如何建立正确的图形表象

任宁

【摘 要】学生对几何形体特征的理解，对周长、面积、体积的计算，往往是离开了这些几何实体，而依赖于头脑中对物体的形状、大小和相互位置关系的形象的反映，这就要求学生具有一定的空间观念，因而在“图形的认识”教学中，帮助学生形成正确的空间表象尤为重要。以“圆的认识”教学为例，通过有针对性的前测活动，关注学生的已有活动经验，使学习过程能够更加贴合学生的学习路径，通过别具匠心的环节设计，引导学生通过观察比较，建立正确的图形表象，借助操作感知，把握圆的本质内涵。

【关键词】圆的认识 图形表象 本质内涵

一、“圆”是什么

（一）教材中的圆

关于圆的严格定义，有一些不同的表述形式，以下列举两种初中教材中圆的定义。静态定义：在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。

小学教材一般没有对圆下严格的定义。以常见的三种版本的教材为例，人教版（见图1）和苏教版（见图2）教材都是直接出示了生活中一些圆形的物体图案（摩天轮、水波纹、光盘、钟面等）引出圆；北师大版（见图3）教材是通过判断“哪种套圈游戏最公平”，凭学生已有的生活经验（每个人到中心的距离相同）引出圆。

（二）学生眼中的圆

“圆”是生活中较为常见的几何图形，但是在生活中，“圆”常常不以本来面目示人。对于低段学生来说，从小就被告知太阳是圆的、地球是圆的，然后就逐渐把“圆”和“球”混淆在一起。后来，又被告知硬币是圆的、纽扣是圆的，又混淆了“稍扁的圆柱形物体”和“圆”。而对于高段学生来说，经常会有老师在教学“分数的认识”的时候，拿着一张圆形纸片说：“把这个圆平均分成……”这时，又把“圆面”和“圆周”混为一谈（虽然圆形纸片严格意义上来说是圆柱形，但这里姑且先看作圆面）。以上这些认识误区都在笔者的预料之中，但也有意料之外的发现，笔者对本校50名学生进行了前测，有22名学生认为椭圆也是圆，经过访谈得知，他们的理由类似于“鲸鱼是鱼，那么椭圆就是圆”。

综上所述，虽然学生对圆非常熟悉，但是熟悉之中却有很多陌生之处，也有很多误解。因此，笔者认为“圆的认识”一课应该重点关注以下两个方面的内容：通过观察比较，建立正确表象；借助操作感知，把握圆的本质。

二、“圆”怎么教

（一）处处渗透，充分对比，建立正确图形表象

1.“圆周”or“圆面”

对于六年级的学生来说，“球”和“圆”的区别自然已经不是问题，但对圆是一条“封闭曲线”还是一个“圆面”这个问题却仍然模棱两可。因此，在本课中应该适时地向学生渗透“圆是一条封闭曲线”这一事实。

【片段一】

课件出示一些生活中的物体（如图4：奔驰车车标、车轮、硬币、方形钟面）。

师：我们已经认识了怎样的图形是圆，那你能在这些图形中找到圆吗？

学生上台用教鞭指一指每个图形中的圆在哪里。

……

最后课件隐去实物图形，留下圆的几何图案。

就像小学阶段的大多数数学概念一样，圆的概念不直接进行定义，而是采用直观描述的方式直接告诉学生：像这样的图形就是圆。由于是直接从常见的物体中引出几何图形，那么从实物到图形的抽象过程是必不可少的。特别是本例中的硬币，学生在之前可能会以为硬币就是一个圆，而在隐去实物图留下几何图形之后，才能让学生进一步认识到硬币的轮廓线是圆，从而对圆这种图形有更加科学的认知。

在小学教材里对于直径一般是这样进行定义的：通过圆心并且两端都在圆上的线段。可是教材对于什么是“圆上”却没有进行告知。对“圆上”的理解实则有助于学生进一步区分“圆周”和“圆面”，因此我们可以在学生学习直径、半径时予以渗透。

