基于谱方法分析有阻尼负载圆柱壳频散特性

第一作者王献忠男，博士，讲师，1986年1月生

通信作者吴卫国男，博士，教授，1960年2月生

基于谱方法分析有阻尼负载圆柱壳频散特性

王献忠1,2, 吴卫国1,2, 庞福振3,孔祥韶1,2

(1. 武汉理工大学 高性能舰船技术教育部重点实验室，武汉 430063；2.武汉理工大学 交通学院，船舶、海洋与结构工程系 武汉 430063； 3.哈尔滨工程大学 船舶工程学院，哈尔滨 150001)

摘要：以Chebyshev多项式系为基函数，采用谱方法离散弹性理论的波动方程，建立对应的广义特征值问题。依据壳体结构波运动、内部流体及外部阻尼材料在界面处的位移、应力连续条件，构造此复杂圆柱壳系统广义特征值方程。通过数值求解特征值获得对应频率下波数，进而获得圆柱壳结构的频散曲线。分别讨论充水与否、有阻尼负载圆柱壳的频散曲线，获得有价值结论。

关键词：谱方法；圆柱壳；频散特性；阻尼层

收稿日期：2013-09-23修改稿收到日期：2014-02-14

中图分类号:U674.76文献标志码：A

基金项目：国家电网公司科技项目；国家自然科学

基金项目：国家重点基础研究发展(973)计划项目(2011CB013606)；广西科技攻关计划(14124004-4-5)；广西防灾减灾与工程安全重点实验室开放课题(2013ZDK08)

Spectral method for dispersion characteristics of a cylindrical shell boarded with a damping layer

WANGXian-zhong1,2,WUWei-guo1,2,PANGFu-zhen3,KONGXiang-shao1,2(1. Key Laboratory of High Performance Ship Technology of Ministry of Education, Wuhan University of Technology, Wuhan 430063, China；2. Departments of Naval Architecture, Ocean and Structural Engineering, School of Transportation, Wuhan University of Technology, Wuhan 430063, China；3. College of Ship Building Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Abstract:The wave equation of the elastic theory was discretized with the spectral method. Then, the equation was converted to a corresponding generalized eigenvalue problem by taking Chebyshev polynomials as base functions. Considering the boundary conditions at fluid-structure interface and damping layer-structure interface of a cylindrical shell structure, a generalized eigenvalue equation of this complex cylindrical shell system was built. The wave numbers for a given frequency were calculated with MATLAB eigenvalue solver. Then the dispersion curve of the cylindrical shell was gained. The dispersion curves of the cylindrical shell with a damping layer and water filled or not were discussed. Some valuable conclusions were obtained according to the dispersion curves.

Key words:spectral method; cylindrical shell; dispersion characteristics; damping layer

圆柱壳体广泛用于工业结构、航空航天及水下潜艇结构中。研究其声传播特性对理论及实践均具有重要意义。实际工程应用时控制圆柱壳结构振动、声辐射的常用措施为在其表面敷设阻尼材料，因此研究敷设阻尼材料的圆柱壳声传播问题尤为必要。对真空中薄壁圆柱壳及硬壁管内流体弹性波传播研究已较成熟。文献[1-3]专门讨论具有轴对称性质波，但忽略了Poisson系数引起的壳体位移耦合，且只讨论低频情况。Brevart等[4]利用简化的Donnell-Mushtari壳方程研究单层圆柱壳一流耦合系统的声振特性。Fuller等[5]通过建立的充液圆柱壳自由振动方程，讨论低阶周向模态(n=0,1)下实、虚及复波数波的传播特性。Gazis等[6-7]用数值方法求解推导的频散方程，获得频率-波长曲线，并与薄壳近似理论结果对比。Breitenbach等[8]推导出浸入水中的无限长内充空气铝柱壳在垂直入射平面波下简正波解。Maze等[9]研究弹性柱壳中周向波频散曲线的分叉(repulsion)现象。Barshinger等[10]研究有粘弹材料覆盖层的空心圆柱壳中导波传播问题，用传递矩阵法推导频散方程，并数值求解频散曲线。

由于超声导波技术具有无损检测的独特优势，广泛用于各种结构尤其管道结构的健康、缺陷检测。而研究导波在各种构件中的传播规律是应用导波技术的关键。Alleyne等[11]在较低频厚积下研究内径-壁厚比变化对导波模式频散特性影响。Kumar 等[12-13]研究空心圆柱内充满液体时对导波在管道中传播影响，认为泄漏圆柱系统较自由表面单层管道模态更多、更复杂，此复杂模态需用复杂的Bessel方程方能计算。Lafleur等[14]详细研究了低频模态在充液管道中的传播。Sinha等[15-16]研究轴对称导波在内充液管道或外受液体荷载管道中的传播规律，计算复杂缺陷形状的真实波数及复杂频率，并进行对比实验。

