极限思想在高中物理中应用的思考

林绍湄

高中物理课程标准目标明确提出通过物理概念和规律的学习过程，了解物理学的研究方法，认识物理实验、物理模型和数学工具在物理学发展过程中的作用。考试大纲指出：高考物理在考查知识的同时注重考查能力，并把对能力的考查放在首要位置。

2015年我省高考回归全国卷的怀抱，新的高考给我们带来新思考，也给高考复习带来新要求。我打开了多年来的全国高考新课程标准理科综合试卷，翻开了新的考试大纲，开始了忙忙碌碌，学习、培训、研讨……

一个重要的物理学的研究方法——极限的思想引起了我极大的关注。极限的思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。对于要确定的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量，最后用极限计算得到结果。

新教材是十分重视极限的思想方法。在教材必修一第3节《速度和加速度》讲解瞬时速度：当位移足够小（或时间足够短）时，小球的速度变化很小，可以认为小球在这段时间内的运动是匀速的，所得的平均速度就可以用来描述小球经过o点时的运动快慢，即可近似看成经过o点的瞬时速度。这是高中物理第一次接触到极限的思想；用光电门测速度——用平均速度代表瞬时速度也是渗透极限的思想；在用v-t图像推导图像与轴围成的面积代表着运动的物体的位移，推导出匀变速运动位移公式，明确指出推导中用到了微积分的思想，即无限分割，逐渐逼近真实状况。在物理学的研究中常常用到这思想，也就是极限思想；在课后习题：从一张照片估算照相机的曝光时间；在教材拓展一步中：利用图像怎样计算变力做功采用了极限的思想。可以这么说新教材在教学方式上采取多样化的形式，在教学内容上进行系统化的布局充分体现了极限的思想在物理学中的应用。

极限的思想在新课标高考全国卷的出现是一种信号，也给我们带来了新思考和启发。2013年新课标高考全国Ⅰ卷中第22题：

图（a）为测量物块与水平桌面之间动摩擦因数的实验装置示意图。实验步骤如下：①用天平测量物块和遮光片的总质量M.重物的质量m：用游标卡尺测量遮光片的宽度d；用米尺测最两光电门之间的距离s；

②调整轻滑轮，使细线水平：

③让物块从光电门A的左侧由静止释放，用数字毫秒计分别测出遮光片经过光电门A和光电门B所用的时间△t和△t，求出加速度a；

④多次重复步骤③，求a的平均值；

⑤根据上述实验数据求出动擦因数μ。

在求加速度a时，就是利用了极限的思想。

再看2013年新课标高考全国Ⅰ卷中第25题：如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：

（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；

（2）金属棒的速度大小随时间变化的关系。

这道题的部分标准答案是：设在时间间隔（t，t+Δt）内流经金属棒的电荷量为ΔQ，按定义有i=，ΔQ也是平行板电容器极板在时间间隔（t，t+Δt）内增加的电荷量。由4式得ΔQ=CBLΔv式中Δv为金属棒的速度变化量，按定义有a=。这种方法正是新教材中的极限思想。

极限思想在进行某些物理过程的分析时，具有独特的作用，恰当应用极限思想方法能提高解题效率，在解决一些特殊的物理问题时，灵活利用极限法可以简化运算过程，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确，大大提高解题速度。解题者不仅要具有严谨的逻辑推理能力，而且要具有丰富的想象能力，从而达到事半功倍的效果。

2012新课标Ⅰ卷第24题：拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）。设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。

（1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。

（2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。已知存在一临界角θ，若θ≤θ，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tanθ。

其中第二问若采用常规解法，必须先分析题中所给条件，再根据物理规律写出物理量间的关系，列出函数表达式，利用数学知识予以判断解答，过程复杂。采用极限法，直接让F取无限大，即F？垌mg，则重力可以忽略不计，要想不发生滑动则Fsinθ≤λFcosθ，易解得tanθ≤λ。θ是题中所定义的临界角，所以有临界角的正切为tanθ=λ。用“极限法”解题，通过寻找极端情况使解题过程的主要因素或物理量的发展趋势迅速显露出来，简单明了，避免了复杂的推理运算。

通过上题分析我们可以发现，利用极限法大大提高了解题速度。当题干中所涉及的某段物理过程研究的物理量的变化应是单一时，要用该办法解题较为简捷。用极端思想法分析问题，关键在于将问题推向什么极端，采用什么方法处理。具体来说，首先要求待分析的问题有“极端”的存在，然后从极端状态出发，回过头来再分析待分析问题的变化规律。其实质是将物理过程的变化推到极端，使其变化关系变得明显，实现对问题的快速判断。

新教材中的极限思想，给了我们新的视野、新的思路、新的方法。