基于高斯伪谱法的飞机下降段轨迹优化

薛鹏飞, 刘小雄, 李创, 马青原

(西北工业大学 自动化学院, 陕西 西安 710072)

基于高斯伪谱法的飞机下降段轨迹优化

薛鹏飞, 刘小雄, 李创, 马青原

(西北工业大学 自动化学院, 陕西 西安 710072)

摘要:以大型运输机为研究对象,进行风干扰下的飞机下降段轨迹优化。通过对飞机下降过程的分析,建立了飞机的运动学模型、油耗模型和大气模型,得出了问题的目标函数和约束。运用高斯伪谱法把最优控制问题转化为非线性规划问题,并用序列二次规划求解非线性规划问题。仿真计算得到飞机最短下降时间的最优轨迹,讨论了不同的成本指数对下降时间和燃油消耗的影响。仿真结果表明,成本指数越大,飞机下降时间越短,燃油消耗越多。

关键词:最优控制; 序列二次规划; 最优轨迹; 成本指数

0引言

轨迹优化技术作为未来飞机空中交通管理和飞行管理的核心技术,已得到越来越多的重视。轨迹优化有利于提高飞行器飞行品质，以满足既定任务要求;轨迹优化技术的应用可以缓解机场交通的拥挤情况,降低飞行过程中的燃油消耗,提高经济效益，并满足人们的出行要求。

从早期的庞特里亚金最小值原理到新方法的出现,对飞行轨迹优化方法可归纳为两大类:直接方法和间接方法。间接方法是以变分法和庞特里亚金原理为基础,在飞机的运动方程和状态变量等约束下,对性能指标函数求取极值。其优点是解的精度较高,最优解满足一阶最优性必要条件;缺点是推导最优解的过程比较复杂和繁琐,求解两点边值问题时的收敛域小。近几年,解决非线性最优控制问题的伪谱法发展迅速,它同时将控制变量和状态变量在时间区间上进行离散,利用正交多项式对控制和状态变量进行逼近,将轨迹优化问题转化成了相应的参数优化问题。目前,求解参数优化问题的方法有很多,序列二次规划(Sequential Quadratic Programming,SQP)法是求解参数优化问题最有效的方法,也是飞行器轨迹优化的主流优化算法[1]。伪谱法对数值迭代的初始值敏感性很低,收敛性非常好,已广泛应用于解决无人机航迹规划、导弹制导和航天器轨道机动等大量的最优控制问题,成为目前解决最优控制问题和轨迹最优化问题最有效的工具之一[2]。

本文以大型运输机为研究对象,利用高斯伪谱法对飞机下降段进行轨迹优化,得到了飞机的最省燃油下降轨迹,并验证了伪谱法的快速收敛性。

1问题描述

1.1飞机运动学模型

考虑飞机质量变化的三自由度运动学模型为:

(1)

式中:T,L,D分别为发动机的推力、升力和阻力;Ffuel为单位燃油消耗量[3];Wx为风场沿经度方向的分量;Wy为风场沿纬度方向的分量。

在一定油门开度下,发动机的推力随着飞行高度和飞行马赫数的改变而改变,可以表示为:

T=T0(H,Ma)u

式中:u为油门开度。

1.2约束限制

飞机起飞后,要经过特定的航路点才能到达着陆机场。在特定的航路点,飞机完成转弯、改变航向。飞机过航路点的约束一般表示为经纬度和高度的约束,即:

式中:ε为约束的容忍误差。飞机的航迹角约束为γ∈[-10°,10°];航向角约束为χ∈[-180°,180°];起始点状态约束为X(t0)=X0。

1.3目标函数

成本指数是飞行管理系统实施垂直导航功能计算的主要参数之一[4],是指航班成本中飞行时间引起的成本与燃油成本的比值,即:

式中:Ci为成本指数;Ctime为飞机飞行1 h的时间成本;Cfuel为飞机消耗1 lb燃油的成本。

飞机轨迹优化的目的是使上述直接成本最小,选择不同的成本指数进行优化,得到在各个时刻飞机的状态不同。本文将讨论在有风的情况下,不同的成本指数对飞机的高度、马赫数等状态量的影响,以及对飞机到达时间的影响。

