中学概率统计学习浅谈

◎华明月

中学概率统计学习浅谈

◎华明月

概率和统计是研究随机现象规律的学科，随机现象在生活中随处可见。将概率统计知识列为中学数学的必修内容有实用性和必要性。但由于概率统计本身存在大量不确定性概念，对学生的学习与理解造成了困难，导致学生在处理概率统计问题时十分容易出现问题。本文就学生学习、教师教学中遇到的问题加以分类，并进行分析，希望可以对学生学法、教师教法提供帮助。

概率统计；中学教学；典型错误

随机现象在日常生活中随处可见，概率和统计就是研究随机现象规律的学科。它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法。正是由于概率统计的这种广泛应用性，美、英、法等发达国家，在基础教育阶段就非常注重学生概率统计知识的获得和概率统计观念的培养。2001年，《数学课程标准(实验稿)》颁布，我国正式启动新一轮基础教育课程改革。随着新课程改革的不断推进，概率统计教学逐步得到重视，特别是义务教育阶段，新课程在三个学段中都把“统计与概率”列为重要的学习领域，突出了其重要性，起到很好的导向作用。而概率统计知识对学生的数据处理等方面能力的培养也具有很重要的作用。

但概率统计知识看似简单，实质上是不少学生的软肋。有研究发现，我国学生在概率概念认识方面主要存在14组错误：1.主观判断；2.举例说明可能与不可能；3.可能便是必然；4.机会不能量化及预测；5.等可能性；6.预言结果法；7.每次机会与频率无关；8.用数据匹配和文字匹配来解释机会值；9.一再重复并无益；10.顺势与逆势；11.用自己的方法比较机会值；12.将有着不同顺序的结果视为一样的；13.误用或者不当地推广结论；14.用自己的方法计算机会。

通过前面的简单叙述，可以看出不论是硕士、博士或是一线教师都把中学概率统计的教学，以及如何避免学生出现错误，当成重点研究。有之前教育工作者的研究成果，笔者决定重新整理概率易错类型，首先明确概率概念，进而分析典型错误。力图做到让学生“知其然，知其所以然”，把明确概率统计概念放在首位。下面的论述均以中学数学概率统计知识为背景，从基础知识分析、典型错题、错题正解等三个方面对笔者分类的几种典型错误进行具体分析。

概率与统计是人们了解不确定性数学现象的重要工具。在现实社会生产、生活中，存在着大量不确定性的数学问题，其中蕴含着确定性的结论，对于指导人们从事社会生产、生活具有十分重要的意义。因此，概率与统计以近半个学期的学习内容进入高中课本。但也正是概率统计知识的“不确定性”，使学生在理解运用知识点时遇到很多问题。通过笔者的分析，认为以上李俊在《中小学概率教与学》中指出的14种的错误可以加以合并，重新分类为以下七种：“非等可能”与“等可能”混同；“互斥”与“独立”混同；“互斥”与“对立”混同；“条件概率P(B|A)”与“积事件的概率P (AB)”混同；“有序”与“无序”混同；“可辩认”与“不可辨认”混同。

由于概率统计知识中存在大量的抽象和不确定，并且在中学的知识体系中，该部分的知识相对独立。尽管学生在义务教育阶段以及辩证法学习过程中已经接触了一些偶然性与必然性的知识，但学生对偶然性与必然性的了解还比较肤浅，仅仅停留在定性甚至是感性认识的水平之上。而概率是揭示偶然世界规律性的科学，它所研究的随机现象是偶然的，但又有一定的规律性，偶然中蕴涵着必然；它总是通过对事件外显数据的研究，达到对事件本质的把握；学生通过高中概率的学习可以从定量和理性的层次上更深入地认识偶然性与必然性的本质。处理这类问题时基本不能套用之前的思维模式，如何跳出定式，对教师教法是个很大的挑战。为了打破这种僵局，教师应该利用多种途径缩短认知差距。

一、确立随机思想，提高课堂效率

统计与概率中存在着大量的试验，需要学生通过亲自参与来学习统计与概率的内容，掌握数据处理的方法。这些活动将会极大地促进教师与学生地位的根本改变。教师将由传统的知识传授者向活动的参与者、引导者、合作者转变；由传统的教学支配者、控制者向学生学习的组织者、促进者和指导者转变;由传统的静态知识占有者向动态的研究者转变。学生将由被动接受知识的容器转变为活动学习的设计者、主持者、参与者。教师应该意识到，在解题过程中套用模式来解概率统计题往往是不能奏效的，甚至会导致思想僵化，原因是概率统计的随机性使得模式具有多样性和不重复性。机械地模仿只能解决常规问题，无益于解决活的问题，更无益于创造性能力的提高。首先，教师应经常向学生介绍包含随机现象的实例。比如百年一遇的洪涝灾害、每年数以万计的交通事故、气候的瞬息万变、股票价格的波动起伏等现象。其次，在介绍一些重要结论时，要不断提醒大家注意体会其中的随机性。比如，抛掷硬币正面和反面向上的概率都是0.5，但可能一个班的所有学生抛100次正面向上的概率都不是0.5，这就是结果的波动性。这样生活中的生动的例子，可以帮助学生较快进入随机的世界，让学生对概率统计有新的理性的认识。

二、把握学科特点，加强概念教学

教学的理论和实践告诉我们，要搞好一门课的教学，首先应充分认识这门课程的特点和规律。众所周知，概率与其他数学内容有着明显的不同，正是这种不同，使学生初学时不能很快适应。在概率教学中，应注重培养学生的随机观念；了解随机现象与概率的意义，随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性；弄清随机变量的取值规律是用概率和分布刻画的；会用随机观点处理随机现象；知道统计结果是概率地呈现的，可能有误差；让学生感受到确定性和随机性数学思维方法的本质区别。

概率统计学习的主要目标应该是对基本的概率统计知识的掌握，发展思维能力，而不应该拘泥于一味地计算和追求结果。在教学中，教师应鼓励学生尽可能运用计算器、计算机来处理数据，进行模拟活动，更好地体会统计思想和概率的意义，如可以模拟掷硬币的试验等。

三、注重实践活动，经历探究过程

概率是一门实践性很强的学科。概率来自于实践，又服务于实践。现在，概率已广泛地运用于生产、生活和社会等各个领域。因此，在课堂教学过程中，不仅要让学生掌握统计与概率的理论知识，更重要的是培养学生的应用能力。不论是讲授新概念还是新方法，我们都要从现实背景出发来讲清它们在解决实际问题时的应用。如在介绍古典概型和几何概型时，可以介绍“晚会礼物问题”“生日问题”“值的估计问题”等。

虽然教材中未提及研究性课题，但由于概率与现实生活存在着非常密切的联系，教师应积极引导学生开展与概率相关的课题研究，如学校周围交通堵塞情况的调查、对自己所喜欢的体育比赛的研究、从概率角度看赌博与摸彩的异同点等，为学生创设独立思考与合作交流相结合的探究情景。作为学生学习活动的引导者和帮助者，教师应尽可能采用“质疑——猜测——交流——验证”的教学模式，让学生主动地发现问题、解决问题，深化用概率解决实际问题的意识，并以此来培养他们的创新精神。

本文探究了中学数学概率统计中的典型错误，一方面希望可以对教师教学有所帮助，另一方面希望可以拓展开来，对整个数学教学都有所思考。

(作者单位：内蒙古包头市一机一中014000)

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