正确认识例题在学习中的作用

宋新阳

在数学学习中，不要放过任何一道看上去很简单的例题，它们往往并不是那么简单，或者可以引出很多知识点.下面我们列举数例：

1. （见课本150页）证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”.

已知：如图1，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c.

求证：a∥b.

证明：∵a⊥c（已知）.

∴∠1=90°（垂直的定义）.

∵b⊥c（已知），

∴∠2=90°（垂直的定义）.

∵∠1=90°，∠2=90°（已证），

∴∠1=∠2（等量代换）.

∵∠1=∠2（已证），

∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.

启示：此例让我们明白了“垂直于同一条直线的两条直线平行”，同时也告诉我们证明与图形问题有关的命题的三个步骤.另外让我们明白了证明过程必须做到言必有据，推理过程包括因果和由因得果的依据.

你注意了吗？

2. （见课本154页）已知：如图2，AC、BD相交于点O.

求证：∠A+∠B=∠C+∠D.

证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°（三角形三个内角的和等于180°）.

∴∠A+∠B=180°-∠AOB（等式性质）.

在△COD中，同理可得

∠C+∠D=180°-∠COD.

∵∠AOB=∠COD（对顶角相等），

∴∠A+∠B=∠C+∠D（等量代换）.

启示：本例我们该如何认识呢？

笔者认为：①巩固推理过程的三环节（因果及由因得果的依据）；②巩固定理“三角形三个内角的和等于180°”；③启发我们对于两个三角形，应该联系起来考虑，不要割裂开来，本题很自然就能联系到∠AOB与∠COD了.

你清楚了吗？

3.（见课本159页）证明平行于同一直线的两条直线平行.

已知：如图3，直线b∥直线a，直线c∥直线a.

求证：b∥c.

证明：作直线d，使它与直线a、b、c都相交.

∵b∥a（已知），

∴∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）.

∵c∥a（已知），

∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）.

∴∠2=∠3（等量代换）.

∴b∥c（同位角相等，两直线平行）.

启示：本题不仅仅告诉我们一个重要的结论“平行于同一直线的两条直线平行”，同时还向我们展示了辅助线的重要作用.（辅助线被称为智慧之线，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这也是解决问题的常用策略.希望同学们认真领悟，积累辅助线的添加思路.）

你读懂了吗？

4. （见课本159页）证明：直角三角形的两个锐角互余.

已知：如图4，在△ABC中，∠C=90°.

求证：∠A+∠B=90°.

证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°

（三角形三个内角的和等于180°）.

∴∠A+∠B=180°-∠C（等式性质）.

∵∠C=90°（已知），

∴∠A+∠B=180°-90°（等量代换），

即 ∠A+∠B=90°.

启示：我们通过本题也获得了一个重要的结论，同时也巩固了三角形内角和定理的应用，特别地还给我们新的启迪，你能说出它的逆命题吗？这个命题是真命题吗？为什么？

通过本题的学习我们不仅又掌握了一个重要结论“有两个角互余的三角形是直角三角形”，特别地还告诉我们一条拓展知识的重要途径——研究命题.

同学，你领悟了吗？

（作者单位：江苏省连云港市赣榆外国语学校）