铁磁／超导多层结构中的自旋三重配对

铁磁/超导多层结构中的自旋三重配对

孟豪，任亚杰

(陕西理工学院 物理与电信工程学院， 陕西 汉中 723000)

[摘要]通过自洽求解Bogoliubov-de Gennes方程研究了具有非共线界面磁矩的铁磁-超导-铁磁多层结构中的自旋三重配对，发现非共线磁矩可以在界面区域引起一个自旋倒易散射。该散射能够将超导体中的自旋单重对转化为铁磁体中自旋相同的三重对。当超导两侧铁磁体的磁矩结构对称时，自旋相同的三重对可以分别在超导和铁磁区域的局域态密度中引起一个尖锐的零能电导峰。当铁磁体的磁矩反对称时，两侧铁磁体之间将会发生交错Andreev反射并形成自旋单重对，从而在局域态密度的零能电导峰中心产生一个明显的凹陷。局域态密度的这些特征可以通过实验测量微分电导谱加以验证。

[关键词]Andreev反射；交错Andreev反射；自旋倒易散射；自旋单重对；自旋三重对

[文章编号]1673-2944(2015)04-0071-08

[中图分类号]O511

收稿日期：2014-11-14

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11447112)；陕西理工学院科研基金资助项目(SLGKYQD2-01)

作者简介：孟豪(1982—)，男，陕西省兴平市人，陕西理工学院讲师，博士后，主要研究方向为超导电性、铁磁-超导异质结量子输运；[通信作者]任亚杰(1964—)，男，陕西省洋县人，陕西理工学院教授，硕士，主要研究方向为凝聚态理论。

(a) 正常Andreev反射　　　　　(b) 正常遂穿

(c) 自旋倒易Andreev反射　　　(d) 自旋倒易遂穿　 图1　电子从F射入S的4种输运过程

对于F1/S/F2结构，若F1和F2的磁化方向平行，在F/S界面处只能发生正常Andreev反射。若F1和F2的磁化方向反平行并且S层厚度不大于超导相干长度ξ0，自旋向上的电子从F1入射以后，自旋向下的空穴除了反射回F1外，还可以射入F2并在S内形成一个Cooper对。该过程可以实现两个自旋相反的电子/空穴之间的纠缠，称之为交错Andreev反射(crossed Andreev reflection)。以上两种结构只能形成自旋单重Cooper对，因此当铁磁体的交换场较强时，这种Cooper对在铁磁体内仅能传播很短的距离。

但是，如果F1和F2的磁化方向存在一定夹角，则在F1/S/F2结构中可以产生长程的自旋三重对[8]。与此相对应，本文提出另外一种结构同样可以产生长程自旋三重对，即在F1/S/F2结构的界面处插入具有非共磁矩的薄铁磁层FL和FR。我们发现FL和FR能够在该区域引起自旋倒易散射并在F1和F2产生自旋相同的三重对。若超导两侧的铁磁层结构对称，自旋相同的三重对的出现可以在F1层和S层的局域态密度中引起一个尖锐的零能电导峰。但若铁磁结构反对称，零能电峰中心会产生一个凹陷，这是由交错Andreev反射产生的自旋单重配对所造成。

图2　F 1/F L/S/F R/F 2结构示意图

1模型与方法

如图2所示，在F1/FL/S/FR/F2结构中S为s波超导体，铁磁层和超导层的长度分别为dF1，dL，dR，dF2和dS，总长度为d=dF1+dL+dS+dR+dF2，图中箭头分别表示F1，FL，FR和F2内的磁矩方向。铁磁层交换场分别为h1,hL,hR和h2。取准粒子沿y方向传输，系统在x-z平面方向无穷大，铁磁层磁矩位于x-z平面内。于是，BCS平均场有效哈密顿量[1,10]可以表示为：

(1)

其中He=-2/2m-EF表示有效质量为m的单粒子哈密顿量，EF表示Fermi(费米)能量，Δ(r)描述由自洽条件决定的s波超导对势。(r)和ψα(r)是自旋为α的产生和湮灭算子，σ是Pauli(泡利)矩阵。铁磁交换场h可以表示为

(2)

其中θL和θR分别表示FL层和FR层的磁矩相对于z轴的偏转角。

(3)

方程中unα(r)和vnα(r)表示准粒子和准空穴振幅,超导对势可由自洽条件确定[10]：

(4)

其中g(r)是超导耦合常数，它在超导体内为常数，在其它区域为零。方程(4)的求和范围取为0<εn<ωD，其中ωD为Debye(德拜)截止能量。

在用Bogoliubov自洽场方法求解方程(3)时，可将方程的解用一系列定态基矢展开[11]：

(5)