【片段二】

师：（出示图5）哪些是半径？哪些是直径？（生答略）

师：为什么这些不是呢？

生：这条OB的端点没有在圆上。

师：你能来指一指圆上在哪里吗？（生指圆周）

师：B这个端点不在圆上，那是在哪里呢？

生：圆内。

师：那这条GH呢？

生：H这个端点在圆外。

师：是啊，圆的半径是一条线段，有两个端点，其中一个在圆心，另一个在圆上。

师：那么这条MN为什么不是直径呢？

生：因为它没有通过圆心。

由于生活经验的负迁移，许多学生都会误认为圆周内的部分就是“圆上”。本环节让学生结合直径、半径的定义自主区分圆上、圆内、圆外，进而再次明确“圆是一条封闭曲线”的事实。

2.“静态”and“动态”

如文始所述，圆的定义有静态和动态之分。对于小学生来说，自然不必知晓这两种定义的文字描述，但是我们可以在具体的学习环节中让学生感悟两种定义的区别。

【片段三】

课件出示一些生活中的物体（奔驰车车标、车轮、硬币、方形钟面）。（同片段一）

……

师：（指着方形钟面）这里有圆吗？

生：没有。

生：有的，如果分针转动一圈就会形成一个圆。

师：大家能想到他说的圆吗？请你上来指给大家看。

生：（用手势指出分针转动后针尖所经过的轨迹）这就是圆。

师：（课件演示分针的动态，抽象出圆）太厉害了，连这样隐藏的圆都被你找到了。

静态的圆容易感知，动态的圆不好发现。为了指向性更加明确，这里特意设计了方形的钟面，逼迫学生排除钟面形状的干扰从另外的角度去寻找圆，进而利用课件动画演示分针转动形成的圆，让学生直观理解动态定义的圆——“在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形。”在这里渗透圆的动态定义，让学生通过观察发现随着针尖的转动慢慢形成一个圆，向学生传达了“圆是点的集合”这样一个本质，对于学生建立正确的图形表象大有裨益。

3.“规范”+“严谨”

学会画圆是本节课的重要目标之一，在六年级学习画圆之前，学生在生活中已经大量接触过画圆，会用圆形物体的边沿画圆，但是也会有一些认识上的误区，需要纠正，以帮助学生形成正确规范的表象。

【片段四】

师：我们知道了圆是这样的封闭的曲线图形，那么怎样才能把圆画出来呢？

课件依次出示前测结果：

（1）用圆形物体画。

师：怎么用圆形物体来画圆？

生：比如拿一个茶杯盖子，用铅笔描着画圆。

师：大家以前画过吗？

生：画过。

（2）用量角器来画。

师：（出示一个量角器）这个能画圆吗？ '生：把两个量角器合起来就可以画了。

师：（课件出示两把量角器，如图6）这样能画出一个圆吗？请你试一试。

生：不行，要把中间那些空白的部分去掉。

在这里设计“用量角器画圆”环节，是基于学生的学情。在前期的试教过程中，经常有学生提及用量角器画圆，在部分学生的印象中，量角器就是一个半圆，合起来自然是一个圆了。因此，这里有必要通过学生亲自动手尝试和课件的演示纠正这个错误的认知，使学生感悟数学的严谨性。

（二） 操作感知，切换表象，把握圆的真正本质

1.不同画法，抽象本质

在学生没有学习本课之前，基本都知道用圆规能够画圆（虽然不一定画得规范正确），但是很少有接触过用钉绳工具画圆。而钉绳工具画圆的方法能够更好地帮助学生理解圆的两个要素——定点、定长，以及直观地看到“半径”——绳子，通过两种画法的对比，可以使学生头脑中的图形表征得以显性化，充分体悟圆的本质。

【片段五】

课件出示两种画圆方法的图（如图7）。

师：想一想，刚才用这两种方法画圆的过程有什么一样的地方？（生独立思考，同桌交流）

生：在画圆的时候，都有一个点要固定住。

师：这个点在用圆规画圆时是——针尖；在用钉绳工具画圆时是——磁钉。

生：还有这段距离不能变。

师：这段距离在用圆规画圆时是——针尖到笔芯的距离，在用钉绳工具画圆时是——绳子的长度。

师：是啊，通过两种画圆方法的比较，我们知道了画圆就是要先“定点”，再“定长”。（板书：定点、定长）

在比较两种看似不同实则相似的画圆方法的过程中，学生通过观察分析、归纳概括，沟通半径、圆心和画图工具之间的联系，找到了画圆方法的本质——定点、定长。在后续的练习中，也会出现这样的题目——“画一个直径为4cm的圆，那么圆规两脚间的距离是（ ）”，让学生在静态的图像和动态的操作间反复切换，以此来进一步巩固学生对圆的认知，为更好地理解圆的相关知识奠定了基础。

