“玩概念”的研讨应基于“教学环境”的开展——由一元一次方程定义的研讨说起

☉江苏省泰州市姜堰区城西实验学校 杨根生

“玩概念”的研讨应基于“教学环境”的开展
——由一元一次方程定义的研讨说起

☉江苏省泰州市姜堰区城西实验学校 杨根生

近年来，李邦河院士的一句话“数学，根本上是玩概念的”在初中数学教学研究领域广泛得到认可和教学实践，并作为很多教学研究的重要理论依据，这种尊重并践行数学家观点的教学行为值得肯定，然而，近年来也有一些研讨在“数学玩概念”定位于数学研究还是数学教学领域有些混淆，使得不少数学概念的教学探讨出现分歧，忽略了苏步青先生关于初中教材编写时“混而不错”的指导意见.本文就以一次群里关于一元一次方程的定义的研讨为例，阐述笔者的相关思考.

一、某群里关于一元一次方程定义的研讨

师1：请教：6x-2=6x-3是一元一次方程吗？

师2：其实这样的问题没有啥意义.

师1：我认为不是，他们组内有的老师说是！

师3：出这个题目的老师没有很好地理解数学.

师4：方程的判定需要化简定型.

师5：6x-2=6x-3是一元一次方程，但它无解.对照教材上的定义，6x-2=6x-3是含有未知数的等式，所以它是方程.具体地说，它是一元一次方程，但它的解集为空集，即无解.

师4：一般来讲，方程化简，式看原型.

师5：出这样的题确实没多大意思.

师3：再举个例子，一组数，3，3，3，2，2，2.问哪个是众数.这不是扯淡嘛！

师5：3和2都是众数.出这样的题是扯淡.诸如此类的数学题，算差题.数学学成这个样子，就走偏了.

师5：方程的解有两种情形，有解和无解.无解的方程也称为矛盾方程，上面一题就是矛盾方程.可见它确实是方程.

师2：我觉得这个前提是先化简，再看方程有解和无解.

师5：好题差题，也是相对的.比如，初学方程时，问：6x-2=6x-3是方程吗？可以不算差题.但在大型考试（期中、期末、中考）出现这样的题就一定算是差题了.

师2：这个课本虽然没有说清楚，但基本上是需要化简的，特别是一元二次方程，山教版明确告诉先要化简.

师5：确实课本没说清楚.没说清楚是因为允许模糊，因为如果在此穷究就没有意思，学数学不能这样学.如果老师在这个没说清楚的内容上面大作文章，这是教师的怪癖在起作用.

师2：我在想，一元二次方程说的明明白白，为啥一元一次方程就没有说明白呢？都是整式方程，我们是不是可以类比认识呢？再说教材不可能把所有的问题都说清楚.教师的作用为何？

师2：再者，我们如何分清哪些是确实说不清楚的？哪些是有意说不清楚的？哪些是无意说不清楚的？

师6：我认为这个问题教材最好说清楚，别前后不一，引起争论.个人意见是概念要明确，不然会误导，就像刚才的题，教师没能明确一元一次方程的定义.

师7：教学中应告诉学生，判定是否一次方程，得化简合并同类项，正如判定多项式一样.只要学习了合并同类项，探讨一元一次方程的概念应该没有问题，因为解一元一次方程的过程本身就是在内化概念.

师5：再看之前的发言，觉得上面我的发言偏颇了！固然出题“6x-2=6x-3是不是方程”有扯淡之嫌，但是我们把问题讨论清楚是有益的.特此更正，欢迎大家继续议论.

师8：确实是这样，顺着“师5”的观点，在一元一次方程的起始阶段就探讨严格的概念是不恰当的，因为涉及变形、转化，而这些有待于后续方程解法训练时得到提升，所以前年我在七年级的教学实践“一元一次方程章末小结”时，给学生增加定义一元一次方程的一般形式或标准形式，然后跟进一些方程类型的判定，加深理解.

师5：我们是数学教师，中小学的数学教师，不是数学研究所的研究人员，不是大学数学专业的教师，我们的职业决定了我们的讨论往往离不开教学背景，而不是纯数学的讨论.

