双调和Abel-Poisson算子对Hölder函数类的逼近

双调和Abel-Poisson算子对Hölder函数类的逼近

有名辉

(浙江机电职业技术学院数学教研室，杭州310053)

[摘要]建立了双调和Abel-Poisson算子对Hölder函数类的逼近度的渐进等式，解决了双调和Abel-Poisson算子和Hölder函数类的Kolmogorov-Nikol’skii 问题.

[关键词]双调和Abel-Poisson算子； Hölder函数类； 逼近； 渐进等式； Kolmogorov-Nikol’skii问题

[收稿日期]2015-03-20;[修改日期]2015-05-15

[中图分类号]O174.42[文献标识码]A

1引言

记C2π是周期为2π的连续函数的全体，对f∈C2π定义范数：

若f∈C2π满足不等式

‖f(x+h)-f(x)‖∞≤|h|α(0<α≤1)，

(1)

则称f(x)满足Hölder条件，满足条件(1)的函数的全体称为Hölder函数类，记为Hα.

若f∈C2π满足不等式

‖f(x+h)-2f(x)+f(x-h)‖∞≤2|h|α(0<α≤2，|h|≤2π)，

(2)

则称f(x)满足Zygmund条件，满足条件(2)的函数的全体称为Zygmund函数类，记为Zα.

对于C2π中的可积函数f，定义双调和Abel-Poisson积分A2(f，r，x)如下：

考查双调和Abel-Poisson积分算子对某一函数类K的逼近度，通常用量

(3)

来表示.如果存在函数φ(1-r)=φ(K;A2(f，r，x);(1-r))满足：

E(K，r)=φ(1-r)+o(φ(1-r))(r→1-0)，

则称算子A2(f，r，x)和函数类K的Kolmogorov-Nikol’skii 问题[3]解决了.

上个世纪60年代，Kaniev[4]，Pych[5]研究了K=H1的情形，并取得了一定的成果.如1968年，Pych[5]建立了如下渐进等式

2000年， Zhigallo和Kharkevych[6]把Pych的结果进行了如下推广：

其中

对于K=Hα(0<α<1)的情形，近些年来，一直未见相关研究成果出现.本文在此主要研究双调和Abel-Poisson算子对Hölder函数类Hα(0<α<1)的逼近.

2主要结果

定理1设0<α<1，E(Hα，r)如式(3)定义，则r→1-0时，有如下渐进等式：

(4)

因此，利用式(1)， 即得

(5)

显然|t|α∈Hα，并且

(6)

结合式(3)，(5)及(6)可得

(7)

记

∶=I1+I2.

(8)

经过简单的计算，不难得到

(9)

结合式(9)，可知

(10)

其中

(11)

利用变量代换，可得

(12)

利用β函数和Γ函数[7]的性质，可得

(13)

同时，不难证明

(14)

再把式(13)，(14)代入到式(12)，可得

(15)

把式(15)代入到式(11)，便得

(16)

(17)

结合式(16)，(17)，则有

(18)

考查式(10)中的积分，经过细致的计算，不难算得

(19)

把式(18)，(19)代入式(10)，可知

(20)

以下考查式(8)中的I2，经过简单而细致的计算，可得

(21)

利用式(21)，易得

I2=I21+O((1-r)2)，

(22)

其中

(23)

再次利用β函数和Γ函数的性质，可以算得

(24)

把式(24)代入到式(23)，并结合式(22)，得

(25)

结合式(17)和式(25)，可知

(26)

把式(20)、(26)代入到(8)，并结合式(7)，便得

推论1设0<α<1，E(Zα，r)如式(3)定义，则r→1-0时，有如下渐进等式：

[参考文献]

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[4]Kaniev S. On the deviation of functions biharmonic in a disk from their boundary values[J]. Dokl. Akad. Nauk SSSR， 1963， 153(5): 995-998.

[5]Pych P. On a biharmonic function in unit disk[J]. Ann. Pol. Math， 1968， 20(3): 203-213.

[6]Zhigallo K M， Kharkevych Yu I. On the approximation of functions of the Hölder class by biharmonic Poisson integrals[J]. Ukr. mat. zh.， 2000， 52(7): 1113-1117.

[7]Γ.M.菲赫金哥尔茨.微积分学教程(第二卷)[M].北京：高等教育出版社，2006.

On the Approximation of Functions of the Hölder Class by

Biharmonic Abel-Poisson Integral

YOUMing-hui

(Mathematics Teaching and Research Section，Zhejiang Institute of Mechanical and Electrical Engineering，

Hangzhou 310053， China)

Abstract:This paper establishes the asymptotic equality of the upper bound of the deviation of the biharmonic Abel-Poisson integral from functions of the Hölder class， and solves the Kolmogorov-Nikol’skii problem of the biharmonic Abel-Poisson integral and the functions of the Hölder class.

Key words: approximation; biharmonic Poisson integral; Hölder class; asymptotic equality; Kolmogorov-Nikol’skii problem