基于帝国主义竞争算法的结构模态参数识别

邵永亮，胡　皞，常　军

（苏州科技学院土木工程学院，江苏苏州215011）



基于帝国主义竞争算法的结构模态参数识别

邵永亮，胡皞，常军

（苏州科技学院土木工程学院，江苏苏州215011）

摘要：结构模态参数（包括频率、振型和阻尼）识别，是结构健康监测与结构状态评估的核心内容。帝国主义竞争算法（ICA）作为一种新颖的智能算法，已成功应用于许多复杂的优化问题中。ICA识别结构模态参数的实质是通过最小化包括所要识别的模态参数的结构输出理论公式和结构现场输出之差，将结构模态参数识别问题转化成优化问题。最后采用一个三层框架和一个简支梁数值模型对该方法进行验证。结果表明，帝国主义竞争算法可以有效识别结构模态参数，且识别精度较高。

关键词：帝国主义竞争算法；结构模态参数识别；环境激励

结构模态参数识别在土木工程中的应用，特别是在健康监测、结构无损评估以及结构控制等领域中发挥着越来越重要的作用。因此，越来越多的分析方法被应用于结构模态参数识别中。传统的参数识别方法，如极大似然法[1]、最小二乘法[2]等，大都是根据实验条件下的频响函数进行的，它需要同时知道激励和响应信号，但在许多实际工程中，特别是对于一些大型结构，无法知道激励，所以直接通过结构响应数据识别模态参数引起了高度重视[3-5]。目前，许多研究者将智能优化算法引入输入未知的结构参数识别中，提出了基于人工智能优化算法的参数识别方法。到目前为止，优化算法已经提出多种，包括Holland教授提出模拟自然界遗传机制和生物进化论而形成的遗传算法[6]；Eberhart和Kennedy博士源于对鸟类捕食行为的研究而提出的粒子群算法[7]等，都属于自然启发计算的一个分支，即生物启发算法，而帝国主义竞争算法则属于自然启发计算的另一个分支，即社会启发算法，它是基于帝国主义殖民竞争机制的新优化算法。

帝国主义竞争算法（ICA），是由Atashpaz-Gargari和Lucas于2007年在对基于人口数量最优化算法的著作中提出的一种智能算法[8-9]。在算法中，每一个个体都被定义为一个国家，所有的国家又被分为两类，即帝国主义国家和殖民地国家。帝国主义国家为最初阶段人口数量有优势国家，而剩下的国家为受帝国主义国家统治的殖民地国家。每个国家的力量被用来指明它的健康程度。在该算法的反复运行过程中，帝国之间通过相互竞争获得尽可能多的殖民地以提供自己的综合实力，而力量薄弱的帝国将逐渐失去它们的殖民地。当所有的殖民地都被一个帝国占领的时候，该算法结束。本文通过将参数识别问题转化为一个多维优化问题，利用ICA解决该优化问题，进而识别出结构模态参数。

1　帝国主义竞争算法（ICA）概述

帝国主义竞争算法的步骤如下。

1.1产生初始帝国集团

ICA中的优化对象为国家，类似于遗传算法中的染色体。在一个n维的优化问题中，每个国家就是一个1×n向量，则第i个国家表示为向量形式如下：

为了评价每个国家的势力大小，在优化过程中找到最优解，引入成本函数的概念，则第i个国家成本函数的计算形式如下：

f（Ki）=f（k1，k2，k3，…，kn）（2）式中，k1，k2，k3，…，kn代表一些能够决定一个国家势力大小的因素，例如：文化、语言和习惯等。

国家的势力大小都是通过成本函数来衡量的。国家势力大小与成本函数值成反比，即成本函数值越小，国家势力就越大。假设所有国家数为Npop，其中势力较大的Nimp个国家被选为帝国主义国家，剩下来的Ncol个国家作为殖民地国家。

一个帝国集团包括一个帝国主义国家和其所统治的若干殖民地国家，而每个帝国集团所拥有的殖民地是根据帝国主义国家的势力大小随机分配的。引入标准化成本值Cn，第n个帝国势力占总势力的比例可以用下式表示：

