关于非齐次树上连续马氏信源熵密度的若干强偏差定理

关于非齐次树上连续马氏信源熵密度的若干强偏差定理

金少华1，赵玉姝1，闫会强2，宛艳萍3

(1.河北工业大学理学院，天津300401；2. 河北工业大学经济管理学院，天津300401；

3.河北工业大学计算机科学与软件学院，天津300401)

[摘要]树指标随机过程已成为近年来发展起来的概率论的研究方向之一.强偏差定理一直是国际概率论界研究的中心课题之一.本文通过构造适当的非负鞅，将Doob 鞅收敛定理应用于几乎处处收敛的研究，研究给出了一类非齐次树上连续马氏信源熵密度的若干强偏差定理.

[关键词]非齐次树； 鞅； 马氏信源； 强偏差定理

[收稿日期]2015-03-30

[基金项目]河北省高等学校科学技术研究重点项目(ZD2014051)

[中图分类号]O177.91[文献标识码]A

1前言

树指标随机过程已成为近年来发展起来的概率论的研究方向之一.强偏差定理一直是国际概率论界研究的中心课题之一.Shi和Yang[1]研究给出了m根Cayley 树指标m阶有限状态非齐次Markov链的一些极限性质. 文献[2]研究给出了Bethe树上非齐次马尔科夫随机场的一类强偏差定理.本文通过构造适当的非负鞅，将Doob 鞅收敛定理应用于几乎处处收敛的研究， 研究给出了一类非齐次树上连续马氏信源熵密度的若干强偏差定理.

2定义

设T是一个具有根顶点o的无限树，{Nn, n≥1}是一列正整数集，如果第n (n≥0)层上的每个顶点均与第n+1层上的Nn+1个顶点相邻，则称T为广义Bethe树或广义Cayley树.特别地，若对非负整数集N，用模m的同余关系对其分类得到模m的剩余类

(0)={0,m,2m,3m,…,nm,…},

(1)={1,m+1,2m+1,3m+1,…,nm+1,…},

……………………

(m-1)={m-1,2m-1,3m-1,…,(n+1)m-1,…},

当n∈(i)时，令

Nn+1=αi(αi均为正整数且不同时为1)，i=0,1,2,…,m-1，

就得到了一类特殊的非齐次树Tα0,α1,…αm-1.以下恒以T表示树Tα0,α1,…αm-1，以Ln表示第n (n≥0)层上所有顶点的子图，Tn表示含有从o顶点到第n层上所有顶点的子图.

定义2.1设{Xσ，σ∈T}是定义在概率空间{Ω，F，P}上的取值于连续状态(+，β(+))的任意信源，其联合密度函数为

f(XTn=xTn)=f(xTn).

(1)

设

{P(X0，1∈A)}，A∈β(+)

(2)

是{Xσ，σ∈T}的初始分布，并有正则条件概率族

P(σ，S(σ);Xσ，A)=E[IA(XS(σ))|Xσ],∀Xσ∈+， A∈B(+).

(3)

若

P(σ，S(σ);Xσ，A)=∫Af(σ，S(σ);Xσ，XS(σ))dXS(σ)，

(4)

则称f(σ，S(σ);Xσ，XS(σ))为转移密度函数，记

f(σ，S(σ);Xσ，XS(σ))=fS(σ)(Xσ，XS(σ)).

(5)

设fS(σ)(Xσ，XS(σ))是{Xσ，σ∈T}的一列转移密度函数，初始分布对应的概率密度函数记为f0，则称{Xσ，σ∈T}为具有初始分布(2)与正则条件概率族(3)的在+上取值的连续状态树指标非齐次马氏信源.则{Xσ，σ∈T}的联合密度函数为

(6)

设Q是(Ω，F)上的另一概率测度，{Xσ，σ∈T}在Q下的联合密度函数为

(7)

定义2.2设联合密度函数f(XTn)，g(XTn)均如前定义，令

(8)

称φ(ω)为Q相对于P的样本散度.

