侯丽芬
(朔州师范高等专科学校 数计系,山西 朔州 036002)
一类特殊行列式的计算及推广
侯丽芬
(朔州师范高等专科学校 数计系,山西 朔州 036002)
[摘要]本文通过对例题进行分析,由浅入深,对其多种情形进行推广,总结归纳了这一类型行列式的计算公式,并给出此公式在行列式计算中的应用.
[关键词]行列式;加边法;化三角法;行列式计算
行列式是《高等代数》的一个基本概念,在各个领域都有广泛的应用,其计算的重要性也不言而喻.这里通过对例题的推广,得到一类行列式的各种变形及相应的计算公式,为读者求解这类行列式提供一些参考.
1例题求解及推广
:0111101111011110c1+c2+c3+c43111301131013110
上述行列式的各行和相等,且对角线元素全相等,而其余元素全相等.据此,我们对该行列式推广到一般情形.
(1)
所以Dn=[a+(n-1)x](a-x)n-1.
(1)中行列式的各行和相等,且对角线元素都相等,若对角线元素不都相等,则有:
推广2n阶行列式
Dn=a1x…xxa2…x︙︙⋱︙xx…an=∏ni=1(ai-x)+x∑ni=1∏j≠i,1≤j≤n(aj-x)
(2).
若ai≠x,i=1,2,…,n,应用加边法有
1xx…x0a1x…x0xa2…x︙︙︙⋱︙0xx…an
公式(1)中行列式的各行和相等,且除了对角线以外的元素都相等,若对角线以外的元素不都相等,则有:
推广3n阶行列式
其中 x≠ai(i=1,2, …,n).
(3)
利用化三角法有
xa2a3…ana1-xx-a20…0a1-x0x-a3…0︙︙︙⋱︙a1-x00…xn-an
推广3中行列式的各行和相等,且对角线上中除对角线上各列相同,若对角线上的元素不都相等,则有:
推广4n阶行列式
(4)
仿照推广2、3的计算方法有
1x1x2x3…xn-1a1-x100…0-10a2-x20…0︙︙︙︙⋱︙-1000…an-xn
1+∑ni=1xia1-xix1x2x3…xn0a1-x100…0-10a2-x20…0︙︙︙︙⋱︙-1000…an-xn
2公式的应用
我们举例说明上述推广的应用.
解: 由公式(1) 得Dn=[(1+2)n-1]·(1-2) n-1 = (-1)n-1(2n - 1) .
其中a1a2…an≠0.
解: 由公式(3)得
例4计算
解: 由公式(4)得
3结束语
行列式的计算是《高等代数》的难点内容之一.这里通过对一道例题深入挖掘,加以提炼,推广总结,得到更为一般性的结论.通过对例题的计算、推广,不仅使学生得到一些计算公式,更能够启发学生的思维,引导学生自主进行探索.
[参考文献]
[1]王萼芳,石生明.高等代数(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[2]汪志华.一种特殊类型行列式的计算及推广[J].安庆师范学院学报(自然科学版),2015,(1):103-105.
[责任编辑:弓心水]
A kind of special determinant calculation and promotion
HOU Li-fen
(Department of mathematics and Computer science,Shuozhou normal college,Shuozhou 036002,China)
Abstract:Through analysis of examples,this paper is to promote the various circumstances. This type of determinant calculation formula is summarized, and application in the determinant calculation formula is given.
Key words:determinant; Add edge method; The triangular method; The determinant calculation
[收稿日期]2016-01-09
[作者简介]侯丽芬(1982-),女,山西晋中人,教师,主要从事泛函分析研究与教学。
[中图分类号]G642
[文献标识码]A
[文章编号]1671-5330(2016)02-0114-03