探索构造法在初中数学中的运用

张远利

摘要：对于一些使用通常方法按照定向思维难以解决的数学问题，我们通常会使用构造法，运用一切已知条件和数学知识，在思维中构造满足条件或结论的数学对象，从而方便快捷的解决数学问题。初中数学教师在数学解题教学中，合理运用构造法引导学生解题思路，能够有效的帮助学生提高数学解题效率。本文从构造图形、构造方程等方面对构造法解题进行了详解。

关键词：构造法 初中数学 解题

引言

在数学解题过程中，通常会采用定向思维将条件向结论进行转化，而面对一些数学难题时，这种解题思路往往会走入困境，构造法是解决这一问题的有效途径。构造法就是利用条件与结论的特殊性，构造新的数学图形、方程、函数等数学形式，柬实现条件向结论的转化，或是运用条件构造出数学对象，抓住问题的矛盾所在，进而解决数学问题。由此可见，这种方法并不是直接解决数学问题，而是通过间接的手段，寻找辅助问题，进而解决问题的方法。这也是构造法解决问题的巧妙的地方。

一、构造法概述

构造法是根据题设的提点，用已知的条件中的元素作为“元件”，用已知的关系作为“支架”，通过观察、联想，采用新的设计，构造出一种新的问题形式，从而绕过解题障碍，使问题得到解决的一种方法。在运用构造法时，一是要明确构造的目的，即要解决什么问题而去构造;二是要弄清楚问题的特点，从而依据特点来确定构造的方案，实现构造解题。因此，构造法的基本特征就是：第一，对索要讨论的问题给出了较为直观的描述;第二，不但回答了提出的问题，而且构造出具体的结果。

二、构造法在初中数学中的运用

1、构造图形

当一些问题的条件与结论之间的联系不是很快就能找到的时候，通过构造图形，往往能将二者之间的联系非常明确的表示出来，进而获得解决问题的方法。首先，遇到问题时要先观察其中的代数式的特征，通过已有的基础知识，联想出与其能够对应起来的几何图形数量关系，然后根据已有的条件，构造出相应的几何图形，然后将数形结合的数学思想力法运用其中，通过将图形按照条件分割、组合，使得解题思路更加的清晰直观，从而达到事半功倍的解题效果。

例1.l：已知a、b、c是大于O并且小于1的正數，证明a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）<1。

分析：在这一题当中，我们根据已知条件无法快速向结论转化，就需要根据已知条件构造图形。根据题意可知，a、b、c是大于0并且小于1的正数，而且所证结论中有a（l-b），b（l-c）、c（l-a）三种代数式，因此，可以构造出向积分别为a（l-b）、b（l-c）、c（l-a）的矩形，以及面积为l的正方形，（如图一）那么我们能够明显的看出，根据条件所得的结论是成立的。

例 1.2 1/2+1/2₂+1/2₃+1/2₄……+1/2_n=（用含n式子表示）

分析：本题可用图形解决，作正方形，每次取正方形一半，按图分割：第一次得到阴影面积为1/2，第二次得到阴影面积1/2+1/2₂，如此无限的取下去，第n次得到原图阴影面积1/2+l/2₂+l/2₃+l/2₄……+l/2_n正好是原图面积减去空白处面积1-1/2_n。本题除构造正方形也可构造等腰直角三角形，灵活多样，只需抓住后次分割面积是上次一半这一性质即可。

2、构造方程

方程是解决数学问题比较常用并且十分重要的一种工具，是通过根与系数的关系或者根的判别式来构造方程。利用构造方程的方法解决数学问题，一个重要的前提就是必须要熟悉条件或者结论中隐藏起来的结构形式，从而能够构造出与力程相互对应的表达形式。

例2.1：已知条件：（z-x）₂-4（x-y）（y-z）=0，求证结论：x+z=2y。

分析：从已知条件（z-x）₂-4（x-y）（y-z）=O中，我们可以联想到一元二次方程的根的判别式b2-4ac，因此，这一题中，我们可以让b=z-x，a=x-y，c=y-z，由此可以构造出一元二次方程（x-y）X₂+（z-x）X+（y-z）=0。

所以，我们能够得到以下的解题方法：当X=y时，从题中条件可以得出x=y=z，因此x+z=2y，当x≠y时，就有一元二次力程（x-y）X₂+X+（y-z）=0，通过观察方程的各项系数，能够发现（x-y）+（z-x）+（y-z）=0，所以方程有一个根等于l，又因为△=（z-x）₂-4（x-y）（y-z）=0，所以方程的两个根同为1，由韦达定理可知|*|=（y-z）/（x-y），可得x-y=y-z，因此，x+z=2y结论成立。

例2.2：已知实数x、y、z满足x+y=5，x₂=xy+y-9，求x+2y+3z的值。

分析：根据本题的条件可以使我们联想到韦达定理，但是仍然需要经过合理的变形，才能构造出方程组求解。从题中我们可以得出一组方式组（x+1）+y=6①，（x+1） y=z₂+9②，以x+l、y为方程的两个实数根构造方程r₂-6t+z₂+9=0。因为方程有实数根，所以△=（-6）₂-4 （z₂+9） =-4z₂≥0.由此可以得到z₂=0，且△=o，所以方程t₂-6t+z₂+9=0有两个相等的实数根，所以t₁=t₂=3，于是x+l=y=3，所以x=2，y=3，z=0，得出x+2y+3z=2+2*3+0=8。

总结

从以上例题中能够明显看到，运用构造法解题十分快捷方便。构造法的应用重在构造，根据已知条件，运用已有的基础知识去将条件和结论联系起来，发现问题，并为解决问题创造条件，从而真正的解决数学问题。

参考文献

[1]桑长征，初中数学解题方法探析[J].才智，2012（09）：134

[2]王素芹，李忠民解析构造思想在中学数学中的应用[J].价值工程，2012，31（06）：178-179

[3]李巧春，探索构造三角形解题[J].初中数学教与学，2010（02）：13-17