镜像对称性多边形构型等边凸多面体解析计算方法

王晓东，周丰峻，张　伟

(1.河南科技大学 土木工程学院，河南 洛阳 471023；2.总参工程兵科研三所，河南 洛阳 471023)



镜像对称性多边形构型等边凸多面体解析计算方法

王晓东1，周丰峻2，张伟1

(1.河南科技大学 土木工程学院，河南 洛阳 471023；2.总参工程兵科研三所，河南 洛阳 471023)

摘要：基于组合多面体理论，利用计算机图形学相关矩阵变换，建立了镜像对称性多边形构型等边凸多面体解析计算方法，并得到了等边凸多面体由构型和径长唯一确定的结论，该方法可直接运用到大跨度单层球形网壳结构设计中。等边凸面体由平面多边形板块组成，便于设计和加工；主体杆件只有一种，便于预制及快速构建。

关键词：计算机图形学；镜像；等边凸多面体；单层球形网壳

0引言

沿座边和沿角展开多面体由正五边形和六边形网格组成[1]，且具有镜像对称性[2](与正20面体对称性相同，所属对称群为Ih)，本文将其统称为镜像对称性多边形构型多面体。

具有正20面体对称性的球形网壳结构因具有高度对称性、造型优美、网格均匀以及受力合理等优点而倍受青睐[3-5]。其中，三角形构型网壳结构主要是美国工程师R.Fuller于1954年提出的短程线网壳[5]，其节点由5根或6根杆件汇交而成。而具有正20面体对称性的多边形构型网壳结构，节点由3根杆件[1]汇交而成，具有自身质量轻、用钢量少等优势[6]，目前其计算方法主要基于“突角和相等”假定[6-8]。本文在此基础上建立了等边凸多面体解析计算方法，使得结构主体杆件只有一种，便于工厂预制及结构快速构建[8]，从而缩短工期。

该方法基于组合多面体理论，以独立角点坐标为未知变量，利用多面体对称性及计算机图形学相关矩阵变换[9]求解单元内相关角点的坐标。然后，建立方程组使独立六边形各角点共平面，使独立杆件两两相等，使正五边形角点到球心距离为定值，并据此编写相关计算程序求解各独立角点坐标。凸多面体六边形网格具有平面性，故板块可做成便于加工的平面形式，从而减少模具费用。

1基于组合多面体理论的凸多面体约束条件

1.1拓扑约束

由文献[1]可知：从平面单元映射到空间单元，包括拓扑邻接和拓扑关联等在内的拓扑关系不变。

1.2对称性约束

图1　92面体平面单元

在沿座边或沿角展开平面单元图中，可按下述原则确定一个正三角形：三角形形心与单元中心重合，三角形棱边穿过单元最外层六边形形心。例如，图1为92面体平面单元，图1中确定的正三角形为加粗虚线。显然也可以反过来对正三角形进行网格划分，得到平面单元。

若无特殊说明，本文中的平面单元是对图2所示△O5O51O52进行网格划分得到的。对称性约束是指：若平面单元中的几何元素(包括点、棱边和六边形)关于△O5O51O52的棱边或高对称，则对平面单元进行拓扑变换后，几何元素关于△O5O51O52的棱边或高与点O确定的平面对称。例如，对图2中的△O5O51O52进行网格划分，得到的162面体平面单元见图3，其中，点P1与点A1关于O5O52对称，对平面单元进行拓扑变换后，点P1与点A1关于面OO5O52对称(面OO5O52见图2)。

对于平面单元，将位于△O5O2O3内及边界上的角点称为特征角点，将形心位于△O5O2O3内及边界上的六边形称为特征六边形，将中点位于△O5O2O3内及边界上的六边形称为特征棱边。例如，图3所示单元中，六边形I～III为特征六边形，点P1～P4及点M为特征角点，A1P1等加粗棱边为特征棱边。

图2 正20面体图3 162面体平面单元

1.3平面性约束

平面性约束是指平面单元拓扑变换为空间单元后，特征六边形依然具有平面性。同时满足拓扑约束、对称性约束和平面性约束的多面体是凸多面体。

1.4等边约束

等边约束是指平面单元拓扑变换为空间单元后，所有特征棱边长度相等。同时满足拓扑约束、对称性约束、平面性约束和等边约束的多面体是等边凸多面体。

1.5径长约束

定义正五边形角点到球心距离为标准径长。径长约束由标准径长确定。

2正20面体相关参数求解

求解图2所示正20面体的相关参数，利用对称性建立多边形构型凸多面体约束方程。

2.1绕过原点任一轴的旋转变换矩阵

空间一轴过坐标原点，且单位方向向量为(a,b,c)，则绕该轴的旋转变换矩阵[9]Br为：

Br=a2+(1-a2)cosθ ab(1-cosθ)+csinθ ac(1-cosθ)-bsinθab(1-cosθ)-csinθb2+(1-b2)cosθbc(1-cosθ)-asinθac(1-cosθ)+bsinθbc(1-cosθ)-asinθc2+(1-c2)cosθéëêêêêùûúúúú

(1)

2.2正20面体中心对称轴相关参数求解

2.3镜像对称面方程求解

2.4关于对称平面的对称变换矩阵

(Ⅰ)设平面#1的方程为ax+by+cz=0(a2+b2+c2≠0)，点A(x,y,z)关于面#1的对称变换矩阵推导方法如下：先将面#1连同点A一起旋转至面#1与xOy面重合；然后，按关于xOy面对称变换的方法处理；最后，将面#1连同变换后的点反转到原来位置上[9]。对称变换矩阵为：