其中，Cn满足Cn=cn-max{ci}，cn表示第n个帝国的成本函数值，max{ci}表示所有帝国的成本函数最大值，m表示帝国的数量。所以，第n个帝国所能分得的殖民地国家可以表示为

yn=round（pn×Ncol）（4）

第n个帝国和其所分得的yn个殖民地组成了第n个帝国集团。以此类推，生成初始的帝国集团。

1.2帝国同化其殖民地

帝国主义国家同化殖民地国家可以用下图1来表示：在ICA同化过程中，d为某个帝国集团中帝国和其中一个殖民地国家的距离，帝国同化殖民地可以描述为殖民地国家沿着自身和帝国的连线方向随机移动一段距离x，且x满足以下均匀分布：

x～U（0，β×d）（5）

式中，β是一个大于1的数，一般取2，为了使算法的搜索范围扩大，引入一个随机的角度偏移量θ，且θ也满足均匀分布如下：

θ～U（-γ，γ）（6）

式中，γ一般取π/4。

图1　帝国主义国家同化殖民地国家示意图

1.3交换殖民地和帝国的位置

每次同化完之后，殖民地国家的位置就会发生变化，当殖民地国家处在一个成本函数值小于其帝国主义国家的位置时，那么它们之间就要交换位置，即成本函数值较低的殖民地变为帝国，帝国变为殖民地国家。下一次迭代时，算法将会按照交换之后的帝国和殖民地关系进行运算。

1.4计算帝国集团的总成本

一个帝国集团总的势主要由它本身的势力构成，但是它所统治的殖民地国家对其势力的影响也是不可忽略的。为此，可按照下式计算一个帝国集团的总成本函数值。

式中，tn表示第n个帝国集团的总成本，cn代表帝国集团中帝国的成本函数值，后一项代表帝国集团中所有殖民地国家成本函数值的均值，其中f（Ki）表示第i个殖民地国家的成本函数值，yn表示第n个帝国集团中殖民地国家的数量，系数ξ是一个小于1的数，一般情况下，取0．1。

1.5帝国集团之间相互竞争

在帝国集团之间的竞争过程中，每个帝国集团都试图占领并控制其它帝国集团的殖民地国家。这就导致了在竞争过程中强国更强，弱国更弱。帝国竞争中，一般先选出所有帝国集团中最弱的一个，接着其它帝国集团就通过竞争逐渐去占领它。在这个过程中，基于各自的力量，每个集团都有占领最弱帝国的可能性。

为了开始这个竞争过程，首先最弱帝国集团的一个殖民地被挑选出来，并确定每个帝国占领的可能性。第n个帝国集团占领的可能性可以用Pn表示，为了计算该可能性，引入第n个帝国集团标准化总成本的概念，用Tn表示，它与第n个帝国集团总成本tn的关系为

Tn=tn-max{ti} （8）

式中，max{ti}表示所有帝国集团总成本的最大值。根据以上说明，定义Pn为

为了将殖民地国家按势力大小按比例分配给相应的帝国集团，引入一个向量P，形式如下

P=[P1，P2，P3，…，Pm]（10）

接着，又引入一个与P向量同规格的向量R，形式如下

R=[R1，R2，R3，…，Rm]，R1，R2，R3，…，Rm～U（0，1）（11）

最后，构建出一个向量D，通过向量P减去向量R，形式如下

D=P-R=[D1，D2，D3，…，Dm]=[P1-R1，P2-Rd，P3-R3，…，Pm-Rm]（12）

式中，向量D中最大元素值所对应的帝国集团即会占领上述最弱殖民地国家。

1.6淘汰无殖民地的帝国

经过一定次数的迭代，如果出现某个帝国集团的殖民地都被其它帝国集团占领，那么即可认为该帝国集团灭亡，其它帝国集团占领淘汰帝国集团的殖民地后继续进行竞争。

1.7算法收敛

经过一定次数的迭代运算，除了一个最强大的帝国集团之外，其它帝国集团均灭亡，并且除了那个最强大的帝国之外，其它国家均成为它的殖民地，所有的国家均处在一个相同位置上，此时得到的位置就是问题的最优解，算法终止。另外一种情况，就是当算法达到预先设定的最大迭代次数的时候，算法也终止。

2　ICA识别结构模态参数

误差，建立目标函数，该目标函数中包括了所要识别的结构模态参数。利用ICA寻找使得目标函数最小的结构模态参数，即可识别出结构的模态参数[10]。不失一般性，设y（t）为k个自由度粘性阻尼系统的结构振动响应，其数学表达式为

式中，yi（t）为结构振动响应输出，Ai为振动幅值，ωni、ωdi分别为无阻尼固有圆频率和有阻尼圆频率，ξi为阻尼比φi为初始相位角，t为时间变量。其中有阻尼圆频率ωdi满足：

