不圆满才是数学

刘东升

苏东坡的词：“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全.”南宋方岳诗句：“不如意事常八九，可与人言无二三.”季羡林先生在散文名篇《不完满才是人生》中写道.“每个人都想争取一个完满的人生.然而，自古及今，海内海外，一个百分之百完满的人生是没有的.所以我说：不完满才是人生.”然而就初中所学习的数学来说，我们也可以提出：不圆满才是数学.

大家在复习了三角形的定义、内角和、重要线段、全等三角形、特殊的三角形（等腰三角形、直角三角形）等知识后，那么对三角形的学习就画了一个圆满的句号吗？肯定不是.比如，三角形的角平分线的研究还可以继续拓展，可以链接到三角形的内心、内切圆；三角形的三边垂直平分线交于一点，又会与三角形的外接圆关联起来；类似的思考，还有具有挑战性的三角形三条高交于一点，该如何证明呢？再比如，从全等三角形出发，可以探究出很多有意思的结论，简化很多图形的性质与判定，全等也是探究四边形（特别是平行四边形）的工具，到矩形的对角线性质时，又可以反观直角三角形的斜边上的中线性质了！

直角三角形真是一种奇妙的图形，且不说被誉为“千古第一定理”的勾股定理，直角三角形在各个年级的几何章节中都会有它的身影，本期要复习的圆，有没有直角三角形的身影呢？回答当然是肯定的！比如，垂径定理的基本图形与直角三角形不可分离；圆周角定理的推论更是单列一条：直径所对的圆周角是直角；外接圆、切线、切线长都离不开直角三角形；到了初中几何最后阶段的锐角三角函数，更是把目光聚焦在直角三角形边角关系上.

这样来看，很难说我们真正弄懂了某个图形，穷尽了这个图形的所有性质，然而作为一种追求，对数学知识达到深刻理解总是“心向往之”的目标.

在1900年巴黎国际数学家大会上，“数学界的无冕之王”、德国著名数学家希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演，提出了23个最重要的数学问题.这23个问题成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用.这些问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决，然而希尔伯特的名言“我们必须知道，我们终将知道”却一直鼓励着人们前行.

诚然，中考复习阶段的“数学习题”不同于数学家眼中的“数学问题”，但是同学们在解题过程中表现出来的解答策略、严谨而优美的推理表达、攻克难题的柳暗花明、锲而不舍的坚持不懈，都使我们的数学能力得到训练与提升.

（作者单位：江苏省海安县城南实验中学）