数学解题教学之“取势、明道、优术”

摘 要：“取势”就是明确教学目标，甄选教学主题；“明道”就是分析问题特征，发现解题思路 ；“优术”就是优化解题方法，形成思维体系.在数学解题教学中，“取势、明道、优术”并重，方能有所突破.

关键词：解题教学；取势；明道；优术

“取势、明道、优术”是我国古代重要的哲学思想，其内涵简而言之就是“明确方向，把握规律，办事有方”.受此启发，章建跃博士提出了数学教育的“取势、明道、优术”，意指教师要顺应数学教改的潮流，懂得数学育人的原则，掌握提高数学教学质量的规律，提高教育教学能力，优化数学教学方法[1]1-7.在数学教育中，无论是概念的形成，定理、公式、结论的推导，还是过程、方法的探索都离不开解题教学，毫不夸张地讲，“掌握数学就意味着善于解题”.综观当前数学解题教学，“教师示范讲解，学生模仿练习”依旧是课堂的“主旋律”，“题海战术” 依旧是应对考试的“法宝”.为何数学教育教学改革风起云涌，而数学解题教学却还在“墨守成规”.我们不禁要思考：数学解题教学该如何“取势、明道、优术”？

一、“主题+例题” 取解题之势

数学解题过程既包含了以获得问题答案为目标的大脑自适应工作加工过程[2]，也包括了基于解决问题的方法感悟和总结的大脑自组织加工过程.数学解题学习是有意义学习，其实质应该是：数学的语言或符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当知识建立非人为的实质性的联系[3].因此，解题教学的“势”在于教会学生如何在新旧两方面之间建构起非人为和实质性的联系，这种联系包括新旧知识的同化与顺应、新旧问题意义的同化与顺应、新旧解题方法的同化与顺应、新旧解题策略的同化与顺应等.那在解题教学中具体该如何“取势”呢？

（一）明确主题 顺势而为

数学解题教学要有“主题”，明确主题有利于细化目标、分解难度，可以避免杂乱无章与盲目重复.解题教学的“主题”可以从三个维度来确定.一是从知识系统的维度来选择“主题”，放眼全局保证解题教学不偏题；二是从重、难、易错点的维度来选择“主题”；三是从教育功能的维度来选择“主题”，发挥数学知识在解题中的工具作用，提升学生的解题思维层次[4].

向量是形与数的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简捷于一身， 在解决平面几何问题中有着奇特的功效.选择以“平面向量共线定理应用”为主题更是凸显了其在判断平面几何点、线之间位置关系上的工具作用.

（二）精选例题 谋势而动

解题教学的主题是通过例题得以呈现的，例题选择也就显得尤为重要.选择例题不仅要考虑例题本身的教学价值，而且还要考虑学生已有的知识结构和理解能力.例题的选择一般遵循“入口宽，多层次”原则，即例题思考角度与解题方法的多样性，不会令学生感到无从下手；例题之间应具有层次性， 由浅入深逐步展开，这种层次不仅体现在逻辑上，还应该体现出思维生成的层次性.

意图：例1既可以用传统的几何法，又可以用向量法（共线定理），通过制造“解法选择”上的困惑，为后续的解题“造势”；例2用传统的几何法就很难有所作为，从而说明向量法在解题上更具一般性；通过变式，进一步熟悉共线定理的应用，达到熟能生巧的目的.

二、“尝试+碰撞” 明解题之道

解题教学中的“非人为和实质性联系”不可能通过接受学习来获得，也不可能靠教师讲解几个例题，就可以依葫芦画瓢地解决所有的问题.它应该是学习者在解题过程中独立感悟出来的，是在亲身实践中积极探索、努力发现、不断概括、逐步积累才能获得，这就是解题教学之“道”.

（一）尝试解答 自主求道

先让学生尝试解答，让学生在原有知识的基础上，通过自己努力寻求问题的解决之道.在尝试过程中，不仅可以暴露学生思维和潜在的问题，又可以使学生自主完成内化过程，而这正是教师把正确解法直接灌输给学生所无法实现的.

对于例1，易猜得AR=RT=TC，学生很容易想到传统的几何法：通过证明三角形相似或者联结BD，利用R，T重心性质就可以快速得到所需的结果.相比而言，向量法就不那么简洁.若教师为了快速达成解题目标，强行推销向量法，就显得“名不正言不顺”，反而无法使学生信服.本题起到抛砖引玉的作用，让学生认识到向量法可以解决平面几何问题.

（二） 碰撞交流 合作辨道

解答方法与策略并不是靠教师强行灌输，学生模仿接受就可以实现掌握和领悟的.解题方法的孰优孰劣要在思维的碰撞中，在比较辨别中才能见分晓.只有那些学生认为实用的，方便快捷的解题方法才会被主动纳入原有的认知结构中.

例2经过尝试，学生发现传统的几何法面对这类“点”位置不是特殊的图形就显得无能为力.借此机会，教师可以引导学生尝试用向量法，通过合作学习、成果展示的形式明确向量法的解题步骤.至此，学生发现向量法与几何法相比更具一般性与灵活性，从而明确了此类题目的“道”.

三、“熟用+活用” 优解题之术

“术”的基本解释是方法、技艺，如技术、艺术、学术、战术、心术等，是知识、经验、技术、方法、手段等的集合体，“术”也可以是提高办事效果和效率的技巧[1]6.学生“明道”后，接下去就是把例题的解法提炼成一般的操作方法和策略，从而掌握“一类题目”或者“一堆题目”的解法，这就是解题教学中的“术”.

（一） 熟用性质 形成技术

在反复的运用相同的解题方法与技巧的过程中，学生会逐步领悟解题方法的精髓，进而不断总结相关规律与方法，最终形成完整的解题技术.

总结例2可以得到以下结论：解此类题目的关键是找到两组满足三点共线条件的点，然后联立方程，最后解方程；涉及的主要思想方法有待定系数法、基底思想、等价转化思想.至于例3，只要熟用共线定理就可解决.

（二）活用变式 优化战术

变式能够让事物非本质属性处于经常变换中，而使其稳定的本质属性得到凸显.变式训练，可以排除非本质属性的干扰，消除思维定式导致的思维僵化，从而使学生的解题思维趋向灵活.

变式与例3在解题思路上并无二致，当然，对于选择题与填空题还可以“小题小做”.

通过变式，不仅使共线定理的应用得到优化，而且学生还有了新的收获：“找特殊位置，关注临界状态”是解决动态问题的简便方法.

最后需要指出，在解题教学中要辩证地看待“取势、明道、优术”的关系——“取势务虚， 明道求实，虚实结合，方可行事；以道统术、以术得道，相得益彰[5].因此，取势、明道、优术并重，数学解题教学方能有所突破.

参考文献：

[1]章建跃，陈向兰.数学教育之取势明道优术[J]. 数学通报，2014（10）.

[2]张奠宙，等.数学教育学[M]. 南昌：江西教育出版社，1996：128-129.

[3]徐学兵.基于有意义学习理论指导下的数学解题教学[J].数学教学通讯，2013（6）：23-25.

[4]吕增锋.例谈数学复习课选题“三维度”[J].中学教学教学参考，2013（4）：15-17.

[5]章建跃.数学教学的取势、明道、优术[J]. 中小学数学（高中版），2013（4）：66.