文中将采用均方误差函数作为ICA的成本函数，表达式为

式中，y赞（t）为预测模型的输出，‖·‖表示矢量的欧几里德范数，θ为需要估计的结构参数，T为采样时间终点，F（·）即为优化目标函数，形式上，优化问题要求找到一个向量θ∈Rn以满足某种质量判据，即使得误差范数F（·）最小化。F（·）被称为评价函数或目标函数[11]。在ICA中，一般是利用成本函数值来评价结果的好坏。因而结构参数识别问题可以描述成一个线性约束、多维非线性优化问题，表达式为

其中，θmax，i和θmin，i分别表示第i个待识别参数取值的上下限。

3　数值算例

为了验证ICA识别结构模态参数方法的有效性，文中对一个三层框架结构和一个8单元简支梁结构在自由振动响应和环境激励两种情况下进行结构模态参数识别。

3.1自由响应下三层框架的结构模态参数识别

已知一个三层框架结构模型，见图2，模型结构响应信号为自由振动响应信号，采样频率为100 Hz，时间为10 s，模型采用瑞利阻尼模型C=αM+βK，设一、三阶阻尼比为0.5%，则第二阶阻尼比为0.433 9%，模型的质量和刚度如表1所示。

图2　三层框架模型

表1　三层框架模型物理参数

为了测量结构识别振型与理论振型的准确度，采用模态置信准则（Modal Assurance Criterion, MAC）作为衡量标准[12]。MAC的表达式为

从表2及图3的识别结果可以看出，三层框架的各阶模态参数识别值和理论值的误差均非常小，且各阶MAC值均无限接近于1，由此得出运用ICA识别自由响应下的结构模态参数是可行的，并且精度较高。

图3　三层框架振型识别图（自由响应）

3.2环境激励下三层框架的结构模态参数识别

环境激励下所用到三层框架与自由响应的相同，如图2所示，在每层节点处施加有MATLAB程序产生的白噪声模拟环境激励，并在三个节点处采集加速度信号，采样频率为100 Hz，采样时长为50 s。

对于环境激励下的结构模态参数识别，可通过互相关取段，将整个响应信号转化成一个近似于自由响应下的响应信号，接着利用ICA进行迭代运算，找出最优值。对比自由响应识别结果表2和环境激励识别结果表3可以发现，环境激励信号的识别结果比自由响应稍低，究其原因还是因为环境激励的激励信号成分复杂，经过互相关之后的信号与原信号偏差更大。虽然环境激励下结构模态参数识别结果比自由响应低，但从表3及图4可以发现，总的来说，ICA识别模态振型和频率精度还是挺高，即使阻尼的识别精度不高，但还是在可接受的范围内。

表3　结构模态参数识别结果（环境激励）

图4　三层框架振型识别图（环境激励）

3.3自由响应下简支梁的结构模态参数识别

如图5所示，建立一简支梁模型，模型采用两端简支的钢板矩形梁，截面尺寸为26 mm×10 mm，梁长为3 m，材料为Q235钢。模型的惯性矩2.167E-9，弹性模量2.06E5 MPa，密7 850 kg/m2度。梁被均匀分成8段并在节点处编号，在梁的节点1到节点7处布置7个加速度传感器，模型结构激励信号为自由振动响应信号。采样频率f=1 000 Hz，响应信号时间10 s，阻尼按照Rayleigh阻尼，第1阶和第6阶阻尼比设为，其余按公式计算，第二到第五阶阻尼比分别为0.699 1%、0.694 6%、0.974 3%、1.417 2%。

图5　简支梁结构模型

从表4及图6的识别结果可以看出，简支梁的频率和振型识别精度高，虽然阻尼比识别误差较大，但是实际工程中很少用到。由此得出运用ICA识别自由响应下的结构模态参数是可行的，并且精度较高。

表4　结构模态参数识别结果（自由响应）

图6　简支梁振型识别图（自由响应）

3.4环境激励下简支梁的结构模态参数识别

环境激励下所用的简支梁与自由响应的相同，如图5所示，沿梁上1到7节点布置7个加速度传感器，并在7个位置施加稳态白噪声激励。采样频率f=1 000 Hz，响应信号时间50 s，阻尼按照Rayleigh阻尼，第1阶和第6阶阻尼比设为，第二阶到第五阶阻尼比为0.699 1%、0.694 6%、0.974 3%、1.417 2%。

从表5及图7的识别结果可以看出，振型识别结果中第一阶稍差，MAC为值98.9%，原因是环境激励下采集的原信号虽说经过互相关取段，但与自由响应信号相比，原信号的自由衰减不如自由响应那么规律，导致部分参数在算法拟合过程中寻不到最优值。除此之外，环境激励下简支梁的频率识别结果较好，满足实际工程应用要求。综上所述，ICA在实际环境中的结构模态参数识别是可行的，且精度高。

