高中数学解题教学中的“度”与“悟”

吴健

摘要：解题教学是高中数学教学的重要内容，是培养学生分析、思维、计算能力的主要途径。讲与练是解题教学的两个有效手段，懂与会是教学目标的两个层次，尽管“教之道在于度，学之道在于悟”是人尽皆知的至理名言，但如何把握讲与练之“度”？怎样达成懂与会之“悟”？这两个问题却着实难住了不少师生，且看本文作者有何见解。

关键词：解题教学；讲与练；懂与会；一题多解；解题反思

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）05-075-2

如果说“问题”是数学的心脏，那么“解题”就是数学的灵魂。解题教学自然是数学教学中最重要的内容之一。教之道在于度，学之道在于悟。章建跃先生在《数学教育心理学》中指出“有效教学的精髓应是培养学生的数学悟性”，然而在平时的教学中，如何把握教之“度”，从而促进学之“悟”已然成为许多老师纠结的一项课题，本文就这一问题谈谈个人的一丝看法。

一、讲与练之“度”

讲与练是解题教学的双翼。毫无疑问，解题教学中教师需要做“慢镜头”式的示范和讲解，学生则需要在思维的参与下顺畅听懂，在及时的练习中加以模仿，在不断的模仿中逐渐理解，在理解的基础上熟练运用，在运用的过程中领悟本质。这就是我们常说的“精讲多练”的内涵。至于具体到一堂课，究竟讲多长时间、练多长时间，不好一概而论。一般而言，学生基础差、能力弱的，课堂上可能就要多讲一点，反之则可以少讲一点。同样的道理，困难的问题课堂上要多讲一点，容易的问题课堂上就少讲一点；知识方法形成阶段多讲一点，巩固阶段就少讲一点。讲的最低要求是学生能够“听懂”，衡量是否“听懂”的标准是会不会“模仿”，这也是“练”的前提条件。

讲的关键在于解剖、暴露解法形成的思维过程，而不只是充当一个“熟练的演绎者”呈现完整的解题过程。

波利亚在“怎样解题表”中给出了一个宏观解题程序：弄清问题、拟定计划、执行计划、检查答案。具体地，我们可以把解题过程分解为以下的一串问题：

①它是一个什么范畴的问题？要解决什么问题？即“目标”是什么？

②现有哪些材料（条件）？有没有“潜在”的、“隐含”的条件？从题目的叙述中获取“符号信息”，从题目的图形中获取“形象信息”等。

③有哪些工具？条件与结论之间有什么联系？从已经学过的相关概念、定理、公式、基本模式和解题经验中提取。

④还缺少（需要）什么？能否以现有的条件，在工具的助推下满足这个需求？

⑤在相关工具的作用下，从条件到结论，是否形成了一个和谐、缜密的逻辑结构？

⑥结论是否完备、纯粹？

上述过程的顺利实施既需要充分的知识储备、基本的经验积累，也需要丰富的联想、机智的策略。

例1 已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x2+（y-3）2=4相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N，求AM·AN的值。

讲解：

Q1：这是一个什么问题？——解析几何中的“直线和圆”的位置关系。

Q2：解析几何的本质是什么？——借助坐标系，用代数的方法解决几何问题。

Q3：“直线和圆”的位置关系中最关键的量是什么？——圆心到直线的距离。

Q4：本题要解决什么问题？——起点相同、方向相反的两个向量的数量积。

Q5：求两个向量的数量积有哪些办法？——a·b=|a|·|b|·cos（符号运算）；若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2（坐标运算）；结合图形对向量a，b做适当的“拆分”后再行运算（图形运算）。

Q6：本题宜选择哪个办法？——注意到在平面直角坐标系中，A点的坐标已知，只要求出M，N两点的坐标，即可用坐标运算求AM·AN。

Q7：本题还有哪些条件？M，N两点的坐标是否可求？怎么求？——注意到N点是直线l，m的交点，而直线m的方程已知，只需有直线l的方程，即可通过解方程组求得N点坐标，又直线l过点A，故可以设直线l的斜率（关注斜率不存在的情况）。M点是直线l被椭圆截得的弦的中点，在有直线l方程的条件下，可以通过解方程组，结合韦达定理求出M点坐标。

Q8：是否可以顺利实施？——

讲解题，追求的是方法形成的过程顺理成章、自然流畅，学生感同身受、跃跃欲试；而不是显示老师的功力神奇，总有巧妙的方法横空出世，让学生心悦诚服、顶礼膜拜，然后再进行牵强附会的解释、一招一式的归类。讲解题，就是引导学生奔着目标有序前进。

二、懂与会之“悟”