(6)

相应地，BdG方程(3)将会转化为一维形式，方程中的矩阵元分别为：

(7)

(8)

(9)

(10)

在矩阵元(7)中ε⊥表示与传播方向垂直的能量。我们从一个阶梯型对势出发，利用自洽条件(6)反复进行迭代，直到方程(3)达到自洽。于是，由自洽解可将自旋投影为0的三重对和自旋相同的三重对振幅函数分别表示如下[11]：

(11)

(12)

(13)

其中f′(ε)=∂f/∂ε为Fermi函数的导数。上述局域态密度的幅值用它在ε=2.5Δ0处的量值进行约化，因为超过该值局域态密度幅值几乎是一个常数。超导体和铁磁层内的态密度(DOS)可以通过对该区域内的LDOS积分得到。

在上述F/S结构中还存在一个反邻近效应(reverse proximity effect)，即铁磁层的磁矩会部分泄漏进入S层。该特征可以用局域磁矩加以描述，其在几何上存在两个分量[11]：

(14)

(15)

其中μB是Bohr(波尔)磁子。在下面的结论中这两个磁矩分量的幅值皆用-μB进行约化。

2结果与讨论

本文中定义超导相干长度kFξ0=100，无量纲坐标Y=kF(y-d/2)，时间τ=ωDt和Fermi能量EF=1。在下述计算中，超导层和铁磁层的厚度分别取为kFdS=100，kFdF1=kFdF2=50和kFdL=kFdR=10。为计算方便，考虑低温极限情况并取ωD=0.1和τ=5.5。以下分别讨论超导两侧的铁磁体具有对称和反对称磁序结构时，界面非共线磁矩对的自旋三重对和局域态密度的影响。

2.1对称磁序结构

(a) f 0实部的空间分布　　(b) f 1实部的空间分布　　(c) S区域内的DOS　　(d) F 1区域内的DOS

上述长程自旋三重对可以通过局域态密度的变化加以证明。如图3(c)所示，当θL=θR=0时自旋相同的三重对不存在，超导区域的态密度会在-Δ0和+Δ0之间形成一个宽的凹槽，这是超导能隙的体现。由于此处超导层的厚度较薄，只有一个超导相干长度kFξ0，铁磁层的反邻近效应对超导能隙的抑制会导致能隙内态密度的幅值不为0。我们发现随着界面磁矩偏转角的增加，能隙中间区域态密度的幅值逐渐增大。当θL=θR=π/2时，在ε/Δ0=0处可以形成一个尖锐的峰，称之为零能电导峰。该电导峰的出现标志着自旋相同的三重对的存在。同样地，F1区域的态密度可以形成幅值更大的零能电导峰(见图3(d))，这表明自旋相同的三重对在F1区域的传输距离要比在S区域远一些，其进入F1区域的数量要比进入S区域多一些。

接下来，讨论在F1区域和S区域局域态密度随位置的变化。如图4(a)所示，在F1层内随着Y的增加(从-100到-60)，即越来越靠近FL区域，零能电导峰的高度逐渐增加。但在S层内随着Y的增加(从-40到0)，即远离FL区域，零能电导峰逐渐减小，能隙逐渐展宽(见图4(b))。这种变化说明自旋相同的三重对产生于界面FL区域，随着穿透进入F1层和S层其数量逐渐减小，该特征与图3(b)中f1的空间分布情况一致。另一方面，为了描述铁磁体的反临近效应我们在图5中显示了不同偏转角时FL区域附近局域磁矩随空间坐标Y的变化情况。可以看到当θL=θR=0时界面FL层的磁矩沿着z方向，其x分量不存在。随着偏转角的增大z方向的磁矩Mz逐渐减小，x方向的磁矩Mx逐渐增大。与自旋三重对f1相比，局部磁矩Mx和Mz只能穿入S很短的距离。除此之外，在界面附近Mx随着位置坐标的改变不仅幅值会发生变化，同时还伴随着方向的旋转。

(a) F 1区域内不同位置处的LDOS　　　　　　　　(b) S区域内不同位置处的LDOS 图4　θ L=θ R=π/2时，F 1和S区域内不同位置处的LDOS

