线性代数与案例教学的体会与思考

刘春林，李宝娣（国防科学技术大学 理学院，湖南 长沙 410073）

线性代数与案例教学的体会与思考

刘春林，李宝娣
（国防科学技术大学 理学院，湖南 长沙 410073）

从线性代数课程的特点、案例教学的作用等方面阐述在教学实践过程中的一些心得体会与思考.

线性代数； 案例教学； 教学改革

学员在学习线性代数过程中或学完之后对线性代数的印象一般包括“抽象难懂”四个字，教员、教材一般也把“抽象”列为线性代数课程的一大特点. 这门课程到底是不是抽象难懂、教员是否能让学员在学习过程中不感到抽象难懂呢？关于大学数学公共基础课程的教学，许多教育教学委员会（包括官方的和民间的）、高校、教员先后提出了众多新方式方法，例如案例式教学、研究型教学、启发式教学、翻转课堂教学、同伴式教学、因材施教教学等等. 本文作者将根据个人教学体会和课程特点谈谈关于案例教学的一些思考与想法.

1 案例教学在线性代数课程教学中的辅助作用

案例教学的作用主要体现在这几个方面： 引入概念，联系实际、展示应用，提高学员学习的兴趣、积极性、主动性，降低学员与课程知识的心理距离，增强学员联系实际的意识和解决分析问题的能力，让学员意识到这门课程的重要性.

线性代数是面向非数学专业的理工科大学一年级学员开设的一门大学公共基础课程. 该课程的教学过程可以融入案例式教学环节，但是案例式教学不应该唱主角. 如果从一节课45分钟时间的角度来看，那么案例的相关教学时间一般不应超过15分钟，剩余的时间主要还是用于概念的讲解与理解、方法的原理解释、方法的实际演算、结论的严格推导和证明等传统教学内容上. 也就是说，案例教学在线性代数教学中只能担任“点心”或“佐料”的角色，主角还是应由传统教学来唱.

首先，线性代数课程作为公共基础课，其内容是很多后续课程和实际工程应用的基础. 如果现在大学阶段对这门课程的一些基本概念、方法、求解过程不是非常熟悉，到后面遇到某些涉及到这些内容的问题，学员往往难以跟上进度. 例如，矩阵是否可逆的判断、逆矩阵的求解方法、正定矩阵的性质、实对称矩阵的对角化与正交变换等内容在很多专业的后续课程中都要用到. 通过对后续教材和专著的简单调研，不难发现在需要用到相关内容的时候，这些教材专著都会毫不犹豫地使用诸如“由某某结论可得”，或者更简单的“由矩阵的性质可得”，甚至更隐蔽一些的“从而得出”等表述术语.

其次，虽然线性代数的案例往往与社会实际背景紧密相关，但是这些背景大多需要深厚的专业知识作为基础，大学一年级的学员一般缺少这个专业知识储备，教员想利用课堂上的几分钟讲清楚不容易，学员要真正弄明白也不现实. 线性代数课程涉及的知识点已经固化，大多都是一两百年之前数学家们的智慧结晶，但是这些知识的工程实际应用时刻都在更新、变化之中，高校教员很难做到与最新的工程实际应用保持同步，事实上教员也没有必要总跟着实际应用的影子走. 高校培养的是学员的一种能力、意识和素养，其中培养学员对学习科研等工作环境的变化的适应能力至关重要，因此没必要现在就列出课程知识在各个领域的应用. 课程学习中，强调应用的案例学起来像听故事，故事听太多了，到底有啥核心作用，学员脑海中可能什么也不清楚，他们想留下印象也难，真正要学的东西太多了，还有很多东西比他们知道有什么用更重要.

再次，在案例教学中，如果教员几句话就能让学员对知识提起兴趣，那么案例的绝大部分效果事实上已经达到了. 这个时长可能只有几分钟，而让学员顺利自然面对某个新概念，也可能是一堂课. 可能是案例起课、案例结课，也可能是贯穿整个课程的始终. 当然，能够像项链一样串起课程的多个知识点的案例不容易找. 例如，针对临床医学专业的学员，本文作者就抓住了营养医学的案例，在第一堂课、三阶行列式在方程组解的表达公式、含m个方程n个未知量的方程组、向量的线性表示、向量组的线性相关性和极大线性无关组等问题中，营养医学这个案例多次粉墨登场. 在实际课程教学中，如果能恰到好处地运用一个案例或几个案例，完全可以让学员感受到这门课程的重要性、实用性，也可以让学员不再感到这门课程的抽象难懂.