以上研究思路均为建立壳体运动方程及Helmholtz方程。利用界面处运动协调条件建立流固耦合超越方程，通过实波数轴求根方法或复平面围道积分方法求解。当需考虑弹性管壁与管内流体间相互作用及壳体表面敷设有粘弹性材料时，波传播问题相当复杂。而此数值方法面临求解多层(N>2)介质、有阻尼、非均匀层介质、多孔材料、各向异性等情况下结构频散特性困扰，会严重降低搜根法的实用性。对任意多层圆柱结构的波传播特性分析，采用谱方法分析结构频散特性较简便。Adamou等[17]采用谱方法进行数值求解二维弹性介质中波频散方程。谱方法是加权余量法中较完善的，较传统搜根方法，谱方法不但具有精度高、计算效率高等优点，且可求解结构为阻尼、多孔材料等情况。Karpfinger等[18-19]利用谱方法求解圆柱结构为多层均匀介质时的频散关系及位移分布。

本文将谱方法扩展到求解有阻尼负载情况下的圆柱壳结构频散问题。该方法理论以Chebyshev多项式系作为基函数[20]，将圆柱壳半径的变化范围通过坐标变换至区间[-1,1]。因此先给出[-1,1]的广义Chebyshev多项式及性质以及展开系数满足的部分关系式。再用谱方法对柱坐标系下的标量、向量波动方程进行空间离散，据交界面处边界条件构造复数特征值方程，求解结构频散曲线。

1弹性介质中波动方程

以带阻尼材料层的无限长弹性圆柱壳为例进行分析。采用严格的弹性理论分析圆柱壳结构的频散关系。设壳体弹性模量为E，泊松比为μ，密度为ρ，液体介质密度为ρ0。所用坐标系见图1。

图1　敷设阻尼材料的圆柱壳的示意图 Fig.1 Schematic diagram for cylindrical shell with damping layer

由弹性理论，得均匀各向同性弹性介质满足位移向量的波动方程为

μ2u+(λ+μ)(

(1)

式中：u=Φ+H，H=Hrer+Hθeθ+Hzez(柱坐标下)。

圆柱壳运动由于仅考虑轴对称纵波、横波影响，通过分离变量可将波动方程分解为

(2)

(3)

设波沿+z方向传播，所得方程的解为

Φ=f(r)ei(kz-ωt)

(4)

Hθ=h(r)ei(kz-ωt)

(5)

将式(4)、(5)代入式(2)、(3)得

(6)

(7)

由位移势函数得相应位移为

ur=(∂rf-ikh)ei(kz-ωt)

(8)

(9)

由位移与应变关系可得

(10)

r-1∂rh+(k2-r-2)h]ei(kz-ωt)

(11)

由广义胡克定律σij=λΔj+2μεij可得

(12)

(13)

对理想流体介质而言，无需考虑其剪切项，即可忽略式(3)，得理想流体特征方程为

(14)

位移表达式为

ur=∂rfei(kz-ωt)

(15)

uz=ikfei(kz-ωt)

(16)

应力表达式为

(17)

σrz=-2μk∂rfei(kz-ωt)

(18)

2边界条件

据圆柱壳边界处连续条件，对式(6)、(7)进行求解。

(1)对流体与流体交界面，有

(19)

(20)

(2)对流体与结构交界面，有

(21)

(22)

(23)

(3)对结构与结构交界面，有

(24)

3谱方法

对波动方程一类双曲型方程，常采用Chebyshev-gauss配置点，即

(25)

求解变量在[-1,1]的规则区域，而实际求解区域往往不在标准区间，因此需对计算区域进行坐标变换，即

(26)

区域转换后对未知函数φ的一、二阶导数为

(27)

(28)

谱方法的构造可由加权参量法得出，设

(29)

(30)

故有

fn≈Dnf

(31)

4有阻尼负载圆柱壳谱方法

本文采用Chebychev多项式去逼近方程(13)、(14)中的特征向量项f，h，进而利用微分矩阵对该多项式快速、准确微分求导。将函数f沿半径方向离散为N个点，则据式(7)可表示为

(32)

由式(32)可得式(13)、(14)左端微分算子，即

(33)

式(13)、(14)用微分矩阵形式表示为

(34)

式中：Ll，Ls为微分矩阵，表达式为

(35)

将式(15)、(16)用微分矩阵形式表示为

(36)

将式(19)、(20)用微分矩阵形式表示为

(37)

