从四个方面体验数学简约美

余宝霞

【摘 要】本文结合古今中外名人名家的故事、历史名题，引导学生体验数学的简约美，让学生在领略数学丰富的文化底蕴的同时，感受数学的魅力。

【关键词】简约 简洁 数学美

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）02B-0082-03

简洁明快是美的表现，简洁体现在数学中就是简约。简约的美，是一种艺术的美，能使人的心灵深处得到放松的美。数学的诸多美中，简约美是首要推崇的，有一句古老的拉丁格言这样说：“简约是真理的标志。”数学中每一步进展，都与更简单方法的运用密切相关。庞大、复杂的数学体系通过公理体系处理后变得相当简洁，这个过程本身充满了神奇的魅力。数学的简洁有着非常丰富的内涵。追溯数学的历史文化长河，从中我们可以体验到，数学家运用数学符号来表示使得数学简约而易于推广。提出简洁数学问题引发研究的浪潮，致力寻求最简洁证明来促进数学的发展;提出简约的数学理论使数学成为科学之典范。这一系列行为所表现出来的简约美，给我们以简洁美的切身体验，让我们深深陶醉于数学的魅力中。

一、精巧符号，数学之巧妙

现代数学的特征是广泛运用符号。在研究现实世界的数量关系和空间形式时，数学符号提供了比自然语言更加简明、准确的思维与表达工具。如圆⊙，菱形◇，正方形□，三角形△，平行∥，垂直⊥，角∠等，这些既简单，又惟妙惟肖直观形象的图形符号示意了几何概念、命题、推理之间的数学关系。

数学，由于它的语言、记法以及看上去很奇特的符号，使一些人把数学设想成受冷酷无情的定义、法则、定理、公式和符号统治着的专制王国，里面充满着机械和单调。其实不然，就简约的数学符号而然，它的思想奇特而妙不可言，其外形又不缺乏图画般的动人之美妙。一个简单的式子，能将毫无关联的符号巧妙地联系在一起，蕴藏着丰富的思想;一个简单的符号，却在数学乃至科学上起着举足轻重的作用。我们看到，欧拉把数学上几个重要的常数 0，1，i，e，π通过公式 eiπ+1=0 巧妙地、简约地联系在起来，无穷不循环的小数与简单的数1和0以及虚数单位 i 构成一恒等式，打破了无理数、虚数间的隔绝。我们不由地赞叹，数学符号体现了我们人类智慧的精华，并凝炼成光芒四射的美丽结晶。还有欧拉公式“V+F-E=2”，宇宙间无穷无尽的多面体的面数、棱数、顶点数都符合这个极其简单的公式。式子极其简洁，思想却又极其丰富，堪称简洁美典范。不只欧拉致力数学符号的创造，使得数学简约而更容易表述、推广，德国大哲学家和数学家莱布尼兹也是历史上伟大的符号学者之一，他创立了积分符号。莱布尼兹用“∫”这一简捷的符号传达了定积分和原函数之间的微妙关系。许多数学爱好者和数学家都把积分符号堪比“美女”，是数学中漂亮的符号，它充分体现了女性的曲线美。正因为具有一套优越的符号体系，微积分理论得到迅速发展和广泛应用。曾晓新（1990）提到：“莱布尼兹提出的微分符号、导数符号、积分符号等，使用起来极为方便，进行微积分运算简直就像是在自动进行似的。”微积分中一套成熟漂亮的符号体系：dx，∞，∑，lim 等，有效地促进数学学科的发展。18世纪，数学分析的进步就是在莱布尼兹微积分学的基础上发展所取得的。

利用了符号，数学上的每一个论断和它所描述的东西就可以更快地被人所了解。对数学符号的认识、理解和灵活地运用，有助于我们深刻领悟数学的奥秘，体验数学之巧妙。苏联数学家鲁金在谈到欧拉时说：欧拉的洞察力是那样的深邃，不论多么复杂深奥的公式，在他强有力的手里，都变得服服贴贴，如柔软的蜂蜡一样;在他的威力面前，都规规矩矩地献出一切……他可以本能地直接感受到公式里的真理与虚假。欧拉创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f（x）等，至今沿用。欧拉曾运用简约的数学符号完美解答了著名的“哥尼斯堡七桥问题”，并开创了“图论”。

我们来看一看哥尼斯堡七桥问题。18世纪，欧洲有一个风景秀丽的小城叫哥尼斯堡，普莱格尔河横贯城区。河中央有两座美丽的小岛，七座桥把两个岛和河岸连结。城中的居民经常沿河过桥散步，久而久之形成一个问题：如何不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥？每一个到此游玩或散步的人都想试一试，却无一人成功（如图1）。

