说说相交与平行

田载今

直线与直线之间都有哪些位置关系？如何探究直线与直线之间的位置关系？我们还是请田老师来讲一讲吧，

几何学是数学的一个分支，它研究的是图形的形状、大小和位置.在几何学中，直线是一种最基本的图形，它没有确切的定义，只有描述性解释.一根拉得很紧的细线是产生直线概念的一个现实原型，但是几何学中所说的直线不计粗细，可以向两个方向无限延伸，显然它是在现实原型基础上经过提炼、加工、抽象而得到的产物，以直线为基础，可以定义射线、线段、角和多边形等.

1.两条直线的位置关系，

两条直线的位置关系，在研究直线时至关重要.

从直观到抽象是几何学发展的轨迹，也是我们认识图形的规律.我们先观察图1中的长方体，它有12条棱，可以想象，如果把每条棱都向两端无限延伸，就产生了空间中的12条直线，在这些直线中任选两条，它们或者有一个公共点（例如直线AB、AD有公共点A，直线AE、EF有公共点E），或者没有公共点（例如直线AB、CD，直线AB、HD）.

两条不重合的直线可能有不止一个公共点吗？不可能.“过两个点有且只有一条直线”是从实践中总结出来的公认的基本事实，两条不重合的直线最多有一个公共点，如果两条直线有一个公共点，那么它们的位置关系是相交.

没有公共点的两条直线，有两种位置关系：

（1）两条直线在同一平面内（例如我们在图1中想象出的直线AB、CD同在平面ABCD内），我们称这两条直线平行.

（2）两条直线不在同一平面内（例如我们在图1中想象出的直线AB、HD），我们称这两条直线异面.

由此可知，两条直线的位置关系有i种：相交、平行和异面.同一平面内的两条直线，只有两种位置关系：相交和平行.

2.两条相交直线所成的角，

如下页图2，直线AB、CD相交于点O，形成∠AOC、∠AOD、∠BOC和∠BOD这四个以点O为顶点并且都小于180°的角，其中，相邻（有一条公共边）的两个角互为邻补角，不相邻（无公共边）的两个角互为对顶角.邻补角之和为180°，对顶角相等.在这四个角中，不超过900的角叫作两条直线的夹角.夹角的大小可以反映两条相交直线的相对位置.

如下页图3，同一平面内的两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，在两个交点处形成八个角，我们称这个图形为“三线八角”.这些角按位置关系分有同位角、内错角、同旁内角等，例如下页图3中，∠1与∠5是同位角，∠2与∠6是同位角（同位角分别位于两条被截线的同一方，且都在截线的同侧）；∠1与∠7是内错角，∠4与∠6是内错角（内错角都位于两条被截线之间，且分别在截线的两侧）；∠1与∠6是同旁内角，∠4与∠7是同旁内角（同旁内角都位于两条被截线之间，且都在截线的同侧）.

3.平行线的判定.

如图4，在一张纸上，已画出一条直线a，请你再画出一条直线b，使直线b经过直线。外的一个定点P，且a∥b.

首先，我们要考虑这个画图要求能否实现，

人们通过长期的观察和画图实践，总结出一个基本事实（平行公理）：经过已知直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行.由此可知，上述画图问题中的直线b存在，并且是唯一的，

其次，我们要考虑怎样画出直线b.

直线无限长，而我们在纸上只能画出直线有限长的一部分，只凭两条直线画出的部分不相交，就能确定它们延伸后也不相交吗？显然，我们不能仅考虑这两条直线，而要借助与这两条直线都相交的第三条直线，通过它们形成的角解决问题.

一种具体画法：如图5，把一块三角板T的一条直角边放在直线a上，用一把直尺c紧贴三角板T的斜边，固定直尺c的位置，沿直尺c移动三角板T，使三角板T先前在直线a上的直角边经过点尸，沿这条直角边画出直线b.

上述画法的依据：由平行公理可以推出“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”，这就是判定直线平行的方法1：同位角相等，两直线平行.

利用这一方法，再结合对顶角、邻补角的性质，就可以推出另外两种判定直线平行的方法.

方法2：内错角相等，两直线平行.

方法3：同旁内角互补，两直线平行.

上述三种方法都从角的方面给出了判定直线平行的条件，我们可以根据具体问题选择其中最便于使用的方法.由此可以看出讨论“三线八角”的必要性.

4.平行线的性质，

由同位角相等或内错角相等或同旁内角互补可以判定两条直线平行，这是平行线的判定，反过来，如果已知两条直线平行，那么除了知道它们不相交，又能得到关于角的什么结论呢？也就是说，平行线有哪些性质呢？

平行线的几个主要性质：

性质1：两直线平行，同位角相等.

性质2：两直线平行，内错角相等.

性质3：两直线平行，同旁内角互补.

我们对性质l进行证明.

如图6，已知a∥b，求证∠1=∠2.

证明：假设∠1≠∠2，则过∠1的顶点p可作直线d，使直线c、d之间形成与∠2相等的同位角.由“同位角相等，两直线平行”，可知d∥b.于是过点P有两条直线a、d都与直线b平行，这显然不符合平行公理.因此.前面的假设“，∠1≠∠2”不成立，即一定有∠1=∠2.

对比平行线的判定和性质，可以看出：“判定”是根据角相等或互补推出直线平行，“性质”是根据直线平行推出角相等或互补，“判定”与“性质”是互逆的，它们的条件和结论恰好互换.实际上，在“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”和“两直线平行”中，只要有一条成立，其余三条一定成立.反之，只要有一条不成立，其余三条也不会成立，也就是说，它们是等价的.