幅频特性曲线(虚线)在中频段以下已经变成光滑的直线.而且辨识得到的名义模型(点划线)也能与系统幅频特性曲线完美吻合.从相频特性曲线来看，串联双二次滤波器后系统的相移很小，基本与原曲线相重合.因此从仿真来看，所设计的双二次型滤波器能够达到理想的谐振抑制效果.

从定量的角度来分析，加入该双二次型滤波器后系统的幅值稳定裕度达到43.4 dB，并且系统的带宽约可达12.3 rad/s.

将设计的数字滤波器加入到转台伺服控制系统中，得到如图6所示的结构.其中，e=θd－e.

图6 加入数字滤波器后的转台伺服控制系统结构Fig.6 Structure of turntable servo control system added digital filter

图6中转台伺服系统采用速度环和位置环双环控制［14］结构，在双环控制之前加入前馈控制，以消除相位滞后问题.对系统中的等效干扰，采用干扰观测器进行抵消.速度信号是通过对位置信号微分获得的，考虑到位置测量量化噪声的影响，因此将位置信号微分之后经过低通滤波器以获取速度信号.由图6的控制系统可见，设计的数字滤波器与控制对象串联后被作为新的被控对象.在干扰观测器设计中只要名义模型Gn(s)选取合适，系统中的其他等效干扰就会被观测出并被抵消掉，进而提高控制器的性能［18］.将所设计的数字滤波器与被控对象串联后可以抵消原系统中的谐振极点和谐振零点，使得系统消除机械谐振，并且不会改变原系统的可控性能.因此加入数字滤波器后整个系统的稳定性是由之后设计的控制器决定的，数字滤波器对控制系统的稳定性是没有直接影响的.

为了实现滤波器的计算机应用，需将其离散化.采用双线性变换，将

代入式(13)可得

式中，K= ω2a/ω2b;N1=4+4Tξbωb+ ω2bT2;N2=2ω2bT2－8;N3=4 － 4Tξbωb+ ω2bT2;D1=4+4Tξaωa+ω2aT2;D2=2ω2aT2－8;D3=4 － 4Tξaωa+ω2aT2;T为采样周期.

3 实验结果

以某三轴飞行仿真转台为例进行实验验证.该仿真转台测角元件为光电编码器，细分分辨率达0.0007°.控制算法以台湾研华610工业控制计算机为核心，采用C++语言编程实现，人机交互界面由MFC编程建立.工控机通过ISA总线上16位D/A转换卡与电机驱动器相连.系统的控制周期为1 ms，控制系统采用如图6所示的控制结构.该三轴转台实物图如图7所示.

本文使用的是该仿真转台的外框轴.外框由于机械尺寸较大，力臂较长，在转动过程中存在伺服弹性，因此会有较大的机械谐振.将设计的数字滤波器分别加入控制系统中，重新进行白噪声测试，然后根据转台响应结果进行频谱特性分析并对系统进行辨识，得到了系统的频率特性和名义模型，3种数字滤波器实验结果如图8所示.

图7 三轴转台实物图Fig.7 Physical map of three-axis turntable

图8 3种数字滤波器实验结果Fig.8 Experimental results of three kinds of digital filters

从图8的3种滤波器实验结果对比来看，实验结果与仿真结果相一致.所提出的双二次滤波器的实测曲线和拟合曲线吻合度最高，二阶低通滤波器次之，陷波器最差.由图8(c)的幅频特性曲线可见，加入双二次滤波器之后转台的模型被校正为比较标准的二阶系统.因此用二阶名义模型来代替转台实际模型设计DOB还是很准确的.这样系统中的等效干扰能尽可能被消除，进而伺服系统的跟踪精度和系统频带才均能提高.

在图8所示的名义模型的基础上，设计DOB和ZPETC，并加入到控制系统中进行系统测试.如图9所示为加入双二次滤波器后系统的跟踪曲线.

图9 加入双二次滤波器后系统的跟踪曲线Fig.9 System tracking curve added two-second filter

由图9可见系统能够很好地跟踪指令的变化，说明系统具有良好的动态性能.为了进一步说明本文所设计的双二次滤波器能够使得系统在跟踪精度方面优于另外两个滤波器，对3种数字滤波器作用下系统的跟踪精度做了对比，结果如图10所示.可见，应用陷波器的系统跟踪误差是最大的，达到0.009°，而加入本文提出的双二次滤波器的系统跟踪误差是最小的，只有0.0054°.由此可知，应用双二次滤波器能够很好地抑制机械谐振，使得系统模型更容易辨识，控制器设计更加方便、有效，控制精度也更加满足指标.

图10 跟踪精度对比Fig.10 Contrast of tracking accuracy

应用数字滤波器后，除了系统跟踪精度提高以外，系统的频带也增大了.如表1所示为加入不同数字滤波器后系统的频带范围.

表1 系统频带范围Table1 System bandwidth scope

加入双二次滤波器的系统频带在“双三”指标下达到了4 Hz，满足了指标和精度的要求(“双三”指标指的是幅度误差在±3%以内，相位误差在±3°以内).综合以上实验结果，本文提出的双二次型数字滤波器能够很好地抑制机械谐振，使得校正后的系统模型更加趋近二阶系统，有利于系统模型的辨识及DOB的设计.同时该拟合度较高的数学模型为控制器、ZPETC的设计提供了方便，进而有助于控制系统跟踪精度的提高和频带宽度的增大，最终达到系统动态性能指标.

4 结论

1)该双二次型滤波器能够同时抑制谐振中的正、反谐振点，进而将系统模型校正为光滑的二阶系统形式，有利于系统模型的辨识和控制系统的设计.

2)在理论分析和仿真的基础上进行了实验验证.实验结果表明:所提出的双二次型滤波器能够很好地抑制谐振，相比于其他2种滤波器，在提高系统跟踪精度的同时增大了系统带宽，满足了系统的动态性能指标.

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