(2)

(Ⅱ)关于面OO5O52、面OO5O22和面OO51O2的对称变换矩阵分别为：

3沿座边展开多面体

图4　组合42面体平面单元

3.1设定未知变量并由对称性约束求相关角点坐标

设点P1、M经拓扑变换后的坐标分别为：

点P1与点A1关于面OO5O52对称，点P1与点C1关于面OO51O2对称，故点A1和点C1坐标分别为：

3.2根据平面性约束建立方程

由六边形I的对称性知：六边形Ⅰ具有平面性⟺P1M⊥OO2。由此建立约束方程：

(3)

3.3根据等边约束建立方程

令特征棱边两两相等，建立约束方程：

(4)

3.4根据径长约束建立方程

令标准径长为100，建立约束方程：

(5)

联立方程(3)～方程(5)解得等边凸42面体特征角点坐标为：

P1(17.476 777 162 483 51，95.477 393 660 613 52，24.054 720 114 545 802)；

M(35.852 948 150 265，79.845 688 955 441 87，49.347 349 629 615 15)。

根据已求特征角点坐标、拓扑约束和对称性约束建立的等边凸42面体全球模型见图5，网壳结构半球模型见图6。

图5 等边凸42面体全球模型图6 等边凸42面体网壳结构半球模型

4沿角展开多面体

以组合122面体作为沿角展开多面体的算例。图7为组合122面体平面单元，其中，六边形I～III为特征六边形，点P1～P3为特征角点，P1A1等加粗边为特征棱边。根据对称性约束，对平面单元进行拓扑变换后，点P1、P2位于面OO5O52上；面OO5O22为六边形Ⅰ的对称面；面OO5O52和OO51O2为六边形Ⅱ的对称面；六边形Ⅲ有3个穿过棱边中点的对称面。面、轴等空间几何元素元图2。

图7　组合122面体平面单元

4.1设定未知变量并根据对称性求相关角点坐标

设特征角点P1、P2、P3坐标分别为p1=(0,y1,z1)，p2=(0,y2,z2)，p3=(x3,y3,z3)。 点P1、P3分别与点A1、A3关于面#53对称，点P3与点B3关于面#23对称。故点A1、A3、B3坐标分别为a1=(0,y1,z1)Bm5，22，a3=(x3,y3,z3)Bm5，22，b3=(x3,y3,z3)Bm51，2。

4.2根据平面性约束建立方程

由各特征六边形经拓扑变换后的对称性：

(Ⅰ)六边形Ⅰ具有平面性⟺面P1P2P3⊥面OO5O22。由点P1、P2、P3的坐标可求出面P1P2P3的法向量σ1。令σ1与面OO5O22法向量的点积等于0，即：

(6)

(7)

(Ⅲ)六边形Ⅲ恒为平面六边形。

4.3根据等边约束建立方程

令特征棱边两两相等，建立约束方程：

(8)

(9)

(10)

(11)

4.4根据径长约束建立方程

令标准径长为100，建立约束方程：

(12)

联立方程(6)～方程(12),解得特征角点坐标为：

P1(0，98.455 080 744 761 96，17.509 913 636 063 487)；

P2(0，94.593 651 368 860 11，37.728 620 338 600 194)；

P3(19.229 132 760 508 03，90.732 221 992 958 26，43.976 544 313 966 69)。

根据已求特征角点坐标、拓扑约束和对称性约束建立的等边凸122面体全球模型见图8，网壳结构半球模型见图9。

图8等边凸122面体全球模型图9等边凸122面体网壳结构半球模型

5镜像对称性等边凸多面体由构型和径长唯一确定

表1为镜像对称性等边凸多面体未知变量与约束方程数量统计表。由表1可知：使镜像对称性多边形构型多面体为等边凸多面体的约束方程个数，等于设定的未知变量个数，故当单元构型和径长一定时，对应的等边凸多面体是唯一确定的。

表1　镜像对称性等边凸多面体未知变量与约束方程数量统计

注：未知变量为特征角点坐标，约束方程包括平面性约束方程、等边约束方程和径长约束方程。

6结论

(1)本文方法是根据多面体的性质建立的，以特征角点坐标为未知变量，利用拓扑约束、对称性约束、等边约束、径长约束及计算机图形学相关矩阵变换理论，建立约束方程。(2)对于镜像对称性多边形构型多面体，当单元构型和径长一定时，对应的等边凸多面体是唯一确定的。等边凸多面体不仅所有多边形网格具有平面性，而且所有棱边长度均相等。(3)这一系列球形等边凸多面体可直接运用到单层球形网壳结构设计中。由于主体杆件只有一种，因此，便于杆件批量预制及网壳结构快速构建。由于多边形网格具有平面性，因此，玻璃或其他材质屋面可以做成平面形式，便于加工。

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中图分类号：TU33

文献标志码：A

收稿日期：2015-07-08

作者简介：王晓东(1991-),男,河南安阳人,硕士生;周丰峻(1938-),男,山东黄县人,院士,博士生导师,主要从事空间结构的研究.

基金项目：国家自然科学基金项目(51208182,51309233)

文章编号：1672-6871(2016)03-0064-05

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.03.014