“正切函数的性质与图像”的教学困惑与解决策略

安徽省阜阳市第三中学　董海涛

“正切函数的性质与图像”的教学困惑与解决策略

安徽省阜阳市第三中学董海涛

安徽省高中数学优质课大赛终于落下帷幕，参赛选手向观摩教师奉献了一节节异彩纷呈的课堂实操，其中的一节课“1.4.3正切函数的图像与性质”（人民教育出版社普通高中课程标准试验教科书必修4（A版）（以下简称教材）），深受评委和观摩教师的好评，笔者全程参与了该选手的备课环节，现将备课过程中的困惑及解决策略整理如下，与同行交流.

一、对本节内容的认识

本节课是在研究了正弦函数、余弦函数的图像与性质之后，研究的另一类三角函数，学生完全可以应用对比、类比的研究方法将已有经验迁移到对正切函数的性质和图像的研究中去，同时，学生已经掌握了正切函数的定义、单位圆中正切线，以及与正切有关的诱导公式等知识，这也为本节课的学习提供了知识的保障.在此基础上，进一步研究其性质与图像，为解析几何中直线的斜率与倾斜角的关系等后续内容的学习做好知识的铺垫，本节内容具有承前启后的作用.

二、研读教材产生的困惑及解决策略

困惑1：为什么要换“一个新的角度来研究正切函数的性质”？

思考：学生经历了正弦函数、余弦函数的研究过程，即先图像后性质，而且教材在课前探究中也明确认可这种研究方式：“你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图像与性质的经验，用同样的方法研究正切函数图像与性质？”但接下来却笔锋一转：“有了前面的知识准备，我们可以从一个新的角度来研究正切函数的性质.”并且为了体现这种新的研究方式，本节课题也调整为“正切函数的性质与图像”，即先性质后图像，可谓配合默契，用心良苦.

教材为何舍弃学生的最近发展区，舍熟悉而用陌生？难道仅仅是为了换一个新的角度？通过对课程标准和教师用书的学习，我们认识到：数学教学是思维教学，数学教育的核心任务是发展学生的理性思维、培养理性精神.因此本节课承载的教学任务不仅仅是交给学生具体的知识，更重要的是以知识为载体，教授学生如何“研究”！一般地，研究函数常见的方式有两种：（1）当对函数性质知之甚少时，可以通过描点绘图，通过观察图像获得对函数性质的直观认识；（2）当对函数性质有一定的了解时，可以先根据性质“精细化”做出“精美化”的图像，再利用图像研究其他性质.教材显然采用了第二种研究思路，这样做的好处不仅给学生提供了研究函数的另一个视角，而且加强了理性思考的成分，使数形结合思想得到更全面的体现.

策略：有了以上认识并结合学生的知识储备，采用了以下教学策略：先启动学生已有的知识储备（正切函数的定义、单位圆中的正切线、与正切有关的诱导公式），然后组织学生利用这些知识，自行研究正切函数的有关性质（定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、对称性），结合研究出来的部分性质利用正切线，合作探究作出正切函数的图像，最后结合图像，回扣性质，达到认识的再次升华.

思考：由诱导公式tan（π+x）=tanx，固然可以说明π是正切函数的一个周期，但怎么说明π是正切函数的最小正周期呢？难道就因为找不到比π更小的常数满足tan（π+x）=tanx吗？

备课过程中有老师提出：既然本节的研究方式是先性质后图像，就应该利用周期函数的定义，给出严格的证明.但经过对课标的研读，大家认识到，对于三角函数的周期与最小正周期，教学中一般只要弄清定义，并根据三角函数曲线或单位圆中的三角函数线，观察得出结论就可以了，同时，教材旁白批注中也有明确说明：“本书证明从略”，因此，“严格证明”留给学有余力的同学课后进行.

策略：教学中仍然采用由诱导公式说明π是正切函数的一个周期，然后由单位圆中的正切线直观说明π也是正切函数的最小正周期，最后再从正切函数的图像上加以确认，这样做，既培养了学生的直观思维，同时也达到了认识的螺旋上升.

思考：明确了正切函数的最小正周期是π，为我们研究正切函数的单调性提供了极大的方便，原则上我们可以任意选择一个长度为π的区间作为一个基本周期区间，在此区间内完成对正切函数单调性的认识.从学生认知角度，这个基本周期区间很自然地取但教材中“由正切线的变化规律可以得出，正切函数在）内是增函数”不符合学生的认知水平，是教材编写者的一厢情愿.

策略：教师与其在这里花费大量精力引导学生优化区间的表示，不如采用“延时研究”策略，先分段研究正切函数在）内的单调性，作出图像之后，再结合正切函数的周期性，得出正切函数在开区间内都是增函数，拓展学生的“学术研究时间”，理清知识发生的本源.

策略：先回顾正弦函数的作图步骤，类似地，通过平移正切线，作出正切函数在内的图像，根据正切函数的奇偶性，图像关于原点对称，得到内的图像，进而得到）内的图像，再向左、向右平移，得到正切曲线，达到整体与局部的完美结合，体现性质在研究图像中的价值.

困惑5：得出正切函数的图像之后，教材为何又给出思考：“你能从正切函数图像出发，讨论它的性质吗？”

思考：为何再次讨论性质？作图之前不是利用已有知识，对正切函数的性质做过研究了吗？很显然这里不是对前面性质的简单重复，应该是完善性质升华认识.

策略：得出正切函数曲线之后，直观检验定义域、值域、周期性、奇偶性这些比较容易理解的性质；再利用正切函数图像，重点完善正切函数的单调性、拓展对称性.将单调递增区间整合优化为），进而得出正切函数在定义域内的单调递增区间为k∈Z；观察函数图像，显然正切函数图像没有对称轴，但有对称中心，对称中心坐标为，再通过诱导公式tan（kπ-x）=-tanx，k∈Z，说明正切函数满足对称中心为的定义式f（kπ-x）=-f（x）.通过本环节，数形结合思想得到无声的渗透.

教材作为数学家的智慧结晶，以学术的形态呈现出来，必然是字字珠玑，但作为一线教师必须运用自己的教育智慧和火热思考，将冰冷的学术结论转化为动态的数学教育.正像涂荣豹先生说的那样，数学教学要搞清楚两个问题：一是“教学生学什么”，二是“教学生怎么学”，从而培养学生发现问题、思考问题和解决问题的能力.

1.人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书必修4［M］.北京：人民教育出版社，2015.

2.文卫星.如何提高数学课堂教学的品味［J］.中学数学（上），2015（7）.F