第四，课堂上将过多时间用于案例，也有不利之处，容易造成忽悠学员的感觉. 这是因为现在使用的案例往往是一些简单应用、简化应用、浅层应用，也就是说人们所提到的有些案例在实际应用领域中并不完全如此. 现实中的真正应用往往要复杂得多，需要用到其它更多更高深的知识或技巧. 例如，在讲授逆矩阵模块时人们喜欢用yAxb=+（其中A为可逆矩阵）的例子来解释加密解密的应用. 一方面，现实社会中更多使用的是公开密钥密码机制（简称RSA机制），其核心安全基石为两个大质数的乘积的因子分解过程是一个NPC问题，很少或者几乎没人真正去用yAxb=+这种初等方法. 另一方面，这个例子还是值得去讲： 因为不管现实中人们是用哪几种机制，其核心的“加密、解密”思想就是2个互逆的操作过程而已. 通过yAxb=+的例子，可以让学员体会到这种互逆过程的必要性和重要性. 在使用这个案例时，教员还是把主要精力用于逆矩阵的概念、性质、求解等课程知识上，对于加密解密的应用只需几分钟的简要介绍即可，当然还要简单提及现实中大家都在用的RSA机制，这样才能做到一是与实际社会的真正接轨、不失科学性，另外在一定程度上也能达到引入逆矩阵的概念、提高学员的学习兴趣、理论联系实际的目的.

2 线性代数案例建设的发展与现状

线性代数课程中案例教学的运用一直以来就存在. 近几年来，案例式教学作为一种教学方法已引起了人们的高度重视和深入思考，这与时代的共同呼声、学员和社会的功利化取向及应用趋向、部分教员对学员的主动关注和教学改革起到的带头示范作用都密不可分.

2.1 从本人学习经历看

案例的一个作用是展示课程的重要性，提高学员的学习兴趣. 谈到线性代数课程的案例教学发展，笔者不禁想起20年前学习高等代数课程的情形. 任课教员钱教授（当时50多岁）曾跟我们提到，他们那一代在学习高等代数等课程时，完成了大量的练习题，并鼓励我们把教材（北京大学代数小组编写的《高等代数》[1］）后面的所有习题都做一遍，他在授课过程中并不会总把这门课程的重要性挂在嘴边，也较少牵扯到应用案例（也许那个年代的教员还没有特别调强案例教学），但是班上所有同学都知道这门课程的重要性. 我们对这门课程重要性的认识并不只是来自钱教授，更多的是与我们自身（18岁左右）有关，那个时候我们有判断能力和分析能力： 大学一年级开设的高等代数是基础课程，是基础的基础，很重要，作为数学专业的学员，需要学好. 二十年过去了，现在的学员接触的信息更多，这种自我分析判断的能力会更强.

2.2 从教材看

教材在一定程度上可以反映出那个时代和编撰作者的观点、认知和体会. 通过对多部教材进行调研，可以看出线性代数课程的实际案例思想几十年前就有，只是现在人们往实际实践方面多花了一些心思去细化、具体化、数据化. 这个过程在一定程度上增加了知识对学员的直观性、感受性、易见性[2，3］.

例如教材《高等代数》[1］提到国民经济的数学问题常用到矩阵（某物资从s个产地到n个销地的调运方案）、两个线性变换的复合、解析空间中绕轴的旋转线性变换（几何背景、几何案例）等.

国防科学技术大学在2008年出版自编教材[4］之前，技术类学员使用的华中理工大学数学系编写的《线性代数》[5，6］. 该教材对课程的实际应用进行了简要描述，例如“矩阵在自然科学和工程技术的各个领域中都有广泛的应用”、“在科学和工程技术领域中，大量的问题都可归结为解线性方程组”，“方阵的特征值与特征向量，是研究动力系统、最优控制、经济管理等问题要涉及的重要概念”、“二次型的理论起源于解析几何中对二次曲线和二次曲面的研究，它在线性系统理论和工程技术的许多领域中都有应用”等. 该教材提到了“产品从产地到销地的调运方案”、“电路网络中的电流与电压之间的关系”、“解析几何中新旧坐标系下的坐标变换公式”、“两级串联放大器电路网络的电流与电压之间的关系”等案例.

