巧用质因数

李向东

分解质因数是研究整数的一个重要方法，在实际问题中有着广泛的应用，且这类问题的灵活性大，趣味性强，探究这类问题的解法，对培养和提高解题能力具有重要的作用。

【例1】一袋糖有96颗，小明每次拿出的颗数相同，（不一次拿出，也不一粒一粒地拿出，）最后一次正好拿完。小明共有几种拿法？

【分析与解】小明每次拿的颗数与拿的次数的乘积等于96，将96分解质因数，根据96=1×2×2×2×2×2×3可知，两个自然数的积为96有6种情况：

1×（2×2×2×2×2×3）=1×96，

（1×2）（2×2×2×2）=2×48，

（1×2×2）（2×2×2×3）=4×24，

（1×2×2×2）（2×2×3）=8×12，

（1×2×2×2×2）（2×3）=16×6，

（1×2×2×2×2×2）×3=32×3。

由于“不一次拿出，也不一粒一粒地拿出”，所以第一种情况应该去掉。其余每个算式都可以看作两种拿法。如：4？4可以看作每次拿4颗，拿24次，也可以看作每次拿24颗，拿4次。因此，一共有10种拿法。

【例2】五（1）班同学植树210棵，每人植树的棵树相同。若从其他班调来5人，那么每人就少植1棵树。五（1）班同学有多少人？

【分析与解】因为树是210棵，210=学生人数×每人植树的棵树，所以学生人数是210的一个因数。我们可以把210分解成质因数：210=2×3×5×7。根据“210=学生人数×每人植树的棵树”应将210写成两个自然数相乘的形式。我们对210的因数进行适当组合可得到以下几种不同的情况：

210=2×（3×5×7）=2×105

210=（2×3）×（5×7）=6×35

210=（2×3×5）×7=30×7

210=3×（2×5×7）=3×70

210=5×（2×3×7）=5×42

210=（5×2）×（3××）=10×21

210=（7×2）（3×5）=14×15

210=1×210

再由题意“若从其他班调来5人，那么每人就少植1棵树”可知，变化后一个因数比原来大5，另一个因数比原来小1。根据这个条件，我们可以从以上几种形式中找出符合题意的两种：210=6×35，210=30×7。其中比另一个因数小5的数就是学生的人数，即五（1）班同学有30人。

【练一练】

1.四个连续自然数之积是360，其中最大的数是几？

2.四年级某学生参加数学竞赛，他获得的名次、他的年龄、他得的分数的乘积是2910。这个学生得第几名？成绩是多少分？