两个典型数列极限的推广

郑华盛， 胡结梅（南昌航空大学数学与信息科学学院，南昌330063）



两个典型数列极限的推广

郑华盛， 胡结梅
（南昌航空大学数学与信息科学学院，南昌330063）

［摘 要］首先由两个典型数列极限分别得到关于算术平均及加权平均形式的数列极限；其次将得到的极限推广到一维及二维连续情形，得到几个结论；最后给出几个实例说明它们的应用．

［关键词］数列极限；推广；离散型；连续型

高等数学是理工科院校各学科专业的一门重要必修基础课，对后续课程及今后的学习有着举足轻重的作用．在高等数学课程教学中，如何培养学生的创新思维及创新意识，是一个值得探究的问题．

众所周知，推广是对原问题的一般化，是更深层次的学习，也是创新性学习和科学研究的基础．文献［1］就高等数学中问题推广的几种方法做了很好的归纳和总结．问题推广的表现形式有多种，而由离散型推广到连续型，由低维推广到高维是两种常用的推广形式．基于两个常用的典型数列极限问题，本文重点探讨如何运用上述两种常用的推广形式，将它们推广到离散型，连续型及多维情形，引导学生积极探究一些典型问题的推广，以获取更一般的结果，这也是研究性学习的一个锻炼环节．

1　数列极限I及其推广

由此极限及四则运算法则，可以得到关于算术平均及加权平均形式的数列极限．

命题1 设ai＞0，pi＞0（i＝1，2，…，m），则有

下面将命题1中的算术（加权）平均推广到积分平均，即将离散型对应地推广到连续型情况，有

定理1 设函数f（x）在［a，b］上连续，f（x）＞0，函数g（x）在［a，b］上可积且不变号，则有

证 由题设知f（x）在［a，b］上有界，即存在m，M，使∀x∈［a，b］，有0＜m≤f（x）≤M．不妨设g（x）≥0，∀x∈［a，b］，于是得

推论1 设函数f（x）在［a，b］上连续，且f（x）＞0，则有

类似地，推广到二维连续情形，有

定理2 设函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，f（x，y）＞0，函数g（x，y）在D上可积且不变号，则有

推论2 设函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，f（x，y）＞0，σD为区域D的面积，则有此

外，还可类似地推广到三维及更高维情形．

2　数列极限II及其推广

文献［3］给出了一个典型数列极限，则有

证 下面仅证（ii）：（（i）是（ii）的特殊情况）

类似地，可证得

下面将命题2推广到一维连续情形，有

定理3 设函数f（x）在［a，b］上连续，f（x）＞0，函数g（x）在［a，b］上可积且恒大于或恒小于零，则有

证 由定理1知结论左侧极限为1∞型，

又由题设知f（x）在［a，b］上有界，即存在m，M，∀x∈［a，b］，有

所以

于是

即对于∀ε＞0，存在N，当n＞N时，有

从而得

即得

故得证

特别地，取g（x）＝1，由定理3得

推论3 设函数f（x）在［a，b］上连续，且f（x）＞0，则有

类似地，将上述结论推广到二维连续情形，有

定理4 设函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，f（x，y）＞0，函数g（x，y）在D上可积且恒大于或恒小于零，则有

特别地，取g（x，y）＝1，则由定理4得

推论4 设函数f（x，y）有界闭区域D上连续，f（x，y）＞0，σD为区域D的面积，则有

此外，以上结论还可类似地推广到三维及更高维情形．

3　应用实例

从而得

于是

故由ε＞0的任意性，知

综上所述，即得，其中n是给定的正整数．（2009年首届中国大学生数学竞赛赛区非数学类试题）

例2 求极限

解 取a1＝e，a2＝e2，…，an＝en，则由命题3，得

例3［3］设函数f（x）为［0，1］上的连续正值函数，证明

证 由推论3，得

故对上式两边取极限，令n→∞，即得

［参 考 文 献］

［1］ 苏化明，潘杰．高等数学问题推广的几种方式［J］．大学数学，2004，20（5）：64－69．

［2］ 张筑生．数学分析新讲（第一册）［M］．北京：北京大学出版社，1990．

［3］ 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［M］．2版．北京：高等教育出版社，2006．

The Extension of Two Typical Limits of the Number Sequence

ZHENG Hua－sheng， HU Jie－mei
（School of Mathematics and Information Science，Nanchang Hangkong University，Nanchang 330063，China）

Abstract：Firstly，several limits of the number sequence for arithmetic average and weighted average form are separately obtained by applying two typical limits of the number sequence．Secondly，the derived limits are generalized to one dimensional and two dimensional continuous type．Some results are presented．Finally，several examples is given to show their applications．

Key words：limit of the number sequence；extension；discrete type；continuous type

［基金项目］江西省教育厅教学改革研究项目（JXJG－13－8－18，JY1329）；江西省教育厅科技项目（GJJ12431）

［收稿日期］2015－09－06

［中图分类号］O172．1；O13

［文献标识码］C

［文章编号］1672－1454（2016）01－0091－05