1.4归一化处理

为了提高算法在求解优化问题时的收敛速度,将飞行器运动方程归一化。定义无量纲物理量:

(2)

将式(2)代入式(1)中,可得到归一化后的运动方程。

综上所述,飞机的轨迹优化问题可以归结为在飞机运动学模型约束、中间过程约束、边界条件约束和状态变量控制变量约束条件下,以最小时间成本和到达时间为目标函数的最优控制问题,即:

(3)

2最优控制问题求解

Gauss伪谱法将最优控制问题的状态变量和控制变量在一系列Legendre Gauss(LG)点上离散,并以离散点为节点构造拉格朗日插值多项式来逼近状态变量和控制变量。通过对全局插值多项式求导来近似状态变量对时间的导数,从而将微分方程约束转换为一组代数约束。性能指标中的积分项由Gauss积分计算。经过上述变换后,可将最优控制问题转化为具有一系列代数约束的NLP问题[5-6]。

2.1时域变换

最优控制问题的时间定义为区间[t0,tf],但伪谱方法的时间区域为[-1,1],因此要将时间从[t0,tf]变换到为[-1,1],对时间变量t作变换:

(4)

即将t∈[t0,tf]映射到τ∈[-1,1]。

2.2离散化

Gauss伪谱法的Legendre-Gauss配点位于开区间τ∈(-1,1)中,这些点不包括初始值点和终端值。N个离散点包括N-2个内部LG配点,初始值点τ0≡-1,终端值点τf≡1。利用N-1个Lagrange插值基函数组成多项式对状态变量进行逼近:

利用N-1个Lagrange插值基函数组成的多项式对控制变量进行逼近,表示为:

在配点上的正交分配方程为:

终端状态应满足动力学方程约束:

将终端状态约束条件离散并用Gauss积分来近似,可得:

式中:wk为Gauss正交权重;τk为LG配点。

目标函数包括终端性能指标和积分型性能指标,即:

其中,积分型性能指标可以用Gauss积分来近似,离散化后的目标函数为:

经过上述离散化处理,Gauss伪谱法将连续型最优控制问题转化为离散型NLP问题,转化的NLP问题可以表示为:

(5)

式中：k=1,…,N。

3SQP法求解非线性规划问题

SQP的基本思想是:在每一迭代通过求解一个二次规划子问题(QP)来确立一个下降方向,以减少价值函数来取得步长,重复这些步骤直到求得原问题的解。SQP算法具有整体收敛和局部超一次收敛的特性,被认为是目前求解NLP问题的最有效的算法之一[7]。考虑NLP问题:

式中:f(x),h(x)，g(x),分别为目标函数、等式约束和不等式约束。

在主迭代过程中,搜索方向dk由下述QP子问题确定:

SQP算法序列地求解一系列的二次规划子问题,逐步得到原问题的最优解。

4算例分析

4.1参数设置

某大型运输机的机体性能参数为:最大起飞重量265.5 t;机翼面积353 m2;最大速度230.5 m/s;最小速度55 m/s;最大航迹角10°;最小航迹角-10°;翼展50.29 m;升限13.715 km;最大迎角10°;最小迎角-10°;最大航向角180°;最小航向角-180°。

飞机在巡航段结束后进入下降段,主航线下降点的起始航路点为东经105.8°、北纬31.57°和高度8 371 m,中间航路点为东经104.49°、北纬30.61°和高度3 342 m,终点航路点为东经103.55°、北纬30.5°和高度552 m,飞机速度达到进场速度59.2 m/s。高斯伪谱法具有很高的收敛性,但是选取的高斯配点数过少,求解问题的误差较大;选取的高斯配点数过多,设计的变量数目比较庞大。设高斯点的个数为k,则设置的变量数目为10k+22。为了获得精确解,同时防止计算量过大,本文选取高斯节点数为14个,应用Gauss伪谱法,把最优控制问题转换为NLP问题,采用SQP方法求解。

4.2最短时间轨迹

取Ci=9 999,得到飞机下降段的最短时间为30 min,仿真结果如图1所示。可以看出,飞机经过3个航路点,高度平缓下降,飞行速度比较大,下降时间短;航迹角、航向角和迎角满足约束条件。

