到两点的距离和最短问题的应用

廖华彬

[摘 要]到两点距离和最短问题，在生产生活和学习中都有着广泛的应用。解决到两点距离和最短问题，在培养学生的“四基”、创新思维和应用数学解决实际问题方面有着不可替代的作用。

[关键词]矩离和最短；轴对称；最小值；应用

例1：如图1-1所示，直线l的同侧有A、B两点，在直线l上求作一点P，使AP+BP值最小。

[简析]这个问题，我们把它简称为“到两点的矩离和最短问题”。要求AP+BP最小值，很容易联想到“两点之间，线段最短”。如何使AP和BP在一条线上呢？可以尝试通过轴对称变换达到目的。

[略解]如图1-2，作点A关于直线l的对称点C，连接CB交直线l于P；则点P就是所要求作的点。这种方法，我们称它为“轴对称法”。

[略证]如图1-2，在直线l上另任取一点D，连接AD、CD、BD，根据“三角形两边之和大于第三边”易知，AP+BP值最小。

[概括]这道题可概括为一个数学模型：到一直线同侧两点矩离和最短的点，就是其中一点关于这条直线的对称点与另一点的连线和这条直线的交点。此模型是图形与几何中的到两点的矩离和最短问题，解这类问题的思想和方法在生产生活和学习中都有着广泛的应用。解决到两点距离和最短问题，在培养学生的“四基”、创新思维和解决实际问题方面有着不可替代的作用。

一、基础应用

例2：（2005南充中考题）点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，M、N分别是AB、BC边上的中点，MP+MP的最小值是（ ）

[简析]根据题意画出图2-1来，由图2-1很容易想到这实际上是在AC上求点P使到点M、N的矩离和最短；从而用轴对称法，由图2-2易求得MP+MP的最小值是1，所以选B。

例3：（2007湖北荆门中考题）如图1-1，要在河边 修建一个水泵站，分别向A、B两村送水，水泵站应修建在河边的什么地方，可使所用的水管最短？

[简析]这是生活中的一个实际问题，我们可以把它提炼概括为一个数学问题：实际上就是在直线 上求作一点，使它到点A、B两点的矩离和最小。因此我们可用“轴对称法”求解，如图1-2。

[小结]这些基础应用，不仅有利于学生掌握必需的数学基础知识与基本技能，更有利于学生数学思考、问题解决、情感态度等方面都得到发展。

二、拓展应用

例4：如图4，两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.

[简析]这是一个实际问题，需要把它转化为数学问题。经过分析，我们明白此题是要求作两点，使其与点P所围成的三角形的周长最小。于是我们很容易联想到“轴对称法”。

[略解]如图4，分别作点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2 ，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点。那么是不是最短的呢？我们可以用三角形两边之和大于第三边进行说明。

例5：（2011内江市中考模拟卷三）在直角坐标系中有四个点A（-8，3），B（-4，5），C（0，n），D（m，0），当四边形ABCD的周长最短时，m/n的值是

[简析]这实际上是要在坐标轴上求作两点，使它们与A、B两点所围成的四边形的周长最小。从而我们可以想到用“轴对称法”来解。

[略解]如图3，分别作点A、B关于横轴、纵轴的对称点M、N，连接MN分别与坐标轴交于点C、D。显然点M（-8，-3）、N（4，5），易求得直线MN关系式：y=2/3x+7/3，从而点C（0，7/3）、D（-7/2，0），因此m/n=-3/2。

[小结]这两道题都是一个两次应用轴对称变换的复合问题。到两点的矩离和最短问题的拓展应用，不仅促使学生对知识和技能的理解更加深刻，而且也鼓励了学生思维的创新。

三、综合应用

[解析]这是一个轴对称和平移的复合问题，也是一个关于到两点矩离和最短问题。我们观察发现，线段PN=2其值是确定的，可以将其平移；然后再通过轴对称变换，可求四边形PABN周长的最小值。

[略解]用轴对称法解：如图6-1，过B作BF∥x轴且BF=2，作点A关于x轴的对称点E，连接EF交x轴于P，在x轴截取PN=2。连接BN、AP，显然四边形PFBN是平行四边形。显然点E（1，3），F（2，-1），易求得直线EF关系式：y=-4x+7，从而点P（7/4，0），因此a=7/4。

也可用数形结合的方法解：由两点间的矩离公式可得四边形PABN的周长为 ，当 值最小时，四边形PABN的周长最小。如图6-2，作BD=1，过B作AB⊥BD，过E作DE⊥BD，使AB=3，DE=1，连接AE交BD于C，则BC=2-a，CD=a-1，线段AE= 的长即为代数式 的最小值。易知△ABC∽△EDC，从而有 ，解得a=7/4。

[小结]通过对到两点矩离和最短综合应用问题的解答，使学生了解所学过的数与代数、图形与几何知识之间的关系，加深对有关知识的理解；进一步体验发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程，积累数学活动经验，发展综合应用意识和能力。

通过对到两点距离和最短问题的应用，有利于学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程；有利于学生掌握必需的数学基础知识、形成必需的数学基本技能、领悟基本的数学思想、积累基本的数学活动经验；有利于培养学生应用数学的意识和创新意识；有利于学生在情感、态度与价值观等方面全面、协调地发展。