(a) M x随Y的变化　　　　　　　　　　　　　　(b) M z随Y的变化 图5　F L区域附近磁矩随偏转角的变化

2.2反对称磁序结构

在反对称磁序结构中，我们选取界面磁矩偏转角θR=π+θL，铁磁层交换场h1/EF=-h2/EF=0.5和hL/EF=hR/EF=0.1。如图6(a)和(b)所示自旋三重态f0和f1关于超导中心反对称，它们随偏转角的变化特征与上述对称结构相同。但是S区域和F1区域的态密度与对称结构相比具有明显的区别，表现在零能电导峰中心ε/Δ0=0处存在一个明显的凹陷(见图6(c)和(d))。我们认为态密度的这一特征是由交错Andreev反射引起的。由于F1和F2为强铁磁体，其能带劈裂度较强。若两者磁矩平行，则它们具有相同的能带结构(如图7(a)所示)，即自旋向上的能带下移，自旋向下的能带上移，从而导致在Fermi能εk=0处自旋向上的能带可以被大量自旋向上的准粒子占据，该自旋向上的准粒子在这种铁磁体内称之为多子。与之相反，自旋向下的能带只能被少量的自旋向下的准粒子占据，这种自旋向下的准粒子称之为少子。如果超导两侧的铁磁体磁序结构对称，自旋向上的电子从F1层入射到FL层，该区域的自旋倒易Andreev反射能够向F1层回射一个自旋向上的空穴，从而形成自旋相同的三重态，该三重态可以在态密度中引起一个零能电导峰。因为F2层自旋向下的能带只能被少量自旋向下的准粒子占据，所以交错Andreev效应引起的自旋向下的空穴射入F2层的概率很小，从而导致交错Andreev效应几乎不能发生。与上述现象相对应，若F2层磁矩反平行于F1层，其能带结构如图7(b)所示。这种情况下自旋向下的准粒子在F2层内为多子，因此交错Andreev反射产生的自旋向下的空穴可以射入F2层并形成自旋单重Cooper对。于是，反对称磁矩结构下自旋单重对f3的幅值要比对称结构下的幅值大一些(如图8所示)。

(a) f 0实部的空间分布　(b) f 1实部的空间分布　(c) S区域内的DOS　(d) F 1区域内的DOS 图6　铁磁层结构反对称情况下，三重对振幅及DOS随磁矩偏转角的变化

图7　 不同情况下F 1层(左侧)和　　　　　　　　图8　 不同情况下界面F L层　　 F 2层(右侧)内能带结构图 附近f 3随Y的变化

3结论

本文采用Bogoliubov自洽场方法研究了F1/FL/S/FR/F2混合结构中非共线界面磁矩对自旋三重对以及局域态密度的影响。我们发现界面非共线磁矩可以引起一个自旋倒易散射。该散射能够在界面FL和FR区域产生自旋倒易Andreev反射，从而导致超导体内的自旋单重对向铁磁体内自旋相同的三重对的转变。这种自旋相同的三重对可以在F1层和F2层内传输较长的距离，并且能够穿入S层一定的距离。随着界面磁矩偏转角的增加，界面区域产生的自旋三重对逐渐增强。当界面FL和FR层的磁矩垂直于F1和F2层时，自旋相同的三重对幅值达到最大。如果超导两侧铁磁体的磁序结构对称，自旋相同的三重对可以在铁磁和超导区域的态密度中引起一个尖锐的零能电导峰，该电导峰可以作为实验验证自旋相同的三重对存在的有力依据。当铁磁体的磁序结构反对称时，在F1层和F2层之间还会发生交错Andreev反射，这时在态密度的零能电导峰中心会产生一个明显的凹陷。该特征标志着两个自旋相反的准粒子之间的纠缠，可以用来实验验证交错Andreev反射的存在。

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[责任编辑：魏 强]

Spin triplet pairing in ferromagnet/superconductor multilayer structures

MENG Hao,REN Ya-jie

(School of Physics and Telecommunication Engineering, Shaanxi University of Technology,

Hanzhong 723000, China)

Abstract:The study investigates spin triplet pairing correlations in ferromagnet-superconductor-ferromagnet multilayer structure with noncollinear interfacial magnetizations, via self-consistent solution of the Bogoliubov-de Gennes equations. The result shows that noncollinear magnetic configuration leads to spin-flip scattering at the interfacial regions, which can convert spin singlet pairs in the superconductor into the equal spin triplet pairs in the ferromagnets. If the magnetizations of the ferromagnetic layers on both sides of superconductor are constructed symmetrically, the equal spin triplet pairs could induce a very sharp zero energy conductance peak (ZECP) in the local density of the states (LDOS) in the superconducting region and ferromagnetic region. However, when the magnetic moments of ferromagnets have antsymmetric structures, the crossed Andreev reflection will occur between two spatially separated ferromagnetic layers so as to form the spin singlet pairs in the system. This effect could induce an obvious concavity in center of ZECP. The feature of LDOS can be demonstrated by measuring the local differential conductance spectra in experiment.

Key words:Andreev reflection;crossed Andreev reflection;spin-flip scattering;spin singlet pair;spin triplet pair