平移来相助范围巧定出

娄成海　左效平

平移是重要的图形变换之一，遇到函数问题，平移前来相助，往往能起到事半功倍的效果，下面就举例说明，供学习时借鉴.1两个一次函数相交，用平移

例1直线y=x+1与y=-2x+a的交点在第一象限，则a的取值可以是（）.

A.-1B.0C.1D.2图1

分析如图1，一次函数y=kx+b中，b的取值决定了直线与y轴交点的位置，画出直线y=x+1，

当a=1时，直线y=x+1与y=-2x+a的交点在y轴上，要想让交点在第一象限，只需将直线y=-2x+a沿着y轴向上平移即可，此时a变大，所以a的取值范围为a>1，符合条件的数只有2.选D.2一次函数与反比例函数相交，用平移图2

例2（2015年临沂）如图2，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与反比例函数y=1x的图象有唯一公共点，若直线y=-x+b与反比例函数y=1x的图象有2个公共点，则b的取值范围是（）.

A.b>2B.-22或b<-2D.b<-2

分析用运动的观点看问题，用平移的方法解问题，让解法别有一番滋味.一起回味吧.

直线y=-x+2与反比例函数y=1x的图象有唯一公共点，此时与y轴的交点为（0，2）即b=2，

仔细观察图像，要使得直线与反比函数图像有两个交点，需要将直线y=-x+2向上平移即可，所以b>2；根据对称性知道，直线y=-x-2与反比例函数y=1x的图象有唯一公共点，将直线y=-x-2沿着y轴向下平移，可以使得直线与反比例函数y=1x的图象有2个公共点，此时b<-2.选C.3二次函数与一次函数相交，用平移

例3（2015年济南）如图3，抛物线y=-2x2+8x-6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D.若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）.

A.-2

分析先求点A和点B的坐标，再求出C2解析式，要想直线y=x+m与C1，C2有3个交点，满足的条件是直线与C1，C2同时都有交点，且一个是一个交点，与另一条有两个交点，仔细观察图像，自上而下沿着y轴平移直线y=x+m，能同时有交点的条件是与C1相交且与C2相切，此时有两个交点，继续向下平移就有3个交点，这是m值最大界点值；当平移到直线经过点B时，交点个数再次变为两个，此时对应的m值，是满足3个交点的最小界点值，联立就是m的范围.

解令y=0，得-2x2+8x-6=0，即x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3，

所以点A（1，0），B（3，0），因为C2是C1向右平移2个长度单位得到，且C1解析式为y=-2（x-2）2+2，所以C2的解析式为y=-2（x-4）2+2，（3≤x≤5），当直线y=x+m与C2相切时，得-2（x-4）2+2=x+m，整理，得2x2-15x+30+m=0，因为相切，所以方程有两个相等的实数根，所以Δ=（-15）2-8（30+m）=0，解得m=-158；

当y=x+m经过点B时，得3+m=0，解得m=-3，所以当m满足条件-3

例4二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图4所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）.

A.k<-3B.k>-3C.k<3D.k>3

分析将抛物线x轴下方部分沿x轴向上翻折，得函数y=|ax2+bx+c|的图像，如图5所

示，将直线y=k沿着y轴自下而上平移，当k<0时，直线与图像无交点；当k=0时，直线

与图像有两个交点；当0

交点，当k>3时，直线与图像有两个交点，因为k≠0，所以符合条件的范围只有k>3.选D.

解后反思平移的思想为我们解题打开了一扇崭新的大门，它打破静态的常规思维，让我们解题思维闪动着智慧的火花，让我们真正感受到数学解题的乐趣，建议同学们在平时的学习中要在方法的选择上多动脑，找出更多更好的奇思妙解之法.作者简介娄成海，男，1976年1月生，中学一级教师，先后获得全国数学竞赛优秀辅导教师、沂源县骨干教师、教学能手，多次执教县级公开课，多次获得县讲课比赛一等奖，主要从事数学教学（数学竞赛）解题研究和学生减负条件下如何提高课堂教学的实效性的研究，有多篇论文发表.

列表分析数量关系

——对一元一次方程与实际问题教学的一点想法

武汉市钢城第十二中学430080系艳清

一元一次方程与实际问题是七年级上学期的教学重点，也是难点.在教学的过程中，学生最为棘手的是如何从实际问题中建立方程模型.不少同学虽然掌握了常用的基本数量关系，但是具体到每一个实际问题中，往往不能确定每个数字的意义，即便有公式也不知道该怎么运用.

表格是数学语言的一种，它的优点是简洁明了，一目了然.通过列表，我们可以将已知条件和未知关系放在一个表格中，再运用基本数量关系，就可以方便、快速并准确地列出方程.而且，用一元一次方程解决的实际问题中包含的数量一般不超出4个，学生容易下手.我们以利润问题和行程问题为例，感受一下列表分析数量关系的优势.