式中：

Srh=2μD(1)；Szf=-2μ[D(3)+diag(r-1)D(2)-

阻尼层位移向量中λ*，μ*为复粘弹性Lamé常数，所得阻尼层纵波及横波波速为复数，且不增加计算难度及效率。通过式(34)构造有阻尼负载圆柱壳矩阵方程为

(38)

将式(26)~式(30)代入式(36)、(37)，并将边界条件行整合到式(38)中，得广义特征方程为

(39)

(40)

式中：E为对角阵，E(1,1)=0，E(N,N)=0，E(i,i)=1,i=2…N-1。

图2　有阻尼负载圆柱壳 矩阵 Fig.2 Lmatrix of cylindrical shell with damping layer

由式(31)看出其满足Ax=Bλx形式，即有结构的频散方程本质上为求解广义特征值问题。对此已有较多数值方法可求解。

5数值计算结果及验证

5.1圆柱壳结构频散特性

用充液圆柱壳模型[17]，计算圆柱壳纵波速度为4 879m/s，横波速度为2 600 m/s，密度为2 160 kg/m3，圆柱壳外径为2 m，内径为0.1 m，内部流体介质纵波速度为1 500 m/s，密度为1 000 kg/m3。计算结果见图3。对比图3中1阶相速度频散曲线看出，采用传统的搜根方法(二分法、牛顿法)计算结果与谱方法计算结果吻合良好，从而验证本文方法的有效性及正确性。由于谱方法通过求解特征值获得频散曲线，较传统搜根法在计算效率上有较大提高。

5.2充水圆柱壳频散特性

计算中圆柱壳取各向同性的铜质材料，弹性模量E=2.078E11 N/m2，泊松比μ= 0.317 756，密度ρ=8 500kg/m3，纵波速度为3.7 km/s，横波速度为2 km/s。离散点个数π/N≤λ/2，N=40，圆柱壳厚径比h/R= 0.125。流体介质水密度为1 000 kg/m3，纵波速度1.5 km/s。分别计算圆柱壳充水与否的频散特性。计算曲线见图4。对比图4(a)、(b)相速度频散曲线发现，本文壳体的相速度频散曲线与各导波模式的频散曲线[18]吻合较好。验证本文计算方法的正确性、有效性。圆柱壳内部有水时，圆柱壳中L(0,2)模态被内部充水的各纵向模态“折断”，分属不同纵向模态，相速度频散曲线存在明显的“阶梯”规律，即模态分支现象。各模态相速度在3.3 km/s附近各“阶梯”相连。由图2发现在8 kHz以下，光圆柱壳中只存在纵向轴对称L(0,1)及L(0,2)模态。“阶梯”现象的产生可认为因单层圆柱壳前两阶模态与内部水圆柱壳体纵向模态交叉耦合所致，各模式波在不同频率的传播特性差异较大。频散曲线中出现α模态。α模态不存在截止频率，仅圆柱壳结构在充液情况下才有。α模态相速度曲线为先减少后增加，在整个频段内α模态的频散特性变化较小，高频段时主要为弯曲运动，一般认为类Stoneley波[5]。

图3 两种方法计算圆柱壳频散曲线Fig.3Dispersioncurvesofcylindricalshellwithtwomethods图4 不同结构的相速度纵向模态频散曲线Fig.4Dispersioncurvesfortwocylindricalshells

5.3有阻尼负载的充水圆柱壳频散特性

计算模型为有阻尼负载的充水圆柱壳，密度7 850 kg/m3，纵波速度5.73 km/s，横波速度3.21 km/s，离散点个数N=20，圆柱壳厚径比0.03，水密度1 000 kg/m3，纵波速度 1.5 km/s；阻尼材料密度1 300 kg/m3，纵波速度2.306~0.228i km/s，横波速度为0.322~ 0.032i km/s，阻尼厚度与圆柱壳体厚度比为0.4，离散点个数N=20。

由k=Re(k)+iIm(k)可知

(41)

α=Im(k)=ωIm(1/C)

(42)

故

(43)

衰减量为

A=20log10(e-1 000α)

(44)

求解式(39)可得频率波数k，进而可分别获得cph，A。

图5　有阻尼负载充水圆柱壳纵向模态频散曲线 Fig.5 Dispersion curves for a fluid-filled cylindrical shell with damping layer

由图5相速度曲线看出，0~5 kHz时出现7个纵向模态，L(0,1~9)及α模态，后者与不充液圆柱壳中L(0,1)较相似。所有模态均趋近圆柱壳内部水的纵波波速1.5 km/s。各阶模态的衰减程度不同，主要由纵向模态向液体中泄露能量及阻尼负载损耗引起的能量损失。其中L(0,1)在 0.5 kHz以下衰减较小，随频率增加L(0,1)阶波频散及衰减特性均增加。L(0,2~7)随纵向模态阶数、频率增加，衰减程度越严重。

