以《分数乘分数》为例谈数感培养

田秋月 黄利群 盛玲燕 徐伟荣

“数感”是小学数学核心概念之一，2001年版《数学课程标准（实验稿）》指出，数感主要表现在“理解数的意义，能用多种方法表示数，能在具体情境中把握数的相对大小，能用数来表达和交流信息，能为解决问题选择适当的算法，能估计运算结果，并对结果的合理性做出解释”。基于此，两年来笔者所在教研团队从五个维度在小学高段学生中开展了“数感”培养的实践研究，这五个维度分别是：估算结果合理化、计算方法多样化、算法解释个性化、运算方式简便化、计算结果准确化。现以《分数乘分数》一课教学为例，尝试说明我们在实践中的一些做法，以求教大家。

【教材分析】

《分数乘分数》位于浙教版新思维五年级下册第二单元，主要内容包括分数单位相乘、几分之几乘几分之几的算法、算理及应用。计算教学都有着共同的特点，即要在理解算理的基础上探索算法、归纳法则。分数乘分数的计算法则简单说来有两句话“分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母”、“过程中能约分的先约分”。从算理上看，分数的四则运算和整数的四则运算在本质上是一样的，不同的是整数运算中，整数的基本单位是“1”，而分数的单位是多义的。分数乘分数的算理是分数的意义的运用，本质是产生了新的分数单位，如可理解为“把平均分成5份、取其中的1份，相当于把单位‘1’平均分成15份、取其中的1份，就是”。这两个分数单位相乘得到新的分数单位可以看成××2×4，即（2×4）个，就等于。

【教学与反思】

我们从“数感”培养的五个维度来反思教学设计与实施过程，突出研究指向，聚焦学生在“数感”方面的表现。

一、估算结果合理化

逐一呈现下列图形，整体部分快速闪现并消失，学生通过留存下来的涂色部分回忆、想象其各占整个图形的几分之几。

【评析：“分数的意义”是本课开展学习活动的基础，以游戏形式呈现的“涂色部分占整个图形的几分之几”既增强了学习的趣味性，又起到了复习旧知的作用（为后续探究埋下“作图分析”的伏笔）。“闪现”是为了达成快速估测的目的，数感水平一方面取决于估算值的精确度，另一方面也以估算反应的快慢来呈现。在接下来探索精确值之前，也请学生先估一下乘积的大小或取值范围，不仅对运算方法的推导有帮助，也是对运算结果合理性的评估。】

二、计算方法多样化及算法解释个性化

方法一：方格图均分法

将长方形纸看成单位“1”，把单位“1”平均分成5份，一份就是。

生：第一次平均分成5列，第二次平均分成2行，5列2行，5×2=10（份）。

师：怎么看出是10份？

生：第一次平均分成5列，第二次把每列再平均分成2列，5个2，就是10列。

方法二：线段图均分法

师：还有别的画法吗？

生：题目要求平均分，后面4份也都要平均分成2份，从图中知道的就是整个的。

方法三：圆形图均分法

生：我是通过画圆的方法，把5个圆形这个整体当成单位“1”，一个圆形就是，再将每个圆平均分成2份，一份就是整个的。

师：方法一、二、三都是画图，你有什么想说的？

生：画的图形不同——长方形、线段、圆形。

师：仅仅是图形形状上的区别吗？

生：方法一和方法二是把一个长方形或线段当成单位“1”，而方法三是把5个圆形整体当成单位“1”。

师：说得很棒！这是不同之处，那它们有相同点吗？

生：把方法一的竖着分的图压扁就成了方法二的线段，再把线段“养胖”就成了方法三的圆形。

师：分的过程中有什么相同之处吗？

生：单位“1”先被平均分成5份，第二次被平均分成10份。

师：经过两次平均分，什么发生了改变？

方法四：分数小数互化法（推导1）

师：谁来点评一下这种方法？

生：把新知识转化成上个学期学过的小数乘法很方便，但有些分数不能化成有限小数。

师：根据分数与小数的关系来推导，你的联系能力很强！那么，有适用于所有分数乘法的推导方法吗？

方法五：分数与除法的关系推导法（推导2）

生：其实和方法四是相同的，只是方法四除出了小数的商，而这里只是用除式表示。

师：你们找到了分数与除法的关系，还在思考它们的相同点，太棒了！

方法六：积不变的性质化整法（推导3）

【评析：随着“数感”课题研究的实施，学生的解题思路趋向多样化、解决问题的策略更加灵活，这些方法不是凭空而出，都是在已有知识和经验基础上的拓展和延伸。方法多样化不是简单的罗列和重复，其过程也并非停留在形式上的多样，而是基于不同理解所带来的不同思路，学生在探求知识的发生、发展的过程中经历着差异化的思维方式，为总结、概括出更有价值的、更普适性的、应对不同问题的最优化方法创造了可能。另外，即使是对同样的算法也可能有着不同的理解和解释，同样是画图，也有数感水平的差异。教学中强调学生用自己的理解来表达自己的思考，为自己的算法寻找依据，这种个性化的算法解释就是在用数来表达和交流信息，增强了数感体验。】

三、运算方式简便化

师：这么多方法看起来各不相同，但它们之间是否有相同之处？

生：画图和推导两种方式都说明几分之一乘几分之一，分母相乘做分母，分子都是1。

师：从最后的结论上，我们都能看到这样的相同点。为什么分母是10，分子是1呢？

师：是的，不管是图示，还是推导，我们都能发现分母10是原来两个分母相乘的积，分数的分数单位发生了变化。那分子呢？

生：分子也是原来两个分子的积。

生：不好说，这里只能体现出来是1。

师：现在能总结一下分数乘分数的计算方法了吗？

生：用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母。

生：我是用方法五分数和除法的关系进行推导的：

师：刚才研究分数单位相乘有六种方法，现在怎么只用推导的方法？

生：掌握了运算的法则，直接用最简单。

【评析：运算方式简便化是基于算理剖析之后对计算法则的概括和归纳。教师在引导学生比较算法的相同点时，说明不管是图示还是推导，根据“分数的意义”都可以看出分数乘分数的本质是产生了新的分数单位，这个新分数的分母等于原来两个分数的分母的乘积，进而，再推导出分子也等于原来两个分数的分子的乘积。在此基础上，引导概括出计算法则，让学生觉得运用法则计算的简便性，促进了算理和算法的对照、理解。】

四、计算结果正确性

1.填空题。

2.根据算理填空。

3.解决问题。

【评析：计算结果的正确性是课堂教学质量的直接检验，也是学生数感水平量化的直接显现。通过学生现场反馈，这三题全班正确率 100%（共 36人），只有一位同学的结果未在过程中约分；全班都运用计算法则进行计算。】