帮你学习垂直

陈德前

垂直是两条直线相交中的特殊情况，是中考中经常涉及的知识，同学们一定要学好它.

一、要抓住“三垂”的基本特征

“三垂”是指垂直、垂线、垂足，虽然它们都有一个“垂”字，都与直角有关，却有着很大的区别：（1）垂直，垂直是指两条直线的一种位置关系，即两条直线相交成直角.（2）垂线，垂线是一个名称，是指相交成直角的两条直线中的任意一条直线，且对此直线而言，少了另一条，垂线也就不复存在了.（3）垂足，垂足也是一个名称，是指相交成直角的两条直线的交点，它是一个点，如图1，AB和CD相交于点0.且有∠AOD=90°，那么AB与CD的位置关系是互相垂直，用符号AB⊥CD来表示.AB是CD的垂线，CD也是AB的垂线，D是垂足，

在理解垂直这个概念时，还必须注意以下几点：（1）不能认为只有水平线和铅垂线才互相垂直.两条直线是否互相垂直是由两条直线的夹角是不是直角决定的，而与两条直线的位置无关.（2）两条直线相交成直角，这两条直线就互相垂直；反之，两条直线互相垂直，这两条直线就相交成直角.这里要注意后者是两条直线互相垂直的性质，不能作为直角的定义.（3）互相垂直的概念可以扩大到线段或射线上.两条线段或射线所在的直线相交成直角，两条线段或射线就互相垂直.

例1如图2，∠1=53°，∠2=37°，CD与CE的位置关系是

.

解析：先求出∠DCE的大小，再判定CD与CE的位置关系.因为∠DCE=180°-∠1-∠2 =180°-53°-37°=90°，所以CD⊥CE.

点评：要判定两条直线是否垂直，就是要判定两条直线的夹角是不是90°.这是一个将形的判定转化为数的判定的过程，是数形结合思想的具体体现.

二、要熟练掌握垂线的两种画法

1.利用方格纸来画.利用方格纸可以画出互相垂直的线段.

2.利用三角板来画，利用三角板过一点画已知直线的垂线的一般步骤是：一靠（将三角板的直角边紧靠已知直线），二移（沿直线移动三角板，使直角顶点与已知点重合或使另一条直角边经过已知点），三画（沿另一条直角边作一条直线）.

三、要深刻领会垂线的性质

垂线具有如下性质：（1）互相垂直的两条直线形成的四个角都是直角.（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.

例2如图3，在铁路a旁有一城镇A.现在要建一火车站，为使城镇的人来往方便（距离最近），请你在铁路a上选一点建火车站，

解析：要使点到直线的距离最短，因为垂线段最短，所以考虑作垂线段.过点A向铁路a作垂线，垂足为B，则点占即为建火车站的地方，如图3所示，

点评：垂线与垂线段都具有垂直于已知直线的共同特征，但垂线是一条直线，不能度量长度，而垂线段是一条线段，可以度量长度，它是垂线的一部分.本题应用“垂线段最短”的性质来进行决策，充分说明了数学的实用性.

四、要正确区分两个易混淆的概念

垂线段与点到直线的距离是两个极易混淆的概念，要注意它们的联系与区别.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.必须注意：点到直线的距离是指垂线段的长度，即这点与垂足之间的线段长，它是一个数量，下列说法都是错误的：（1）垂线段是点到直线的距离；（2）画出点P到直线l的距离.

五、要会应用垂直的知识解决问题

例3下列说法中，正确的是（）.

A.-条直线的垂线只有一条

B.垂线段AO就是点A到直线PO的距离

C.两条直线相交，则交点叫作垂足

D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

解析：一条直线的垂线有无数条，A不正确.垂线段AO是图形，点A到直线PO的距离是数量，两者是不同的，B不正确.正确的说法是垂线段AO的长度就是点A到直线PO的距离.两条直线相交，不一定垂直，所以交点不一定是垂足，C不正确.D是正确的，因此选D.

点译：在应用垂直的有关知识解决问题时，一定要弄清概念，这样才能判断准确.

练一练

1.如图4，AB⊥CD，垂足为D，EF为过点0的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）.

A.相等

B.互余

C.互补

D.互为对顶角

2.如图5，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC.OE平分∠BOC.试问OD与OE有何特殊的位置关系，并说明你的理由.

参考答案：1.B 2.垂直，理由略.