又如上海交通大学数学系编写的《线性代数》[7］提到： 二维向量组、三维向量组线性相关的几何解释（共线、共面）、确定比赛的胜负问题等案例. 刘建亚老师编写的《线性代数》[8］提到了人口迁移模型、熟练工与非熟练工模型、兔子繁殖模型、城市间的航班路线图、产品从产地到销地的调运方案、国民经济投入产出问题的消耗矩阵等案例. 国防科学技术大学谢政教授编写的《线性代数》[9］也收入了大量案例.

涉及案例的国外教材已有不少，这些教材涉及的案例较多，实际数据比较详实，教材也都比较厚. 例如，由David C. Lay著，沈复兴等译的《线性代数及其应用》（第3版）[2］于2007年由人民邮电出版社出版. 该教材在美国具有相当的市场和影响力，其中译版在国内也收到了不错的评价和反响. 它提到了众多应用领域中的案例： 经济学、商业、科学和工程学中的线性模型（线性方程组）； 飞机设计中的计算机模型、列昂惕夫投入产出模型（矩阵代数）； 解析几何中的行列式； 空间飞行与控制系统、差分方程、马尔可夫链（向量空间）； 动态系统和斑点猫头鹰、离散动态系统（特征值与特征向量）； 北美大地基准的校正（正交性与最小二乘法）； 多通道图像处理、统计学（对称矩阵）等.

2.3 案例对比

纵观以上涉及案例的线性代数教材，不难发现： 新案例偏少. 线性代数的知识点就那么多，人们现在所编写的教材案例通常也就是大家熟悉的那些，教材上出现的真正新案例偏少. 国内众多高校教员在参加各类赛课上所使用的案例大多也都是旧案例.

3 线性代数案例建设的几个观点

3.1 新案例虽少，旧案例也好

现在出现的案例大体相似，包括多种讲课竞赛、会议报告在内，涉及到的案例一点都不陌生. 能造出新案例固然好，如果造不出，也并不令人沮丧，只要能充分彻底地用好已有案例，同样可以达到理想的教学效果. 大学一年级学员都是初次学习线性代数，他们一般没有很多空余时间真正去查阅学习课外案例书籍，陈旧多年的案例对学员来说往往也是新鲜的.

3.2 案例的讲解使用至关重要

线性代数课程的知识点早已固化，案例素材教员一般也都有，但是案例教学的效果往往差别很大，这与教员对案例的分析理解程度、阐述角度以及个人教学风格等多个因素密切相关. 在强调“自主学习、创新培养”的今天，案例讲个七分饱就行，剩下的三分肚量可由学员自己课外去加餐，讲解过程不妨留出适当空间让学员自由发挥，布置一点思考题、卖个关子也未尝不可，尤其对于那些乐于学习的学员，可以收到更好的教学效果.

3.3 案例设计理念需高大上、备课过程要细而精

现在的人才培养目标高大上，教学活动是人才培养的一个非常重要环节，教学要紧贴人才培养目标，紧贴实战，起步高的案例顶层设计理念有利于后面的具体行为细节，能避免井底之蛙、视野狭窄等问题.

有了高大上的理念，具体的备课行为则要细而精，这包括案例选材、教案编写、PPT课件制作等系列过程. 相比之下，想个高大上的理念不难，各种文件都能找到，而需要精雕细琢的备课讲课反而更难，这里需要大量的时间、精力、对教育教学的热爱、与时俱进的信息，也需要提供使教员能静下心来进行教育教学研究活动的平台和大环境. 在备课和讲课过程中，需要结合学员的知识储备、学科专业特点、学员的学习习惯和学习心理等多方面深入思考以下问题： 一个案例或一堂课如何选材、如何组织、如何讲解才能使得每个案例、每堂课的教学效果最大化.

3.4 案例选材往往越简单越好、越贴近生活越好、越利于理解越好

挖空心思制作出来的案例有时效果不一定好，也不一定都得要军事案例、工程案例，一些生活案例、社会案例的效果同样也能出奇制胜. 例如针对医学队，营养医学的案例就比较成功. 案例数据选自身边，学员感受往往更亲切. 比如，用行列式定义法计算一般行列式计算量大、不切实际. 为形象说明这个计算量的程度之大，自学校“天河”超级计算机面世起，笔者就拿“天河”机的计算数据打比方，“天河”在全球大PK中保持了多次辉煌. 在后面教学过程中，笔者也会提到“天河”的多年辉煌及其性能飞跃，做到了数据的及时更新.