“上课听起来全懂，自己做的时候不会”是数学学习中普遍存在的现象，困扰着很多学生和家长，甚至也困扰着部分教师。这其中可能有老师讲的原因，即所谓讲的不得法、不到位，但更重要的原因是“懂”和“会”根本就是学习过程中的两个相距遥远的阶段，一个是学习的起点，一个是学习的终点，其间隔着几乎全部的学习过程，这个过程就是“悟”。所谓“悟”一定不是老师讲了几道例题之后跟学生说“你们去悟吧”这么简单。“悟”是在听懂的基础之上，在练习中模仿、模仿中理解，理解后运用、运用中反思，这么一系列思维活动所产生的结果。学生的悟需要有对象、有素材，这就是老师的讲；学生的悟需要有载体、有行动，这就是练习中的模仿、尝试、思考；学生的悟需要有过程、有空间，这就是练习中的理解、运用、反思。教师讲的太少，学生悟的素材就单薄，悟的结果就难免片面、肤浅；教师讲的太多，学生悟的空间就被挤压，难免导致思维固化、流于模仿。

解题反思是悟的核心过程，是学生对知识方法吸收内化的一个环节，是学习活动的一个高级阶段。什么时候反思？反思什么？怎么反思？我想可以从以下几个方面指导学生进行解题反思。

①对解题结果的反思。解题结果是否回答了题目的设问？解题结果是否和实际问题相吻合？推导的过程中是否改变了变量的范围？逻辑上有没有漏洞？讨论的范围是否完备？有没有遗漏什么条件、限制？等等。对解题结果的反思能使学生的思维更加严谨，同时也是解决“会而不对、对而不全”这个老大难问题的有效办法。

②对解题过程的反思。题目涉及到的知识点有哪些？它们是怎么联系起来的？解答的切入点在哪？关键点在哪？警戒点（易错的地方）在哪？还能用什么方法解（一题多解）？有哪些题也是这样做的（多题一解）；条件可以变变吗？设问可以改改吗？我们不必要求学生对每一道题都做如此这般的大动作，但也绝不能每一道题都做完就丢。

“一题多解”对于促进学生沟通知识点之间的联系，对于培养学生思维的开阔、灵敏、深刻、创新，即提升学生的思维品质，对于激发学生的学习兴趣，对于充分发挥一道题的教学功能等方面确有其价值。解题教学中虽不必刻意追求“一题多解”，但也不能以“问题解决”为唯一目标，而应该让自然生动的各种解法竞相呈现。在上例中，Q8之后，可以继续：

Q9：上述解答中，求M，N两点坐标的过程运算量较大，特别是求M点的坐标。能否回避M点的坐标？——由Q5知道，用符号运算和图形运算都有可能。

Q10：如果选择符号运算，注意到AM和AN方向相反，只需要求出它们的模即可求得数量积。求|AN|仍需要N点的坐标，但求|AM|可以由“垂径定理”结合“勾股定理”实现——因为M是PQ的中点，所以|CM|即为C到直线l的距离，|CM|=|k-3|k2+1，

有|AC|=10，所以|AM|=10-（k-3）2k2+1=|3k+1|k2+1；而|AN|=5k2+1|1+3k|，

所以AM·AN=|AM|·|AN|·cosπ=-5。

Q11：如果选择图形运算，那么需要考虑向量AM能否“拆分”成坐标比较容易求的若干个向量的和（差）呢？——注意到CM⊥AM，不难想到将AM“拆分”成AC+CM（垂直关系是在研究向量数量积时，进行拆分的一个“节点”）。

其实例还有一条“幽僻”的路，甚至可以回避N点的坐标：连结CA并延长交直线m于B（见下图），则有|AB|=510，直线CA的方程：3x-y-3=0，可见CA⊥m，所以三角形AMC和三角形ABN相似，得：|AM|∶|AB|=|AC|∶|AN|，|AM|·|AN|=|AB|·|AC|=5，

所以，AM·AN=|AM|·|AN|·cosπ=-5。这个方法看似简洁明快、无限风光，但是，它来的实在太突兀、太玄妙（怎么想到连结CA、怎么想到CA⊥m、怎么想到……），没有模仿的可能、没有举一反三的可能、没有任何启发意义，这一类奇思妙想的解法，我一直认为仅供欣赏，所谓平平淡淡才是真。此外，这个方法的关键知识点是相似三角形，已经完全背离了解析几何的本质，失去了作为一道解析几何题的价值。“多解”还是“一解”，不是选题和讲题的关键，选题要看题目是能否体现概念的本质，体现重要的思想方法；讲题要让思维充分暴露、学生全程参与、过程自然流畅、解法水到渠成。

③对解题规律的反思。某一章节的问题、某一类型的问题，其求解方法往往有其规律性。

解题反思需要空间，课堂要舍得“留白”为课堂反思提供空间，课后不布置过多的作业为课后反思提供空间。

“老师领进门，修行在个人”。“领”与“修”密不可分，“领”的得法，方能“修”成正果。教学的法与度，涵盖了教学艺术的全部，非本文所能尽述；即便是数学解题的教学，也涉及知识的广度、题目的难度、课堂的密度、设计的坡度等，很难穷尽；只希望能引领学生活跃在他们现有能力的最近发展区，实现他们潜力的最大发挥。学生的悟性并非与生俱来，需要在教学中让他们有鲜明生动的感受，引导他们去触及数学中某些本质的东西，以臻通透之悟，发挥无限创造。