1利润问题

利润问题中所包含的数量主要有成本（进价），售价，利润，利润率.这四个量之间的关系是：

利润=成本×利润率=售价-成本；

售价=成本×（1+利润率）=成本+利润；

成本=售价-利润=利润÷利润率；

原价×折扣率=现价

由于利润率是以成本为基础的，它和成本的关系更密切，所以设计表格时，将利润率放在成本和利润之间，这样也更直观地表达了”成本×利润率=利润”这个数量关系.如果在一个具体问题中，商品的价格没有变化（没有打折），表格设计成2行4列即可；如果出现了变化，表格设计为3行4列.下面举两个例子.

例1一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖出这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？（教材102页探究1）

分析判断两件衣服总的销售情况，就是要判断两件衣服的成本之和与售价之和的关系，所以突破点是求出这两件衣服的成本.以同样的价格售出，一件盈利，一件亏损，那么这两件衣服的成本必然一件大于60元，一件小于60元，它们是两个不同的数量，所以应该用不同的字母表示.我们不妨设盈利的那件衣服成本为x元，亏损的那件衣服成本为y元，列表如下：

第一种，将表格填满：用x，25%，60这3个量表示利润：

25%x=60-x（根据利润=成本×利润率=售价-成本）；

第二种：在已知的x，25%，60之间建立等量关系：

（1+25%）x=60（根据售价=成本×（1+利润率））.

通过列表，既能清楚地表示60，25%，以及未知数x的意义，更能快速地找出它们之间存在的等量关系，方程很自然地就产生了.这里只列举了关于x的方程，关于y的方程大家可以试一试.我们再举一个价格有变化的例子：

例2一家服装超市将某种服装按成本价提高30%后标价，然后又以9折（按标价的90%）优惠卖出，结果每件仍可获利34元.求这种服装的成本价.

分析在这个问题中，商品的销售价格出现了调整，可以设计成3行4列式表格：

先设这种服装的成本价为x元，列表如下：

在已经完成的表格中，每行都只有2个数量，并且”9折”这个条件还没有派上用场.此时，我们可以先用x和30%表示出第一次售价为（1+30%）x，再利用“9折”这个条件表示出第二次售价为0.9（1+30%）x，从而表格的最后一列已经完成：

这样一来，表格中的每一行都有3个数量了.此时该列方程了.由于完成表格中的第二行时，我们已经利用了数量之间的关系，现在只能从第三行的3个数量入手，建立等量关系.如果类比例1，从填满表格的角度列方程，表达利润率会出现分式方程，所以回避.我们可以从最后一行的3个量的关系着眼，列方程为：

x+34=09（1+30%）x（根据实际售价=成本+利润=原售价×折扣率）

利润问题一向是让学生感到头疼的问题，主要原因是他们缺乏生活经验，只能从教材上认识成本，售价，利润等等概念.如果他们能用表格将已知条件和未知条件各就各位，相信列方程对他们来说也就是小菜一碟了.尤其当后续学习用一元二次方程解决实际问题时，只要在表格中增加一列”销售量”就足矣！

2行程问题

学生对行程问题中包含的数量关系是非常熟悉的：

速度×时间=路程；

路程速度=时间，路程时间=速度.

在教学中，有人喜欢将行程问题细化为相遇，追及，顺（逆）风（水）等等.其实，这种划分对学生来说反而是一种折磨.如果学生能够将表格和线段示意图结合起来，不管什么样的行程问题，都能拨云见日，快速列方程.我们也举两个例子.

例3张华和李明登一座山，张华每分登高10m，并且先出发30min（分），李明每分登高15m，两人同时登上山顶.设张华登山用了xmin，如何用含x的式子表示李明登山所用时间？试用方程求x的值，由x的值能求出山高吗？如果能，山高多少？（原题见教材98页习题33综合运用第5题）

分析此问题中涉及两个运动的目标，我们可以用一条水平的线段表示登山的路程（从左到右对应从山脚到山顶），首先设计表格为3行4列（包括速度，时间，路程），并在表格中填上已知数量：

然后，借助线段示意图找出等量关系（本题由于两人都是从山脚登上山顶，所以路程相等，线段示意图略过），

最后，根据线段示意图，正确列出方程：10x=15（x-30）.

至于求山的高度，只需解出方程后，将x的值代入方程任意一边求值即可.

例4一支部队排成1200米长的队伍行军，在队尾的通讯员要与最前面的营长联系，他用6分钟时间跑步追上了营长，为了回到队尾，在追上营长的地方等待了24分钟.如果他从最前头跑步回到队尾，那么所需要的时间是多少分钟？

分析这个实际问题中包含的行程可以分为3次，可以放在一个表格中.

我们以通讯员和营长为目标.设通讯员跑步的速度为a m/min，队伍前进的速度（也即营长的速度）为b m/min，通讯员从最前头跑回队尾需要x min，列表如下：