图1　最短时间轨迹优化结果Fig.1　Optimization results of minimum time

4.3最小直接成本优化轨迹

选择不同的成本指数Ci,得到不同的到达时间和燃油消耗。分别选取Ci为500和1 000,得到对应的最小直接成本轨迹,如图2所示。从优化的轨迹可以看出,飞机采用阶梯下降的策略,航迹角、航向角和迎角满足约束条件;Ci=500和Ci=1 000得到的时间均大于最短时间,飞行速度小于最短时间轨迹得到的速度。

表1对比了Ci=500和Ci=1 000时的燃油消耗和到达时间,结果显示:飞机按照Ci=1 000比按照Ci=500优化的轨迹进行下降,到达时间少了0.8 min,燃油消耗多了119.2 kg。根据1.3节目标函数,假设燃油消耗的权重固定,到达时间的权重为Ci,Ci增大,表明到达时间的权重增大。优化结果为到达时间减小,仿真结果与理论分析一致。

表1　不同成本指数轨迹优化结果

5结束语

本文利用高斯伪谱法对大型运输机下降段的轨迹优化问题进行研究。研究结果表明，成本指数越大,飞机下降的时间越短,燃油消耗越多。研究内容对于飞机控制经济成本具有一定的实际意义。

参考文献：

[1]雍恩米,陈磊,唐国金.飞行器轨迹优化数值方法综述[J].宇航学报,2008,29(2):397-406.

[2]胡松启,陈雨.伪谱法在飞行器轨迹优化中应用分析[J].火箭推进,2014,40(5):61-68.

[3]闫国华,魏娜,杨晓军.基于BADA模型的我国民用飞机持续进近燃油经济性研究[C]//第五届中国智能交通年会暨第六届国际节能与新能源汽车创新发展论坛.北京:电子工业出版社,2009:411-414.

[4]杨俊,苏彬.运输飞行成本指数计算[J].飞行力学,2000,18(1):85-88.

[5]Benson D.A Gauss pseudo-spectral transcription for optimal control[D].Massachusetts:Massachusetts Institute of Technology,2005.

[6]雍恩米,唐国金,陈磊.基于Gauss伪谱方法的高超声速飞行器再入轨迹快速优化[J].宇航学报,2008,29(6):1766-1772.

[7]Dehdari V,Oliver D S,Deutsch C V.Comparison of optimization algorithms for reservoir management with constraints—a case study[J].Journal of Petroleum Science and Engineering,2012,100:41-49.

(编辑：李怡)

Approach trajectory optimization for aircraft using Gauss pseudo-spectral method

XUE Peng-fei, LIU Xiao-xiong, LI Chuang, MA Qing-yuan

(School of Automation, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

Abstract:With the large transport aircraft as the research object, this paper focuses on trajectory optimization in approach airspace under disturbance of wind. By analyzing of the approach stage, the dynamitic model, oil consumption model and aerodynamic force model of the aircraft were built. Then, the cost function and constraints of trajectory problem were proposed. The optimal control was translated into a nonlinear programming problem (NLP) by Gauss pseudo-spectral method, and the NLP was solved with the sequential quadratic programming. The optimal trajectory of the shortest descent time was obtained by simulating calculation. Meanwhile, this paper discussed the effect of the different cost indexes on descent time and fuel consumption. Simulation results show that the descent time is less when the cost index is high and fuel consumption is more.

Key words:optimal control; sequential quadratic programming; optimal trajectory; cost index

收稿日期:2015-09-10;

修订日期:2015-12-11; 网络出版时间:2016-02-29 16:37

基金资助:国家自然科学基金资助(61374032)；航空科学基金资助(20150753009)；民机专项基金资助(MJ-S-2011-16)

作者简介:薛鹏飞(1991-)，男，河南焦作人，硕士研究生，研究方向为飞行控制与轨迹优化； 刘小雄(1973-)，男，陕西周至人，副教授，博士，研究方向为飞行控制与仿真、容错控制。

中图分类号：V249.1

文献标识码：A

文章编号：1002-0853(2016)03-0034-05