案例挑选若能发动学员参与其中，那是最好不过的事. 让学员想案例可以活跃课堂气氛、从授人以鱼向授人以渔转变、培养学员的发散思维和联系实际的意识. 线性代数的很多概念、方法、原理放到二维、三维情形下看，就不再抽象、不再难懂，线性代数的很多内容可以从几何内容、几何案例中找到直观的、形象的理解[10］.

线性代数课程的知识在现实社会中的很多领域都有应用. 平时所使用的教材一般也提到了不少应用，可能有的描述比较详细，而有的点到为止. 这种面向实际联系实际的方式有利好的一面，对学员和教员来说都有思考余地和发挥空间. 会思考、善于思考的学员自己或者在老师的指点下就能看到知识在实际中的广泛应用案例.

多部《线性代数》教材提到了资源的调度问题，现实生活中的调运对象显然可以想出很多种，这是可以延伸拓展的. 再比如，在给本科生上概率论与数理统计课程时，有一个案例是包装机装化肥，当然在备课过程中可以把包装机装化肥改一下并替换相应背景数据（例如战场、武器等），那是否可以什么也不改呢？笔者就是特意不改的. 在讲这个案例时，笔者会借题随机发挥一下： “虽然我们现在好像跟化肥几乎不打交道，不过大家想一想，我们是否可以找到密切相关的类似背景呢？我们都是军人，用过枪打过靶，如果我们把包装机装化肥想象成包装机往子弹、炮弹、导弹中装弹药如何啊？”经此一问，同学们的眼神变化是容易感受到的，联系实际、面向战场的思维达到了，并且这种讲法比在备课时把课件中的装化肥改成装弹药好，因为： （1）如果改成装弹药了，课上也只是讲装弹药这个背景，那么容易造成照本宣科的嫌疑. 如果真正改成装弹药，还会面临“数据失真”的问题，因为各种枪炮的规格设计和弹药用量等详细数据可能都是军事秘密，弄到真实数据不容易，即使弄到了写入课件又容易泄密. （2）不改背景，在讲课时借机展开一下，在一定程度上向学员传递了一种需要培养发散思维、自己可以发挥想象联系实际联系应用的思想，还可以给学员留下对教员的“讲课灵活、视野宽阔、联系应用”等不错印象. 总而言之，权衡之下，包装机装化肥的案例能一举多得. 在线性代数、概率论与数理统计等课程中，“面战联战”的案例可以无形胜有形.

[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数[M[. 第2版. 北京： 高等教育出版社，1988

[2]David C. Lay．线性代数及其应用[M[. 沈复兴，傅莺莺，莫单玉，等，译. 北京： 人民邮电出版社，2007

[3]马艳琴，张荣艳，陈东升，等. 线性代数案例教程[M[. 北京： 科学出版社，2012

[4]冯良贵，戴清平，李 超，等. 线性代数与解析几何[M[. 北京： 科学出版社，2008

[5]华中理工大学数学系. 线性代数[M[. 北京： 高等教育出版社，1999

[6]华中科技大学数学系. 线性代数[M[. 第2版. 北京： 高等教育出版社，2003

[7]上海交通大学数学系编. 线性代数[M[. 第2版. 北京： 科学出版社，2007

[8]刘建亚. 线性代数[M[. 北京： 高等教育出版社，2003

[9]谢 政. 线性代数[M[. 北京： 高等教育出版社，2012

[10]李尚志. 线性代数[M[. 北京： 高等教育出版社，2011

Some Thoughts of Linear Algebra and Case-Based Teaching

LIU Chun-lin，LI Bao-di
（College of Science，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China）

About the character of linear algebra and the importance of case-based teaching，this paper discussed their relationships and report some thoughts.

linear algebra，case-based teaching，teaching reform

G642

A

1672-5298（2016）02-0084-05

2015-11-01

刘春林（1977- ），男，湖南衡东人，博士，国防科学技术大学理学院副教授. 主要研究方向： 组合数学； 计算分子生物学； 代数学