二、对群里研讨的初步分析

从群里的研讨可以发现，这次研讨源于一道初一的考题“6x-2=6x-3是一元一次方程吗？”正如上面有老师的观点一样，命制这样的考题本身就是不恰当的，特别是，如果答案设置成唯一解答更是糟糕的.因为连老师们都有争议，让学生再来考试显然是不恰当的试题.

支持该题是一元一次方程的理由是教材上的定义，然而教材在七年级时并不要求学生将方程整理化简到ax+b=0（a≠0）这样的“一般式”进行判定，这与后来一元二次方程、二次函数、一次函数等一般式做出要求相比，表现出不一致的“定义”.然而，学生在刚进入初中学习方程时，还不能熟练地进行方程的变形与整理，这有待后续一元一次方程的解法训练，所以在上面研讨过程中，师8的实践表明，可以先让学生模糊一元一次方程的定义，待化简、变形能力具备之后，即本章复习时，再对一元一次方程的一般形式进行规定，保持与后续一次函数、一元二次方程、一元二次函数的“一般式”在定义上的一致性.

三、“玩概念”的研讨应基于“教学环境”开展

1.初中数学概念可以“混而不错”

我国著名数学家、数学教育家苏步青先生在指示中小学教材编写时曾提出“混而不错”的观点，得到很多教材编写组的“执行”.一方面初中阶段很多数学概念由于学段的限制难以给出严密的定义，更多的是描述性定义（如：形如…的…称为…），为的是让学生基于一些数学对象的直观感知而定义数学对象，沿着这些数学对象继续研究它们的后续性质或判定或应用，如果深究在严谨定义层面，则不利于后续学习的顺利开展.再有，理解数学那完美的严密性，也不是所有人需要掌握的，课标上关于很多课程目标的确定，也大量采用了“了解”很多概念的要求，想来也有这样的道理.

2.初中数学概念尽可能追求前后一致

从上文中的关于一元一次方程定义的研讨来看，作为教材上的表述来说，由于没有给出一元一次方程的一般式，而在八、九年级给出了一元二次方程的一般式、一元二次函数的一般式，从数学概念需要追求前后一致来看，七年级教材确实应该在一元一次方程的章末小结阶段给出它的一般式，这样就可使学段内关于方程的定义保持一致性，让教师和高层次学生感受到数学内部的和谐与一致.事实上，初中几何体系就会更加严谨、和谐与一致了，比如，七年级时所学的线段、射线和直线，对应着角的定义、三角形或四边形的边的定义；互余、互补的定义对应着后续研究特殊图形中不同角之间的关系；对一个图形的研究套路（平行四边形的定义、判定、性质、应用）贯穿于不同年级之中.

3.有争议的数学概念类考题不宜作为考试用题

作为引发上文中的教学研讨的话题来看，各级考试中不宜采用有争议的考题来闭卷考查学生，一方面，影响该题的内容效度和分数效度，另一方面，部分高层次学生如果纠结于前后数学概念的一致性时，往往会造成误判，使得思考更深的学生反而吃亏.这里不妨提及当前一些较低层次命题的现状，常常简单的拿来主义，脱离课本选题、抄题，有些习题看是训练学生对概念的理解，但是却模糊着学生对概念的理解与认识，考后深入追问又会陷入“两小儿辩日”的尴尬之境.这就要求命题者在设计相关考题时要注意认真辨析每一道考题的考查意图，保证试题的科学性.

四、写在最后

如上面研讨过程中有老师提出的“扯谈”之说，关于无聊的一道辨析试题引发了很多老师的参与热情，上通数学、下接课堂，研讨得既有数学味，又有教学味，这也是笔者整理本文的动力之一.事实上，类似的概念研讨话题还有很多值得深入思考的，比如，分式的概念、等式的性质、直线的概念、距离的概念等，深究下去，都会触及数学的本质，加深我们对数学的理解.也许，多开展这样的思考与思辨，我们对教材的理解、对数学概念的理解及自身的专业素养也在无形之中得到了提升.

1.郑毓信.开放题与开放式教学［J］.中学数学教学参考，2001（3）.

2.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

3.刘东升.江山无限景，都取一亭中——数学教学中“停”的感悟［J］.中学数学（下），2012（5）.

4.罗增儒.数学的领悟［M］.郑州：河南科学技术出版社，1997.

5.章建跃.“题型+技巧”的危害［J］.中小学数学（高中版），2010（11）.H