引例浅谈数列不等式的多角度探究

☉江苏省锡山高级中学　葛长松

引例浅谈数列不等式的多角度探究

☉江苏省锡山高级中学葛长松

数列与不等式的交汇是高考压轴命题的主要形式之一，其中常涉及导数、函数等知识.主要考查的知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式，以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求等.解题中涉及的方法也是多种多样，本文以2015年安徽卷中的不等式考题为例，就数列不等式证明中所涉及的方法进行分析.

引例（2015年安徽卷）设n∈N*，xn是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标.

（1）求数列｛xn｝的通项公式；

（2）记Tn=

本题是对数列、导数、不等式等主干知识的交叉考查.利用导数的几何意义求出直线的斜率，再求出直线与x轴交点的横坐标，得到数列通项，最后可利用如下方法证明不等式.

一、利用放缩法

放缩法证明不等式具有综合性强、形式复杂、运算要求高的特点，能考查考生思维的严密性、深刻性，以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能.

解法1：（1）根据题意得y′=（x2n+2+1）′=（2n+2）x2n+1，得出曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2.从而可以写出切线方程为y-2=（2n+2）（x-1）.令y=0，解得切线与x轴交点的横坐标xn=

（2）要证Tn≥需考虑通项通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.先表示出，求出初始条件，当n=1时，

点评：放缩法的实质是非等价转化，其中放缩的目的性很强，需要按照目标的结构特点进行适当放缩，凑出目标.在本例中，不等式的不等号左边因子的公共表达式是n），就要考虑把它缩小，缩小的方法有无数多种，方向是什么呢？方向就是得出的n个不等式右边部分乘起来后便于约分最终出现的形式.由此想到.当然在此过程中，一定要注意放缩的尺度，二是要注意从哪一项开始放缩.

二、利用单调性

函数的单调性“对于单调区间内的任意x1，x2，当x1< x2时，f（x1）f（x2））”本身就体现出了从f（x1）到f（x2）的放缩，因此，在证明不等式时，有时可以通过构造函数，利用函数的单调性进行证明.

解法2：（1）同解法1，易求得xn=

（2）令f（n）=4nTn，则，从而f（n）=4nTn在n∈N*上单调递增，f（n）≥1，从而4nTn≥ 1，于是Tn≥

点评：这类非明显的一元函数的不等式证明问题，关键是先等价变换成某一个一元函数分别在两个不同点处的函数值的大小比较问题，本例当把原不等式变形为4n后，观察到不等号右边的1恰好是函数f（n）=4n的函数值f（1），这样原问题就等价为证明不等式f（n）≥f（1），这就很自然地启发我们研究f（n）的单调性.利用函数单调性证明不等式时，一要构造好函数解析式，二要注意函数的单调区间及应用范围.

三、利用数学归纳法

数学归纳法常被用于证明与正整数有关的命题，在数学上有着重要的用途，因而成为高考的热点之一.近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法证明给出的结论，还加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要能证明结论的正确.其操作步骤大致可以概括为如下三步：

第一步，证明当n取第一个数n0时命题成立；

第二步，假设n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，并以此为前提证明当n=k+1时命题亦成立；

第三步，判定结论，即命题对于n0以后的所有正整数均成立.

在完成了上述步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.

综上所述，Tn≥4，对任意n∈N*恒成立.

点评：数学归纳法是一种完全归纳法，有固定模式，条理清晰，步骤严密，学生很容易掌握技巧，但也对同学们的推理能力提出更高的要求.学习中应该要深刻理解和体会数学归纳法的思想内涵，这不仅有利于解题，更有利于我们自身对数学思想方法的认识.

四、构造对偶式

根据题中某式①的结构特征，构造与它形式相似并具有某种对称关系的对偶式②，再利用①与②之间的运算（主要是加、减、乘）求得新的关系式，从而使问题获得解决，这种方法就叫做构造对偶式解题.在数学解题的过程中，恰当地使用对偶法，往往能使得问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果.

点评：构造对偶式的方法有多种，像和差对偶（对于u（x）±v（x）可以构造u（x）∓v（x））、互倒对偶（对式子中某些元素取倒数来构造）、倒序对偶（对和式或积式进行倒序构造）、定值构造（利用和、差、积、商等运算产生定值构造）、奇偶构造（利用整数的分类中奇数与偶数的对称性构造）等都是经常使用的方法，本例就是采用了奇偶构造法，构造出了一个“意想不到”的对偶式，从而完成了解答.

解题有法，但无定法，要遵循规律，因题择法，数列不等式的证明更需要解题者的智慧和谋略，要掌握以上所述方法，必须多实践，在实践中练就扎实的基本功，悟出规律，这样才能在今后的解题中举一反三.F