2.细节纠偏，巩固本质

用圆规画圆是最基本的方法，每个学生必须学会。在成人眼中轻而易举的事情，在学生手中却并不如此。在前测中发现学生在操作圆规的时候总有各种各样的问题存在，合理利用学生的典型错误，可以巩固对圆的本质的认知。

【片段六】

学生独立尝试用圆规画几个不同的圆。

师：（出示前测中具有代表性的画得不好的2个圆，如图8）你认为画成这样的原因是什么？

生：第一个是在画的时候，针尖动了一下，所以画不好了。

师：那说明在画圆的时候，针尖——不能动。（板书：针尖固定）

生：第二个是在画的时候圆规的两个脚动了一下。

师：你能上来给大家演示一下是怎么动了一下吗？（生动手演示）

师：圆规的脚这样动了一下，也就是说——圆规两脚间的距离发生了变化。那么在画圆的时候，我们要做到圆规两脚间的距离不能变。（板书：距离不变）

师：（示范用圆规画圆，讲解要点）先在纸上找一个点，用针尖固定，两脚分开一定距离，圆规稍微倾斜，右手捏住把柄旋转一周。

学生再次模仿画圆。

在掌握了用圆规画圆的基本方法后，总能发现学生还会出现错误。笔者基于学生多次画圆的操作经验，回顾前测中出现的问题，通过讨论和分析，发现圆规画圆过程中的问题症结所在，进而再次强化对圆的本质认知，反过来可以规范画圆的方法。

3.首尾呼应，内化本质

在一些学生的已有经验里，“圆”就是光滑的曲线，因此在前测中有超过四成的学生认为椭圆也是圆，以致在课的一开始就出现了“椭圆是特殊的圆”还是“圆是特殊的椭圆”的争论。

【片段七】

师：（课件出示前测数据，如图9）全班所有学生都认为第二个图形是圆，有22人认为第一个图形是圆形。你有什么想法？

生：第一个是椭圆，不是圆。

师：认为是椭圆的同学有什么想法？

生：椭圆也是圆，是一种特殊的圆。

师：（对认为椭圆不是圆的学生）那你们为什么认为椭圆不是圆呢？

生：……

师：（板书课题）今天我们学了圆，就会知道答案了。

根据访谈了解，认为“椭圆也是圆，是一种特殊的圆”的学生，他们是从字面上去理解的，类似于“鲸鱼也是鱼”的思路，并没有真正去思考两者之间的关系。课始，很难向学生解释这个问题，不如暂时搁置，以期后续解答。

在北师大版的教材中，下图这个套圈游戏用在课的引入环节，这里笔者把它用作课后的练习，来呼应前测中学生的认识误区，巩固学生对圆的本质认知。

【片段八】

师：（出示图10）你认为哪种比赛方式最公平？能用刚学的知识来解释吗？

生：第三种，因为这种方法比赛的时候，每个人和中心的距离都是一样的。

师：（课件演示圆心到圆上的距离相等）这就是墨子说过的“一中同长”，你能说说一中同长指的是什么吗？

生：一中就是指圆心，同长就是指半径或者直径。

师：现在你能来跟那22位同学解释一下为什么椭圆不是圆了吗？

生：因为它的半径不是一样长。

师：假如说椭圆是有半径的，在哪里？（课件出示若干条从椭圆的中心点到椭圆上的线段）一样长吗？

生：不一样长。

师：如果是圆的话，那么这些线段应该是一样长的。

通过直观的游戏，让学生再次巩固圆的本质——到定点的距离等于定长的点的集合，从而与课始的问题首尾呼应，解决了部分学生的疑问，也让学生充分感受到了数学和生活的紧密联系，从而提高学习数学的兴趣。

“圆的认识”这节课已经进行了很多不同角度的研究，一千个教师就有一千种不同的上法，不同的教学设计承载了各自不同的教学意图和教学目标，精彩纷呈，各有所长。本课中，笔者通过有针对性的前测活动，关注学生的已有活动经验，使学习过程能够更加贴合学生的学习路径，通过别具匠心的环节设计，关注知识的本质，使学生形成正确的图形表象，进而深入地感悟概念的内涵。

（浙江省奉化市莼湖镇中心小学 315500）