数形结合妙解数学难题

陆芸婷

随着课程改革的不断深入，要求老师在教学中不仅仅要提高学生的数学成绩，也要注重培养学生的数学思想.而在初中的学习阶段，数形结合就是一种极其重要的数学思想，对学生的解题能力的提升有十分巨大的作用.数形结合的应用大致可以分为两种情况.一是利用数的精确准确性质来表现形当中的某些特征或属性，这就是用“数”来解释“形”；二是利用形的直观性简洁明了的特征来描述数与数之间的某种特定联系，这就是用“形”来帮助“数”.笔者具有多年初中数学教学经验，对如何在课堂教学中以及习题训练中培养学生的数形结合思想具有一定的研究，下面谈一谈自己的几点心得体会，不足之处，敬请斧正.

一、不等分析，妙求解集

在数学教学中，作为老师我们不应该只是将数学知识传授给学生，而是应该尽自己最大的能力让自己的学生养成某种合适的方便的简洁的解题习惯.数形结合的思想就是一种不错的选泽，老师要学会在教学中渗透数形结合思想，使学生能够利用这一思想为自己解题谋求最大的便利.

数形结合应用范围十分广泛，对各类题型的解题都有一定的帮助，尤其是在不等式的相关问题中，更能起到意想不到的作用，能够帮助学生快速分析题目，对提高学生的解题速度大有益处，取得良好的效果.例如，当我们在学习解绝对值不等式这部分知识时，同学们都会遇到这样的题目：不等式|x+2|+|x-3|>5的解集是.这是一道常见的数形结合的题目，在解题之前我们一定要弄清楚绝对值的几何意义.数轴上表示数x的点离开原点的距离，就记作|x|.那么同理|x+2|就表示数x的点和数-2的点的距离，在学生弄清楚这些之后再进行题目分析.当遇到这种题目，学生的第一想法都应该是数形结合，根据已知条件画出数轴再进行下一步考虑，如下图所示.在数轴上我们可以看出，-2与3的距离就是5，所以点x不能出现在-2和3之间，也包括-2和3这两个点.所以x只能出现在-2点的左侧以及3点的右侧，只有这样不等式才会成立，故而原不等式的解集就是x>3或x<-2.通过这种方法我们可以看出，数轴的画出使问题的求解方向十分明确，x点的位置被-2和3这两个点分为三段，学生只要依次进行考虑即可，出错概率会大大降低.当然还有一点要注意，那就是-2和3这两个点，有的同学总是忽略这两个点的存在，对于大于号和大于等于号或者小于号和小于等于号分不清楚，导致解题失败，这种情况一定要避免.

通过数形结合的方法，使得求解解集的题目变得异常简单，学生理解起来也会十分容易.掌握熟练的同学还能在其中发现数形结合之美，在各类题型中总会不自觉地将其应用，提高自己的解题能力.

二、函数关系，巧求范围

函数问题由于具有抽象性，所以对于初中生来说掌握起来是较为困难的，需要学生拥有强大的空间想象力，才能够将这部分知识掌握透彻.所以当老师在讲解函数部分知识时，一定要放慢速度，关注学生的掌握情况，通过老师不断的努力帮助学生打好函数的基础，以便将来在中考中取得佳绩.

在学习过程中，学生们就会发现函数关系与图象是同时存在的，所以在解决函数的相关问题时，很容易联想到采用数形结合的方法，但是当遇到具体的题目时，还是需要根据题意一步一步地解决.很多学生只要看出是采用数形结合的方法解题之后，就不再动手去计算去求解，这是一种错误的学习方式，需要老师去提醒纠正.例如，老师在习题训练课中都会给同学们布置这样的作业：如果方程4x2-2x+k=0的一个根大于-3并且小于1，另一个根大于1并且小于3，请求出k值的取值范围.很明显这道题可以与函数的知识相联系起来，我们可以设y=4x2-2x+k，之后简要画出其函数图象，再根据已知内容进行求解，如图2所示.根据题干中的两根情况，再结合图象中的位置关系，我们可以得到这样一个方程组：即y（x=-3）>0、y（x=1）<0、y（x=3）>0.将数据代入其中，就可以得出-30

通过函数的构造并且与函数图象相结合，再利用已知条件，可以创造合适的解决问题的方法，使复杂难懂的问题得到简化，学生分析起来也会十分轻松，有利于学生快速寻到答案.

三、几何证明，速证大小

几何问题也是初中学习的重点内容，在各年中考题目中都会有所体现，所以老师也要加强学生几何问题的分析能力，为取胜中考奠定基础.在几何的学习中，证明问题一直是学生的弱项，老师也要想方设法提高学生的证明能力，而在有些题型中也可以应用数形结合的思想，帮助学生分析几何难题.

几何证明题的种类繁多，学生在进行中考之前一定都进行过大量的习题训练，都有一定的解题经验.其中有一部分证明题可以利用数形结合的思想来解决，需要老师引起注意，提醒学生对这类题目一定要重点把握，尤其是这种解题思维更要熟记于心.例如，在总复习的过程中，很多同学都会练习到这样的题目：如图3所示，有一个正方形ABCD，过其顶点C任意作一条直线，并且分别与AB、AD的延长线交于点E和点F.求证：AE+AF≥4AB.

乍一看题目，给出的是图形，却要我们证明数量关系，很多同学都会觉得无从下手.但是如果同学们仔细分析，就可以发现需要在数的方向进行求解.根据题意，这是一道证明数量关系的题目，所以我们要选择从“数”的方面下手.首先设AB=a，AE=m，AF=n，再连结AC.由图可知，三角形AEF的面积为三角形AEC和三角形AFC二者之和，由此可以列出式子，即12mn=12am+12an，所以mn=a（m+n）.接下来，我们可以设m+n=p，而mn=ap，所以m和n是方程x2-px+ap=0的两个根.再加上m和n肯定为实数，并且p>0，所以Δ=p2-4ap≥0，即p≥4a，所以m+n≥4a，这样AE+AF≥4AB就得到了证明.

这道题目与之前的两道题就有明显的不同，前两道题目都是在“数”的方面的进行分析比较难以下手，所以选择以“形”为突破口.而这道题则是直接在“形”的方面进行分析难以下手，进而才选择在“数”的方面作为突破口.这就是数形结合思想在解题中应用的两种方式，需要同学们都能够掌握清楚.

本文主要讨论数形结合思想在不等式、函数以及几何问题中的应用情况，需要老师引导学生对数形结合的思想有一个正确的认识.在解题过程中，注意培养学生养成良好的学习习惯，让学生形成正确的惯性思维，使其能够为自己的解题提供方便.