表5　结构模态参数识别结果（环境激励）

图7　简支梁振型识别图（环境激励）

4　结论

将结构的模态参数识别问题转化成一个最优化问题，利用一种新型的智能优化方法——帝国主义竞争算法对最优化问题进行最优值搜索，进而得出结构模态参数的识别值。通过数值模拟，得出以下结论：

（1）新型智能算法ICA具有收敛速度快，稳定性高的优点，并且在识别结构模态参数时有很高的精度；

（2）虽然环境激励下的响应信号经过互相关过程处理可近似于自由响应信号，但其模态参数识别结果精度还是不如自由响应，且简支梁在环境激励下的第一阶振型识别还存在问题，这些有待进一步研究；

（3）基于ICA的结构参数识别可为实际工程结构的参数识别提供参考依据，促进参数识别的实际应用。

参考文献：

[1] CAMPILLO F, MEVEL L.Recursive maximum likelihood estimation for structural health monitoring tangent filter implementations[C].Proceedings of the 44thIEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference（CDC-ECC’05）, Seville Spain, 2005.

[2] YANG J, PAN S, LIN S.Least squares estimation with unknown excitations for damage identification of structures [J].Journal of Engineering Mechanics, 2007, 133（1）：12-21.

[3]纪晓东，钱稼茹，徐龙河.模拟环境激励下结构模态参数识别试验研究[J].清华大学学报（自然科学版），2006，46（6）：769-772.

[4]张之颖，谭高铭，吕西林.环境激励下房屋建筑阻尼比的识别方法[J].西安建筑科技大学学报（自然科学版），2007，39（6）：767-772.

[5]续秀忠，华宏星，陈兆能.基于环境激励的模态参数辨识方法综述[J].振动与冲击，2002，21（3）：1-5.

[6] KENNEDY J, EBERHART R C.Particle swarm optimization [C].Proceedings of IEEE International Conference on Neural Networks, 1995:1942-1948.

[7] PERRY M J, KOH C G, CHOO Y S.Modified genetic algorithm strategy for structural identification[J].Computers and Structures, 2006, 84（8-9）：529-540.

[8] ESMAEIL Atashpaz-Gargari, CARO Lucas.Imperialist competitive Algorithm: an algorithm for optimization inspired by imperialistic competition [C].2007 IEEE Congress on Evolutionary Computation, 2007：4661-4667.

[9] BAGHERI A, RAZEGHI H R, GHODRATI A G.Detection and estimation of damage in structures using imperialist competitive algorithm[J].Shock and Vivration, 2012, 19（4）：405-419.

[10]胡峰，吴波，胡友民，等.利用粒子群优化算法实现阻尼比和频率的精确识别[J].振动与冲击，2009，28（7）：8-11.

[11]榎本裕里，杨晓楠.粒子群优化算法在结构参数识别中的应用[J].结构工程师，2010，26（3）：78-81.

[12]曹树谦，张文德，萧龙翔.振动结构模态分析——理论、实验与应用[M].天津：天津大学出版社，2014：175-180.

通信联系人：常军（1973-），男，教授，博士，主要从事健康监测与振动控制研究，Email：changjun21@mail.usts.edu.cn。

（责任编辑：经朝明）

Structural modal parameter identification based on imperialist competitive algorithm

SHAO Yongliang, HU Hao, CHANG Jun
（School of Civil Engineering, SUST, Suzhou 215011, China）

Abstract：Structural modal parameters identification（including the identification of structural modal shape, frequency and damping ratio）is the key point in the structural health monitoring and structural condition assessment.Imperialist Competitive Algorithm（ICA）, as a novel intelligent algorithm, has been successfully applied in many complex optimization issues.The essence of structural modal parameter identification by ICA is to transform the structural modal parameter identification into optimization through minimizing the error between theoretical equation of structural outputs（including structural modal parameters to be identified）and structural output data.Finally, a numerical model of three-story frame is adopted to verify the efficiency of the method herein.The results show that ICA can effectively identify structural modal parameters with high accuracy.

Key words：imperialist competitive algorithm; structural modal parameter identification; ambient excitation

中图分类号：TU311

文献标识码：A

文章编号：1672-0679（2016）01-0020-07

[收稿日期]2015-09-16

[基金项目]江苏省自然科学基金项目（BK20141180）；江苏省结构工程重点实验室开放课题（Z1405）；江苏省建设系统科技项目（2015ZD77）

[作者简介]邵永亮（1991-），男，江苏盐城人，硕士研究生。