关于幂级数的一点注记

张晓斌+韩颖

摘要：本文介绍了幂级数的概念及相关性质，并针对某类函数的幂级数展开进行了较详细的解释，有助于加强学生对该知识点的理解，同时也可供同行教师参考.

关键词：高等数学;函数;幂级数

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2016）06-0186-02

幂级数是高等数学中的一个重要内容，也是一种有效的计算工具，它能应用于极限的求法、数项级数求和、定积分和积分的计算、解常微分方程，还能对泰勒级数、和傅里叶级数展开起着铺垫的作用，而且用它解题往往思路清晰、逻辑清楚.

一、幂级数的概念

（一）幂级数

形如  a  x  或  a  （x-x  ）  的级数称为幂级数，其中常数a  ，a  ，a  ，…，a  …叫作幂级数的系数[1].为讨论方便，我们这里只考虑  a  x  这种形式.

（二）收敛半径与收敛区间

如果幂级数  a  x  不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数R存在，它具有下列性质：当|x|R时，幂级数  a  x  发散;当x=R或x=-R时，幂级数  a  x  可能收敛也可能发散.

正数R通常叫作幂级数  a  x  的收敛半径.由幂级数在x=±R处的收敛性决定.

它在区间[-R，R）、（-R，R]或[-R，R]上收敛.这样的区间叫作幂级数  a  x  的收敛域，而开区间（-R，R）称为幂级数的收敛区间.如果幂级数  a  x  仅在x=0收敛，就规定R=0，如果幂级数  a  x  对一切x都收敛，则规定R=+∞.

（三）收敛半径的求法

1.对于不缺项的幂级数  a  x  ，

定理：设幂级数  a  x  的系数有    存在或者为+∞，则R=    .

定理[2]：设幂级数  a  x  的系数有    =ρ存在或者为+∞，则

①当0<ρ<+∞时，有R=1/ρ.

②当ρ=0时，定义R=+∞.

③当ρ=+∞时，定义R=0.

2.对于缺项的幂级数，例如  a  x  ，令u  =a  x  ，考虑

=  =ρx  ，由正项级数比值审敛法，当ρx  <1时，级数收敛，此时可得

①当0<ρ<+∞时，有R=1/  .

②当ρ=0时，定义R=+∞.

③当ρ=+∞时，定义R=0.

二、将函数展开成幂级数

如果f（x）在点x  的某邻域内具有各有阶导数

f ′（x），f ″（x），f ？苁（x），…，f  （x），…，则称幂级数f（x  ）+f ′（x  ）（x-x  ）+  （x-x  ）  +…+  （x-x  ）  +…为函数f（x）在x=x  处展开的泰勒级数.特别地.取x  =0得幂级数f（0）+f ′（0）x+  x    +…+  x  +…称为函数的麦克劳林级数.

定理[1]：假设函数f（x）在x  的某一邻域具有各界导数，则f（x）在该领域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f（x）的泰勒公式中的余项R  （x）当n→∞时的极限为0.

《高等数学》（第五版下册，同济大学应用数学系主编）第十一章第四节（P.222）给出了m=1/2及m=-1/2时（1+x）  的二项展开式：

=1+  x-  x  +  x  -  x  +…，x∈[-1，1]， （1）

=1-  x+  x  -  x  +  x  +…，x∈（-1，1]. （2）

但是该教材并未指出上面两个式子为何在端点处成立，下面我们给出证明.

证明：对于（1）式，左端  显然在x=±1处连续，我们只需证明（1）式右端的幂级数在x=±1处均收敛即可.对于x=1，（1）式右端即

1+  -  +  -  -…=1+  （-1）

u  ，其中u  =  ，显然u  >u  且0

u  =0，由莱布尼兹定理  （-1）  u  收敛，故（1）式右端的幂级数在x=1处收敛.

对于x=-1，（1）式右端即1-  -  -  -  -…=1-  u  ，其中u  =  ，此时

=    =    ，正项级数比值审敛法失效.但是

u    =  ·  ·  ·  ·  ·  ·…·  ·  ·

≤  ·  ·  ·  ·  ·  ·…·  ·  ·  =  .

因此u  ≤  由正项级数比较审敛法的极限形式，得到    与p级数    的敛散性相同，从而  u  收敛，也就是说（1）式右端的幂级数在x=-1处收敛.

对于（2）式，等式左端  在x=1处连续，但在x=-1处间断，实际上x=-1是该函数的无穷间断点.

对于x=-1，（2）式右端即

1+  +  +  +  +…=1+  u  ，其中u  =  ，

u    =  ·  ·  ·  ·  ·  ·…·  ·  ·  ·

≤  ·  ·  ·  ·  ·  ·…·  ·  ·  ·  =  →0，故  u  =0，但是u    ≥  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·…·  ·  ·  ·  =  ，故

u  ≥  ·  ，而p级数    发散，故  u  发散，也就是说（2）式右端的幂级数在x=-1处发散（和为+∞）.

对于x=1，（2）式右端即

1-  +  -  +  -…=1-  （-1）

u  ，其中u  =  ，

显然u  >u  且  u  =0，由莱布尼兹定理

（-1）  u  收敛，故（2）式右端的幂级数在x=1处收敛.从而完成了证明.

三、总结

本文介绍了幂级数的概念、性质等，并对教材中的一个问题进行了详细的解答，也是本文的创新点，有助于学生加深对幂级数收敛性的理解，也可供同行教师教学时作为参考.

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学（下册）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]马晓东，李淑娟.浅谈幂级数的敛散性与函数的幂级数展开[J].中国科教创新导刊，2014，（15）：89-90.