数学思想推动证明思路

王军

证明是判断一个命题是真命题的推理过程，有利于培养人的思维品质，培养人的推理意识，是中考命题的重要考点，主要考查对证明推理过程的理解和逻辑推理的能力，题型有选择题、填空题和解答题.

证明中的推理过程不能“想当然”，每一步推理都要有根据.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、定理和公理，推理过程要严密. 证明中的逻辑推理离不开数学思想，数学思想有助于寻找逻辑推理的依据和途径.

一、 方程思想的应用

在处理两条直线的平行问题时，我们经常会遇到角的关系问题，而这种角的关系又通常需要利用一个等式才能显现出来，其中也离不开方程.

例1 如图1，若a∥b，∠1=3x+70°，∠2=2x+80°，则x=______，∠3=______.

解：若a∥b，可得：∠1=∠2 （因为∠1与∠2的对顶角是同位角），

所以可得： 3x+70°=2x+80°，

解得：x=10°，

即：∠3=180°-∠1=180°-100°=80°.

【点评】本题根据平行线的性质得出图形中角与角之间的数量关系，并通过方程求出x的大小，进而使问题获解.

二、 转化思想的应用

有些数学题目，初看觉得无从下手，但若能转化解题思路，问题便能得到顺利解决.

例2 如图2，AB平行EF，BC垂直CD于C，∠ABC=30°，∠DEF=45°，求∠CDE的大小.

【解析】本题的条件中虽然给出了平行线与垂直，还给出了两个具体角的大小，但好像还是与要求的角无关，考虑有平行线，想到可将问题转化，于是，过点C和D作平行线，这样就可分别将要求的角转化到已知角中去.

解：分别过点C，D作CM∥AB，DN∥AB，

由AB ∥ EF，得到AB ∥ CM ∥ DN∥ EF，

∴∠ABC=∠BCM=30°，∠DEF=∠GDE=45°，∠MCD=∠CDG.

∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，

∴∠MCD=∠CDG=60°，

∴∠CDE=∠CDG+∠GDE=105°.

【点评】熟练掌握平行线的条件和特征，并能灵活运用是求解本题的关键，充分运用条件，及时利用辅助线将问题转化是正确求解的前提.另外，对于两条平行线间的“折线”与“拐角”的问题，一般都是在拐点处作平行线，使问题转化，从而构造出一些相等的角或互补的角，使已知与未知一目了然，达到解题的目的.

三、 整体思想的应用

从问题的整体着手进行思考，往往会使问题的解答快捷，迅速，可以培养同学们思维的敏捷性.

例3 已知在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°.

（1） ∠ABC+∠ADC=_______；

（2） 如图3，若DE平分∠NDC的外角，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明.

（3） 如图4，若BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE=∠CDN，∠CBE=∠CBM），试求∠E的度数.

【解析】（1） 根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；

（2） 延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得∠CDE =∠ADC，∠CBF =∠CBM，然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根据垂直的定义证明即可；

（3） 先求出∠CDE+∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可.

解：（1） ∵∠A=∠C=90°，

∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°，

故答案为：180°；

（2） 延长DE交BF于G，

∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，

∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，

又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，

∴∠CDE=∠CBF，

又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，

∴∠BGE=∠C=90°，

∴DG⊥BF，即DE⊥BF；

（3） 由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，

∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，

∴∠CDE+∠CBE=×180°=45°，

延长DC交BE于H，由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，

∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，

∴∠E=90°-45°=45°.

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用.

四、 分类讨论思想的应用

数学中的许多问题由于题设交代笼统，需要进行讨论；另外由于题意复杂，包含情况比较多，也要进行讨论.分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的方法，其目的是使复杂问题简单化.

例4 设直线a∥b，在a上任取两点A，B，在直线b上任取两点C，D，再在两平行线之间任取一点E，试判断∠BED，∠ABE，∠EDC之间有何关系？请猜想并证明你的结论.

【解析】连接线段BD，考虑到E点与BD之间的位置关系：点E可能在BD上，也可能在线段BD的左侧，还可能在线段BD的右侧，故解答此问题应注意分三种情况进行讨论

解：连接BD.

（1） 当E点在线段BD上时，这时∠BED=180°，∠ABE+∠EDC=180°（两直线平行，同旁内角互补），所以∠BED=∠ABE+∠EDC；

（2） 当点E在线段BD的左侧时，过E点作EF∥AB，交BD于F，所以EF∥CD（平行公理的推论），所以∠BEF=∠ABE，∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等），所以∠BEF+∠FED=∠ABE+∠EDC（等量性质），即∠BED=∠ABE+∠EDC；

（3） 当点E在线段BD的右侧时（解略）.

【点评】利用分类讨论思想解题时，需要认真审题，全面考虑，要做到不重不漏.

（作者单位：江苏省连云港市赣榆外国语学校）