欧拉将它转化为“一笔画”问题。把河的两岸、两个小岛看成四个点，把七座桥看成是七条线，转化成几何图形后得到图2。于是问题变为：如何将此图一笔画出？运用简约的数学符号表示后，该问题迎刃而解。

怀特认为，复杂的东西是用简单的东西表示出来的。在某种观点下，数学可以定义为相继用简单概念来代替复杂概念的科学（曾晓新，1900）。如果体验不了符号在数学研究、数学理论中的简约作用，那我们也不可能深刻地体会到数学的美。

二、简洁问题，研究之动力

数学问题为我们进行研究提供了源泉和动力，当代美国著名数学家哈尔斯曾形象地指出，问题是“数学的心脏”。在历史的长河中，存在许多经久不衰的、令人废寝忘食的数学问题，如费尔马猜想、黎曼猜想、哥尼斯堡七桥问题、哥德巴赫猜想等，这些历史问题以极其简明而深刻的表述方式吸引着人们的注意，引发研究的浪潮。一个好的数学问题必然突出主题，体现主要的和本质的东西，也必定是简洁、通俗易懂的。简洁、清晰的数学问题，极易引起人们思考的兴趣。所以，如希尔伯特一样，简洁与否必将成为衡量一个数学问题是否有价值的重要标准。难怪希尔伯特说：“问题的完美提法意味着已经解决了一半。”

在整个数学史上很难找出像几何的三大尺规作图问题那样具有历久不衰的魅力。三等分角问题、化圆为方的问题、倍立方问题等，要求的条件简单，只要圆规和直尺，表述简洁，通俗明白，谁都能容易理解其所提出的问题。几千年来，它激发了无数数学家和数学爱好者研究的兴趣，如古希腊的希波克拉底、门奈克木斯、阿基米德、达·芬奇、高斯、拿破仑等大数学家、大画家都投身于尺规作图三大问题。对于数学爱好者而言，问题极富诱惑力，难以抗拒，甚至会改变一个人的人生轨迹。最典型的就是，因解决了正十七边形（n 为奇数）尺规作图的难题，当时才17岁的高斯兴奋不已，并在研究中深受鼓舞，于是立即放弃了从事语言学的念头，决心投身于数学。最后，他成为历史上四个最伟大的数学家之一，并被誉为“数学王子”。

简约的数学问题深刻影响笛卡尔。1618年，荷兰的布莱达街头公开征求数学问题的解，那是一个极富挑战的问题。笛卡尔被这个数学问题深深地吸引，并很快地给出了正确解答。这个难题的解决，使他对自己的数学能力获得了巨大信心。于是，笛卡尔开始了数学的思考与研究。笛卡尔对现代数学的发展做出了重要的贡献，他创立了解析几何。解析几何简洁地用点、坐标刻划出位置和数量关系，使形与数统一起来，实现了几何方法与代数方法的结合，让许多复杂的数学问题变得简约。解析几何的产生是数学发展史上的一次重大突破，作为变量数学发展的第一个决定性步骤，解析几何的建立对微积分的诞生功不可没。这些简洁的数学问题的解决，不仅极大地激发了数学爱好者的神经，让他们陶醉于问题解决之中，让他们体验奋斗的愉快，享受着胜利的喜悦，还极大地推动数学的发展。

三、证明的简洁美，数学之发展

概念是数学的“砖瓦”，是数学的基本要素。数学证明是“粘合剂”，用逻辑把数学概念、定理有机地结合起来，构建起辉煌的数学宫殿。发现的数学命题要得到承认，就不得不依赖数学证明。每一项数学的发现要想获得大家的接受，就必须通过数学证明。不断寻求越来越简明扼单的方法证明定理和解答问题是数学的真谛（马丁·加德纳）。数学家总是致力寻求最简洁的证明。简约的证明，思路巧妙，条理清晰，显示出数学证明不容辩解的逻辑力量。简洁证明，寓意丰富，表达明快，让人品玩称奇、惬意开怀，极易被人们接受。高斯证明代数基本定理时，为寻求一种最美和最简洁的证明，尝试了不下10种证明方法，其中许多证明方法追求的就是使证明本身简洁。高斯说：“吸引我研究的主要动力是去寻求一种最美和最简洁的证明。”我国著名的数学家陈景润，1966年刚完成关于哥德巴赫猜想1+2的证明时，由于证明冗长不够简洁而没有全文发表，经过7年的努力后，200多页的证明最终简化成只有18页，1973年在《中国科学》一发表，立即在国际数学界引起了轰动。陈景润的证明至今仍被认为是该猜想的最好结果，被国际数学界誉为“陈氏定理”。

