一类特殊行列式的计算及推广

侯丽芬

(朔州师范高等专科学校 数计系，山西 朔州 036002)



一类特殊行列式的计算及推广

侯丽芬

(朔州师范高等专科学校 数计系，山西 朔州 036002)

[摘要]本文通过对例题进行分析，由浅入深，对其多种情形进行推广，总结归纳了这一类型行列式的计算公式，并给出此公式在行列式计算中的应用.

[关键词]行列式;加边法;化三角法;行列式计算

行列式是《高等代数》的一个基本概念，在各个领域都有广泛的应用，其计算的重要性也不言而喻.这里通过对例题的推广，得到一类行列式的各种变形及相应的计算公式，为读者求解这类行列式提供一些参考．

1例题求解及推广

:0111101111011110c1+c2+c3+c43111301131013110

上述行列式的各行和相等，且对角线元素全相等，而其余元素全相等.据此，我们对该行列式推广到一般情形.

(1)

所以Dn=[a+(n-1)x](a-x)n-1.

(1)中行列式的各行和相等，且对角线元素都相等，若对角线元素不都相等，则有:

推广2n阶行列式

Dn=a1x…xxa2…x︙︙⋱︙xx…an=∏ni=1(ai-x)+x∑ni=1∏j≠i,1≤j≤n(aj-x)

(2).

若ai≠x，i=1，2，…，n，应用加边法有

1xx…x0a1x…x0xa2…x︙︙︙⋱︙0xx…an

公式(1)中行列式的各行和相等，且除了对角线以外的元素都相等，若对角线以外的元素不都相等，则有:

推广3n阶行列式

其中 x≠ai(i=1，2， …，n).

(3)

利用化三角法有

xa2a3…ana1-xx-a20…0a1-x0x-a3…0︙︙︙⋱︙a1-x00…xn-an

推广3中行列式的各行和相等，且对角线上中除对角线上各列相同，若对角线上的元素不都相等，则有:

推广4n阶行列式

(4)

仿照推广2、3的计算方法有

1x1x2x3…xn-1a1-x100…0-10a2-x20…0︙︙︙︙⋱︙-1000…an-xn

1+∑ni=1xia1-xix1x2x3…xn0a1-x100…0-10a2-x20…0︙︙︙︙⋱︙-1000…an-xn

2公式的应用

我们举例说明上述推广的应用．

解: 由公式(1) 得Dn=[(1+2)n-1]·(1-2) n-1 = (-1)n-1(2n - 1) ．

其中a1a2…an≠0．

解: 由公式(3)得

例4计算

解: 由公式(4)得

3结束语

行列式的计算是《高等代数》的难点内容之一.这里通过对一道例题深入挖掘，加以提炼，推广总结，得到更为一般性的结论.通过对例题的计算、推广，不仅使学生得到一些计算公式，更能够启发学生的思维，引导学生自主进行探索.

[参考文献]

[1]王萼芳，石生明.高等代数(第3版)[M].北京:高等教育出版社，2003.

[2]汪志华.一种特殊类型行列式的计算及推广[J].安庆师范学院学报(自然科学版)，2015，(1):103-105.

[责任编辑：弓心水]

A kind of special determinant calculation and promotion

HOU Li-fen

(Department of mathematics and Computer science，Shuozhou normal college，Shuozhou 036002,China)

Abstract:Through analysis of examples，this paper is to promote the various circumstances. This type of determinant calculation formula is summarized， and application in the determinant calculation formula is given.

Key words:determinant; Add edge method; The triangular method; The determinant calculation

[收稿日期]2016-01-09

[作者简介]侯丽芬(1982-)，女，山西晋中人，教师，主要从事泛函分析研究与教学。

[中图分类号]G642

[文献标识码]A

[文章编号]1671-5330(2016)02-0114-03