蕴含在一元一次方程中的数学思想
□沈立新
数学思想方法是数学的灵魂,任何数学问题的解决都离不开数学思想方法的应用.在解与一元一次方程相关的问题时,若能适当地运用各种数学思想方法,往往可以使繁琐、复杂的题目变得简单、明了.本文将一元一次方程中比较重要的数学思想结合例题归纳总结如下,供同学们学习.
例1已知3xy2a-1与-9xya+3是同类项,求2a2-a+1的值.
分析:由同类项的概念可知,它们所含的字母相同,相同字母的指数分别相同,可建立一元一次方程求解.
解:由同类项的概念,可得2a-1=a+3,解得a=4,所以2a2-a+1=29.
点评:方程思想就是把所研究问题中的已知量和未知量之间的数量
例2解方程
分析:仔细观察发现方程两边均含有(x+1)、(x-1),可以将(x+1)与(x-1)看作整体,先进行移项,再整体合并,可使求解过程简捷.
解:移项,得关系,转化为方程或方程组等数学模型,从而使问题得到解决的思想方法.如一元一次方程与相反数、倒数、同类项、绝对值等概念的相关应用是方程思想的具体体现.
去分母,得3(x+1)=2(x-1).
去括号、移项、合并同类项,得x=-5.
点评:在解一元一次方程时,经常遇到要去括号或去分母的情况,这时我们通常运用整体思想将括号里面的式子或分子看成一个整体,或将方程中的某一部分视为整体求解,会使解方程的过程更简捷.
例3在有理数范围内定义新运算“*”,其规则为a*b=-b,试求方程x*2x=1的解.
分析:解决本题的关键是把新运算“*”转化为我们熟悉的常规运算.根据所给规则,可以得到x*2x=-2x,所以方程x*2x=1可以转化为- 2x=1.
解:根据定义的规则,得x*2x=-2x,则原方程变成-2x=1.
去分母,得x-4x=2.
合并同类项,得-3x=2.
点评:化归就是把待解决或难解决的问题,通过某种转化归结为已解决或易解决的问题,最终求得原问题的解决方法.解形式比较复杂的方程,要把它逐步化归为最简方程ax=b(a≠0),从而求出方程的解,这种化归转化思想需要同学们很好地体会和把握.
例4某超市在春节期间对顾客实行优惠,规定如下:
一次性购物少于200元低于500元但不低于200元500元或超过500元优惠办法不予优惠九折优惠其中500元部分给予九折优惠,超过500元部分给予八折优惠
(1)王老师一次性购物600元,他实际付款元.
(2)若顾客在该超市一次性购物x元,当x小于500元但不小于200时,他实际付款元,当x大于或等于500元时,他实际付款元.(用含x的代数式表示)
(3)如果王老师两次购物合计820元,实际付款共728元,且第一次购物的货款少于第二次购物的货款,求两次购物各多少元?
分析:(1)一次性购物600元时,其实际付款为500×0.9+0.8×(600-500)=530(元).(2)根据题意,当200≤x<500时,九折优惠,实际付款0.9x元;当x≥500时,实际付款为500×0.9+0.8(x-500)=(0.8x+50)元.(3)需分三种情况列方程分别求解:第一次少于200元,第二次多于500元;第一次在200~500元之间,第二次超过500元;两次都在200~500元之间.
解:(1)530;
(2)0.9x,(0.8x+50);
(3)设第一次购物x元,则第二次购物(820-x)元.
第一种情形:第一次购物少于200元,第二次购物多于500元,则x+0.8(820-x-500)+500×0.9=728,解得x=110,820-110=710(元);
第二种情形:第一次购物在200~500元之间,第二次购物超过500元,则0.9x+0.8(820-x-500)+500×0.9=728,解得x=220,820-220=600(元);
第三种情形:两次购物都在200~500元之间,则0.9x+0.9(820-x)=728,此方程无解.
综上所述,两次购物分别为110元、710元或220元、600元.
点评:分段计费问题和购物打折付款问题是中考的热点题型,主要包括水费、电费、出租车费、纳税、保险等的分段计费问题和购物打折付款问题,运用一元一次方程解决这些问题时常常需要运用分类思想.