6结论

(1)提出一种新的求解圆柱壳结构频散特性谱方法，并针对多层复合圆柱壳结构计算模型，以Chebyshev多项式系为基函数，通过坐标变换给出[-1,1]上广义Chebyshev多项式，通过构造柱坐标下标量、向量波动方程，进行空间离散，据交界面处边界条件构造复数特征值方程。求解获得结构频散曲线。

(2)基于谱方法，求解充水与否、有阻尼负载圆柱壳比较典型的频散特性情况。研究表明，谱方法在求解有阻尼、非均匀层介质、多孔材料、各向异性等情况下复合圆柱壳具有良好的应用前景。

参考文献

[1]Fay R D, Brown R L, Fortier O V. Measurement of acoustic impedances of surfaces in water[J].Journal of the Acoustica Society of Americal, 1947, 19:850-856.

[2]Jacobi W J. Propagation of sound waves along liquid cylinders [J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1949, 21:120-127.

[3]Biot M A. Propagation of elastic waves in a cylindrical bore containing a fluid [J]. Journal of Applied Physics,1952, 23:997-1005.

[4]Brevart B J, Fuller C R. Effect of an internal flow on the distribution of vibrational energy in an infinite fluid-filled thin cylindrical elastic shell[J].Journal of Sound and Vibration, 1993, 167(1): 149-163.

[5]Fuller C R, Fahy F J. Characteristic of wave propagation and energy distribution in cylindrical elastic shells filled with fluid[J]. Journal of Sound and Vibration,1982, 81(4): 501-518.

[6]Gazis D C. Three dimensional investigation of the propagation of waves in hollow circular cylinders.I.analytical foundation[J]. Journal of Acoust. Soc. Am.,1959,31(5):568-573.

[7]Gazis D C.Three dimensional investigation of the propagation of waves in hollow circular cylinders.II.numerical results[J].Journal of Acoust. Soc. Am.,1959,31(5):574-578.

[8]Breitenbach E D,Uberall H,Yoo K B. Resonant acoustic scattering from elastic cylindrical shells [J]. Journal of Acoust. Soc. Am.,1983, 74(4): 1267-1273.

[9]Maze G, Leon F, Ripoche J, et al. Repulsion phenomena in the phase-velocity dispersion curves of circumferential waves on elastic cylindrical shells[J]. Journal of Acoust.Soc. Am., 1999, 105(3): 1695-1701.

[10]Barshinger J N, Rose J L.Guided wave propagation in an elastic hollow cylinder coated with a viscoelastic material[J]. IEEE Transactions on Ultrasonics, ferroelectrics, and frequency Control,2004,51(11):1547-1556.

[11]Alleyne D N, Lowe M J S, Cawley P. The reflection of guided waves from circumferential notches in pipes[J]. Transactions of the ASME Journal of Applied Mechanics, 1998, 65: 635- 641.

[12]Kumar R.dispersion of axially symmetric waves in empty and fluid-filled cylinderical shells[J].Acustica,1972, 24(6):317-329.

[13]Kumar R. Flexural vibration of fluid-filled circular cylindrical shells[J]. Acoustica, 1971, 24:137-146.

[14]Lafleur L D, Shields F D. Low frequency propagation modes in a liquid-filled elastic tube wave-guide[J]. Journal of Acoustic Soc. Am., 1995, 97:1435-1445.

[15]Sinha B k, Plona T J, Kostek S, et al. Axisymmetric wave propagation in fluid-loaded cylindrical shells:I theory[J]. Journal of the Acoustical Society of America,1992,92(2):1132-1143.

[16]Plona T J, Sinha B K, Kostec S,et al. Axisymmetric wave propagation in fluid-loaded cylindrical shells:Ⅱtheory[J]. Journal of the Acoustical Society of America,1992,92(2): 1144-1155.

[17]Karpfinger F,Valero H P,Gurevich B,et al. Spectral method for modeling dispersion of acoustic modes in elastic cylindrical structures [J] . Geophysics,2010, 75(3): 19-27.

[18]Karpfinger F, Gurevich B, Bakulin A. Modeling of axisymmetric wave modes in a poroelastic cylinder using spectral method[J].Journal of the Acoustical Society of America, 2008, 124(4): 230-235.

[19]Karpfinger F, Gurevich B, Bakulin A. Computation of wave propagation along cylindrical structures using the spectral method [J]. The Journal of the Acoustical Society of America, 2008, 124(2):859-865.

[20]Weideman J A C, Reddy S C. A matlab differentiation matrix suite[J].ACM Trans. Math. Softw.,2000, 26:465-519.