定义2.3设λ为一实数，{hk(x)}是定义在+上的一函数列，称

(9)

为函数hk(Xξk)的Laplace变换.

3主要结果及其证明

引理3.1设{Xσ，σ∈T}为定义在概率空间(Ω，F，P)上取值于连续状态(+，β(+))的任意信源，其联合密度函数由(1)式给出.f(XTn)，g(XTn)与hk(x)均如前定义，φ(ω)如(8)式定义.令

(10)

则{tn(λ，ω)，σ(XTn)，n≥1}在测度Q下为一非负鞅.

证由(7)式，有

(11)

由(10)式，有

tn(λ，ω)=tn-1(λ，ω)·In，

(12)

其中

(13)

而

(14)

由(14)式，有

E[tn(λ，ω)|σ(XTn-1)]=tn-1(λ，ω)，

所以{tn(λ，ω)，σ(XTn)，n≥1}在测度Q下为一非负鞅.

定理3.1设{Xσ，σ∈T}为定义在概率空间(Ω，F，P)上取值于连续状态(+，β(+))的任意信源，其联合密度函数由(1)式给出.φ(ω)和hk(x)如前定义.若存在λ0>0，使得当λ∈[-λ0，λ0]时，(λ)有定义.令D={ω:φ(ω)<+∞}.若

(15)

则

(16)

(17)

其中

(18)

(19)

并且

(20)

(21)

证根据引理3.1及Doob鞅收敛定理，存在A(λ)∈F且P(A(λ))=1，使得

(22)

由(10)式和(22)式，对任意的λ∈[-λ0，λ0]，有

(23)

于是由(8)式和(23)式，有

(24)

在(24)中取λ=0，有

φ(ω)≥0，ω∈A(0)∩D.

(25)

(26)

有

ω∈A(λ)∩D.(27)

当-λ0<λ<0时，将(27)式两边同除以-λ，有

ω∈A(λ)∩D.

(28)

(29)

由于|hk(Xξk)|∈[0，+∞)，则由(29)式，有

(30)

由(28)式及(30)式，有

(31)

(32)

(33)

(34)

由(33)式，有

(35)

由(34)式和(35)式，有

ω∈A*∩A(0)∩D.

(36)

因为P(A*∩A(0))=1，故由(36)式，有(16)式成立.

当0<λ<λ0时，将(27)式两边同除以-λ，有

ω∈A(λ)∩D.

(37)

(38)

由于|hk(Xξk)|∈[0，+∞)，则由(38)式，有

(39)

由(37)式及(39)式，有

(40)

(41)

(42)

(43)

由(42)式，有

(44)

由(43)式和(44)式，有

(45)

因为P(A*∩A(0))=1，故由(45)式，有(17)式成立.

[参考文献]

[1]Shi Z Y， Yang W G. Some limit properties for them-th-order non-homogeneous Markov chains indexed by anmrooted Cayley tree [J]. Statistics & Probability Letters， 2010， 80(15): 1223-1233.

[2]Yang W G. A class of deviation theorems for the random fields associated with non-homogeneous Markov chains indexed by a Bethe tree [J]. Stochastic Analysis and Applications， 2012， 30(2):220-237.

A Class of Strong Deviation Theorems of the Entropy Density

of Continuous Markov Information Source on a Non-Homogeneous Tree

JINShao-hua1，ZHAOYu-shu1，YANHui-qiang2，WANYan-ping3

(1. College of Science， Hebei University of Technology， Tianjin 300401，China;

2. College of Economics and Business Administration， Hebei University of Technology， Tianjin 300401，China;

3.School of Computer and Engineering， Hebei University of Technology， Tianjin 300401，China)

Abstract:In recent years， tree indexed stochastic process has become one of the hot topics in probability theory . The strong deviation theorem has been one of the central issues of the international probability theory. In this paper， through constructing a non-negative martingale and applies Doob’s martingale convergence theorem to the research of a.e. convergence， a class of strong deviation theorems of the entropy density of continuous Markov information source on a non-homogeneous tree are given.

Key words: non-homogeneous tree; martingale; Markov information source; strong deviation theorem