数学家对冗长、烦琐的证明不会无动于衷的，坐视不理的。总会有不少的数学家耿耿于怀，一心致力于冗长数学证明的简化。而每次简化必将伴随理论上或方法上的突破，出现重大的改进，从而加速数学的发展。对于有关数学证明的简约与严格之间的关系，希尔伯特这样认为：“把证明的严格化与简单化绝对对立起来是完全错误的。严格的方法同时也是比较简单、比较容易理解的方法。”简约的证明，体现人类思维的精巧。烦琐、冗长的证明，凸现的是人类思维的蛮力，往往由于晦涩难懂，难以获得大家的认同。曾经，美国数学家德贝兰花了30年的功夫，好不容易证明了连最优秀的数学家也感到为难的比勃巴赫猜想，却由于证明长达300多页，过程冗长得超乎想象，令人望而却步，无人愿意审核论文，在美国数学界受到了冷遇。后在苏联数学家的帮助下，将300多页的论证浓缩成十余页简洁的证明过程，因此德贝兰的成果获得了数学界的认同。简化的过程，巧妙的证明，又彻底解决了一个历史难题。

四、数学理论的简约，科学的典范

数学是一种表述简洁、清晰、歧义较少的理论体系。数学的0，1，2，…，9这十个数字非常绝妙，区区十个数字加上十进位制竟然能表达任何数。记法是如此简洁，运算上又是如此方便，“简易得难以估量”。数学的运算表示又是极其简单明了的，如在乘法运算上，n·a 简洁地表示了 n 个数 a 相加;而 an 简洁地表示了 n 个数 a 相乘。数学的概念如函数、指数、对数、微分、积分等，还有加、减、乘、除、等于、大于、小于，都是涵意明确，简洁、约定的。将数学的公式、定理统一起来，形式是极其简洁的。如圆的切线定理、割线定理、切割线定理统一为圆幂定理;（下转第97页）（上接第83页）双曲线、抛物线、椭圆统一为二次曲线，在极坐标系中圆锥曲线方程统一为，e 的大小决定二次曲线的形状。圆（棱）锥、台、柱体的体积公式可以统一为，h 为立体的高，s1，s2 为上、下底面的面积。这些简单明了的数学表达式，何其和谐统一。数学的理论体系是简约的，欧氏几何用清晰、直观的图形，表达复杂的逻辑关系。皮亚诺用了三个原始概念、五个公理的简单的逻辑结构，建立现代科学大厦，简单的算术公理体系与庞大复杂的数学领域形成鲜明的对比，我们不能不为皮亚诺的算术公理体系的简洁而折服。解析几何简洁地用点、坐标刻划出位置和数量关系，建立数形结合的深刻理论，让许多复杂的问题变得简约而迎刃而解。数学的内容，数学的表达式和理论体系，无一不以它所特有的精巧的字母符号、精炼的数学语言、简洁的表达方式、严密的逻辑体系向我们展示出数学简洁美的魅力。

数学之所以成为科学的典范，离不开数学理论的高度简约性。欧几里得利用几个原始概念和5组公理、公设去演绎出欧氏几何体系，去统一了公元前7世纪以来希腊丰富又纷纭庞杂的整个几何系统。瑰宝《几何原本》的问世，在数学史上树立起演绎几何的丰碑，演绎的数学理论成为大多数科学所追溯的典范。牛顿所创立的经典力学，利用力学三大定律和万有引力定律将天体力学和地球上物体力学统一起来，就是一个仿照欧氏《几何原本》，并可与其媲美的逻辑演绎体系。著名物理学家海森堡认为 ，科学家为了使研究的问题更精确，往往引入数学方法将对象及其环境作简化与纯化，在很多场合下，科学家只须找到某些最简单的数学概念或数学关系，就能建构起某种科学理论体系。比如，麦克斯韦方程组问世，简单明了地表达了电与磁的关系，将人类二千多年来积累的许多杂乱无章而不成体系的有关电、磁、光的知识，统一起来，建立起统一而完美的经典电磁学理论。

数学上愈简单的规律便愈接近自然，愈美。简洁的东西易于为人类所把握，简洁有助于提高思维的效率，也只有简洁才更容易让人类长期积累的知识世代相传下去。

【参考文献】

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[2]许伟荣.体验数学简约，感受数学魅力[J].数学教学通讯，2012（8）

[3]张映姜，陈美英，李晓培.数学的历史文化赏析[M].湖南：湖南师范大学出版社，2013

[4]程民治.海森堡的科学美学思想[J].安徽师大学报（哲学社会科学版），1998（3）

（责编 卢建龙）