矩阵的秩在线性代数中的应用及其实践教学方法的探究

赵伟

摘 要： 伴随当今科学技术的持续发展，数学与经济学理论的联系越发紧密，特别是当今计算机技术的不断运用，促使线性代数于人们日常社会实践中所扮演的角色越发重要.为了对线性方程组进行研究，便随之产生了矩阵这一重要概念.矩阵的秩在整个线性代数中扮演着突出角色.本文通过分析矩阵的秩应用于线性代数，对此知识点相应教学方法予以探讨.

关键词： 线性代数 矩阵的秩 应用 教学方法

1.矩阵的秩等价描述

定义1：假设矩阵A中存在一个并非为0的r阶子式D，且全部r+1阶子式均等于0，则将D称为矩阵A相应最高阶非零子式，而数r则被称作矩阵A的秩，将其记为R（A）.且划定零矩阵的秩则等于0.从中可知，矩阵A的秩R（A）乃是A中一个并非为0的子式相应最高阶数.对于矩阵秩相应刻画而言，其具有较多方式，以下所设定的命题1乃是与矩阵秩相应等价描述存在相关性的一组结论.

命题1：假设A乃为m×n矩阵，则可得出如下结论为等价：

（1）R（A）=r；（2）A的行向量组的秩=r；（3）A的列向量组的秩=r；（4）A的行空间维数=r；（5）A的列空间维数=r；（6）n的元齐次线性方程组（AX=0）相应解空间维数=n-r.

2.矩阵的秩于求解线性方程组中的应用

如下定理1则将线性方程组解相应判定和矩阵秩相应关系给予了建立，将线性方程组解相应判定问题，向增广矩阵秩及系数矩阵计算方面予以转化，且就增广矩阵和系数矩阵的秩是否存在相等的问题进行判断，从而大大简化线性方程组解相应判定及求解.

定理1：n元线性方程组Ax=b

（1）R（A）

矩阵、向量组的线性相关性及线性方程组乃是线性代数中基础而又重要的内容，彼此之间关系紧密，矩阵乃是对线性代数各种问题进行研究的重要载体，矩阵的秩则是对问题进行研究的相应试金石.矩阵的秩在线性代数中具有突出作用，然而有关矩阵的秩相应教学则存在较大难度，其原因主要有以下几点：首先，矩阵的秩相应知识在所使用的教材中往往较分散，且和其他相应知识点之间往往形成一定的复杂关系；其次，矩阵的秩和向量空间的维数及向量组的秩，则在本质层级上较类似，致使学生对这些内容较混淆；最后，运用矩阵的秩对向量组相应线性相关性进行判别，则其与齐次线性方程组AX=0非0是否存在紧密关系.至此，可从以下方面入手：

首先，将矩阵的秩相应概念本质进行充分挖掘，即矩阵A的秩R（A）实质为非零子式相应最高阶数；其次，当将线性方程组相应通解的知识进行讲解时，则可抓住问题的本质，促使学生更好且更细致地掌握线性方程组的解的相关知识；最后，在具体教学时，将向量组相应线性相关性予以讲透彻，还应讲清矩阵的秩与齐次线性方程组AX=0解之间所存在的相应关系，并通过例题进行强化教学.

例2：求解如下非齐次线性方程组：

4.结语

矩阵的秩应用于线性代数中，不仅对于线性代数相应学习具有重要的指导作用，还可让学生更好地认识矩阵的秩，并可认知矩阵理论在整个线性代数中的重要作用，对于矩阵而言，其诸多思想及方法，可对线性代数理论予以较大丰富.因此，学生善于运用矩阵的秩，就线性代数相应问题给予解决，乃是将线性代数学好的重要基础.

参考文献：

[1]张丽丽.初等变换求矩阵的秩在线性代数中的应用[J].科教文汇旬刊，2014（1）：57-57.

[2]巴桑卓玛.探讨矩阵的秩在线性代数中的应用[J].西藏大学学报：自然科学版，2010，25（2）：104-107.