圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用

雷鹏

摘要：圆锥曲线方程是高中数学中重要的基础知识点，其在高考数学中占有重要比重。本文通过对高中数学中常见的数学类型题目，分析圆锥曲线参数方程在高中数学中的应用，为学生学习成绩的提升打下坚实基础。

关键词：圆锥曲线参数方程   高中数

学解题

DOI：

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.09.146

圆锥曲线定义中，通过椭圆定义、双曲线定义、圆锥曲线上的点与两个焦点之间的关系进行解题。在解题的过程中，需要对上述三者有个清晰的认识，树立等价转换思想，加强数形结合的建设，由点到面，促进教学层次的深化，从而提升学生在圆锥曲线参数方程上的理解，进而为有效解决数学难题提供重要支撑。

一、创新性思维：利用圆锥曲线方程解决高中数学题中常见的最值问题

传统的数学学习方式是通过广泛地做题，不断进行数学题型的训练，从而获得学习成绩的提升。目前，针对学生学习特点与学习进度，通过设计典型习题，注重培养创新思维，从而举一反三，快速提升学生对于数理认识，加强对数学的感知能力，使数学成绩得到提升。后者更加注重人性化，以学生为中心，避免数学题练习的低质量与低学习效率。

例1：  椭圆

椭圆一个内接四边形ABCD，其各边与坐标轴平行，求此四边形的最大面积与最大周长。

由题目可以进行推断，将思路不要仅仅限于局部，启用创新性思维，不断与其他知识展开联想，打开解题的突破点。

解析：根据题目可以假设A（acosθ，bsinθ），通过对四边形的观察，可以得到其四边与坐标轴分布保持平行，推断四边形ABCD为矩形，其面积可以表示为S=4（acosθ×bsinθ）=2absin2θ。当S表示为最大值，sin2θ为最大值，其值为1;当sin2θ=1时，S=2ab，四边形ABCD的周长可以表示为 L = 4（ bsinθ+ acosθ） = 4（ a2+b2）1 /2sin（θ+β）·sinβ= a÷（ a2+ b2）1 /2，cosβ= b ÷（ a2+b2）1 /2，当sin（θ+β） 为最大值时，四边形的周长为最大，sin（θ+β）值为1，LMAX=4（a2+b2）1/2

二、探索性思维：采用定义与正余弦定理求焦点三角形

高中数学中，存在一定数量难点，对于学生的学习能力提出了新的要求，要求学生在实际的解题过程中，能够充分发挥探索性思维，通过总结与小组合作，提升数学解题能力。在圆锥曲线参数方程的应用解题中，单一性题目较少，复合型、复杂性题目较多，难度系数也随之增加。如何充分发挥探索性思维，需要学习不拘于形式，通过对基础知识的深度理解，正确把握解题的精髓。

例2：已知双曲线

P为双曲线上任意一点，∠F1PF2=θ，求△F1PF2的面积。

在本题中，在结合基础知识的基础上，通过对定义的深度理解，巧用正余弦定理，进而利用面积公式与正余弦定理得到相应的答案。

解析：

通过与圆锥曲线中的双曲线定义能够得到，

即                                                                     （3）

通过对（3）与（2）进行分析与研究，可以

推出

在上式（1）中代入三角形面积

进而完成此题的解答。

三、自主学习能力提升：采用圆锥曲线参数方程解决范围问题

高中学习阶段，强调自主学习与合作学习相结合，通过自主学习发现自身存在的问题，并采取有效措施加以解决，从而促进自身学习水平的提升[4]。在高中数学解题中，通过对科学思维的合理运用，能够对数学习题轻松解答。

例3 ： 椭圆方程

与x轴的正半轴相交，交点表示为M，如果   该方程上有一点N，ON垂直于MP，求椭圆离心率的范围。

学生在自主学习过程中，面对疑难问题时不应立即求助，依据自身对基础知识的掌握程度，发挥自出探究精神，对疑难问题提出挑战，从而提升自身数学解题的能力与水平。

解析：根据题目可知。M的坐标可以用（a，0）表示。假设N点坐标为（acosθ，bsinθ），同时，结合ON⊥MP可以得到

对上式进行化简，可以推出：

由于ON⊥MP，结合方程b2=c2-a2，所有离心率e的范围是

四、圆锥曲线参数方程应用过程中应注意的问题

圆锥曲线参数方程在应用中强调对各种知识的综合运用，通过合理运算思维与结构，实现对数学问题的求解。在此过程中，要求学生掌握基础知识的基础上，更加注重对知识的灵活运用。因此，学生在学习圆锥曲线参数方程相关基础知识时，应注重多写、多问、多记，打下扎实的基本功，从而能够在解题中，摸透数学题目的内涵，快速解题。

五、结语：

高中数学在高中教育体系中占据着极为重要的位置，需要教师在教学活动中，在加强对基础知识的教学时，注重学生对基础知识的运用。通过典型题目的专题讲解，促进学生成绩的提升。

参考文献：

[1]毛芹.圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用[J].理科考试研究：高中版，2014（21）.

[2]陈尧明.直线参数方程教学设计[J].教学月刊：中学版，2011（23）.

[3]李淑燕.用圆锥曲线的参数方程解题例谈[J].数理化学习：高三，2011（7）.

[4]陈传熙.“圆锥曲线的参数方程”的教学困惑与对策分析[J].数学通报，2010（49）.

[5]梁伟彬.浅析直线与圆锥曲线问题的几种解法[J].中学数学，2012（5）.

（责编   金   东）