一类拟线性椭圆型方程div(|Du|p-2Du)=f(x,u,Du)的有界正整解1

许兴业

（广东外语外贸大学南国商学院公共课教学部；广东广州 510545）

一类拟线性椭圆型方程div(|Du|p-2Du)=f(x,u,Du)的有界正整解1

许兴业

（广东外语外贸大学南国商学院公共课教学部；广东广州 510545）

以Schauder-Tychonoff不动点定理为工具；研究一类形如div(|Du|p-2Du)=f(x,u,Du)的拟线性椭圆型方程正的有界整体问题；得到了2个有界正整解的存在性定理.

拟线性椭圆型方程；有界正整解；Lebesgue控制收敛定理；闭凸子集；连续映照；不动点定理

1 引言与预备定理

有关非线性椭圆型方程正整解存在性的研究；较多的文章是研究方程左边为形如Δu,Δ2u及Δmu的调和；双调和及多重调和方程［1-5］.但对形如下面的拟线性椭圆型方程

下面给出上、下解的定义及预备定理.

预备定理设f满足条件：

（a）f(x,u,,w)在Rn×R+×Rn上连续；且局部Holder连续（指数θ∈(0,1)）；（b）对任一有界区域Ω⊂Rn,存在ρ(Ω,M)＞ 0；使

预备定理的证明参见文献［1］.

2 主要结果

在下面的讨论中引入记号；不再赘述：

定理1设f满足预备定理中的（a）、（b）、（c）和下列条件：

（i）f1(r,u,v)与f2(r,u,v)关于u,v∈R+都是非减函数；

（iii）存在常数c＞0使

则方程（1）存在无穷多个有界正整解u(x).

证明由（2）式可知方程

下面讨论积分方程（8）的可解性.由（ii）知

其中c是（iii）中出现的常数；且对每一s∈(0,∞),当λ→0+时有

于是由Lebesgue控制收敛定理得

进而由（2）推出：对∀p＞1有

由（10）知可以选择充分小的常数η＞0使得记C1[0,∞)是定义在[0,∞)上的所有连续可微函数作成的空间；依通常的方法引入C1[0,∞)的拓扑.作集合：

在这里补充定义：

下面证明映射π满足：

（II）π是连续映射.

设yi∈Σ(i=1,2,...)且依C1[0,∞)的拓扑yi收敛于y；对∀r∈[0,∞)由（12）、（14）式得

（III）πΣ是相对紧的.

又注意到（12）式中的r≥ 0；及f(r,u,v)≥0

对（17）式右边的积分我们约定

于是（17）式对任意r≥0成立.故有

由上式看到{(π′)|y∈Σ}在[0,R]上等度连续.故对[0,∞)的任一紧子区间[0,R]；依C1[0,∞)的拓扑能用Ascoli-Arzela定理［7］.

要证明πΣ在Σ中是相对紧的；即要证πΣ中任一序列{(πyi)(r)}必包含一个子序列；该子序列依C1[0,∞)的拓扑收敛于Σ中的一个元素；只需对区间列[0,R1]⊂[0,R2]⊂…⊂[0,Rj]⊂…,（其中Rj→∞,当j→∞时）逐次利用Ascoli-Arzela定理；并采用“取对角线子列”手续即可完成.

以上证明了Schauder-Tychonoff不动点定理［8］的条件全部满足；所以π存在不动点y∈Σ.

同前面类似；对方程（6）作相应的初值问题：

其中ξ是待定常数；进而作与（19）等价的积分方程：

由（11）知可选充分小的常数ξ＞ 0；满足

类似前面可得πˉ存在不动点z∈Γ.

如果上面待定常数η与ξ除了满足（11）与（21）外还满足2ξ≤η（选择ξ满足（21）；固定ξ；然后选取η使它满足2ξ≤η及（11））；于是有

在证明定理开始一段已经解释过如果积分方程（8）有解y(r)；则v(x)=y|x|=y(r)便是初值问题（7）的解；也是方程（1）的上解.类似如积分方程（20）有解z(r)；则w(x)=z|x|=z(r)便是初值问题（19）的解；也是方程（1）的下解.由（22）得

由预备定理知存在方程（1）的解u(x)满足

以上证明了方程（1）存在正的有界径向对称整体解u(x).从（23）和（24）看出所得到的正整解u(x)的上、下界取决于充分小的正数ξ,η的选择；如果我们选取合适的数对(ξj,ηj)(j=1,2,3,…)；使用闭区间集{[ξj,ηj]|j=1,2,…}中的闭区间互不相交；那么我们得到方程（1）无穷多个互异的有界正整解uj(x),(j=1,2,3,…).（定理证毕）

定理1′设f满足预备定理中的假设（a）；（b）；（c）和定理1中的条件（i）；（iii）及下面条件：

则方程（1）存在无穷多个有界正整解u(x).

证明由于定理（1)′与定理1的差别只是第二个条件；故只需把定理1证明过程中“可以选择充分小的常数η＞0使得”即可；其余完全与定理1的证明类似.

定理2设f满足（a）、（b）、（c）和下列条件：

（i）f1(r,u,v)与f2(r,u,v)关于u,v∈R+都是非增函数；

（ii)′λ-1∙f1(p-1)2(r,λ,0)关于λ∈(0,∞)是非增函数；且对每一固定的r∈R+；有

（iii）存在常数c＞0使

则方程（1）存在无穷多个有界正整解u(x).

证明定理2的证明过程与定理1的证明过程完全类似.略.

［1］NOUSSAIR E S，SWANSON C A.Postive Solutions of Quasilinear Elliptic Equations in Exterior Domains［J］.J.Math.Anal.Appl.1980（75）：121-133.

［2］KAWANO N，KUSANO T，NAITO.On Tne Elliptic EquationsΔu=Φ(x)uγinR2[J].Proc Amer Math Soc；1985（93）:73-78.

［3］GUEDDA M，VERON L.Local and Global Properties of Solutions of Quasilinear Elliptic Equations［J］.J.Differential Equations. 1988（76）：159-189.

［4］许兴业.一类非线性椭圆型方程的正整解［J］.数学杂志；1996，16（4）：403-411.

［5］XINGYE X，LUANYING L，DEBNATH L.Existence of Positives Solutions of Singular Elliptic Boundary Value Problems In A Ball［J］.Computers and Mathematics with Applications［J］.2011（61）：1335-1341.

［6］许兴业.可化为常微分方程的一些偏微分方程［J］.广东教育学院学报，1999（5）：39-44.

［7］ADMAS R A.Sobolev Spaces［M］.Boston：Acamdemic Press，1975.

［8］EDWARDS R E.Functional Analysis［M］.New York:Rinchart and Winston，1995.

【责任编辑：吴跃新】

Quasilinear Elliptic Equations Such asdiv(|Du|p-2Du)=f(x,u,Du)

XU Xing-ye
（Department of Public Course Teaching，South China Business College，Guangdong University of Foreign Studies，Guangzhou 510545，Guangdong China）

In this paper we study the problem of bounded positive entire solutions of a class of the quasilinear elliptic equations such as with the Schauder-Tychonoff fixed point theorem as the principal tool and have attained two theorems of existence bounded positive entire solutions.

quasilinear elliptic equations；bounded positive entire solutions；Lebesgue dominated convergence theorem；close convex set；continuous mapping；fixed point theorem

O175.25

A

1671-5934（2016）06-0014-05

2016-09-19

资金项目：广东外语外贸大学南国商学院校级科研重点课题资助（16-005A）

许兴业（1900-），男，广东普宁人，教授，理学学士，研究方向为非线性椭圆型偏微分正整解理论与应用研究.