贝叶斯波动率模型在中国基金市场的应用

莫玉婷，刘金山

（华南农业大学数学与信息学院，广东广州510642）



贝叶斯波动率模型在中国基金市场的应用

莫玉婷，刘金山*

（华南农业大学数学与信息学院，广东广州510642）

摘要：对随机波动率模型的统计结构进行分析，基于贝叶斯定理，推导出模型参数的后验分布，利用MCMC算法对参数进行估计，同时将FFBS算法引入到波动率向量的估计过程中，对波动率序列进行联合抽样，提高Gibbs抽样算法的效率。对深圳基金指数和上证基金指数进行实证分析，结果表明：基于FFBS算法的随机波动率模型能很好地拟合数据的波动特征。

关键词：SV模型；贝叶斯推断；FFBS算法

2015年上半年，金融市场延续牛市格局，沪深300指数前4个月飙升1 200余点，涨幅超过三成，而基础市场的走牛也推动了权益类基金净值的水涨船高。但6月末以来，股市进入了大跌行情，有数据显示，2015年6月15日至30日，1 554只股票型及偏股型基金中，有1 400只的净值出现下跌，而净值跌幅超过30%的就有48只。在股票市场的影响之下，基金市场也出现了异常的大幅度波动。

目前研究金融市场波动率的模型主要有GARCH模型族以及SV模型族，而SV模型被认为是刻画金融市场波动率的最理想模型，它的优势在于将随机过程引入到方差表达式中。国内外关于SV模型的研究主要有两个方面：一是研究SV模型在拟合金融数据波动率上的优势；二是研究SV模型的参数估计方法。余素红等［1］论证了：SV模型在拟合金融数据的“高峰厚尾”和“平方序列的自相关性”两方面比GARCH模型优势明显。关于SV模型的估计方法主要有广义矩估计（GMM）、伪极大似然估计（QML）、贝叶斯方法等。周宏山等［2］将文献［3］提出的非对称随机波动率模型用于研究中国股票市场波动的非对称性，采用贝叶斯方法对模型参数进行估计。贝叶斯方法是一种充分利用样本信息、模型信息以及模型未知参数先验信息的参数估计方法，被广泛应用于经济模型中。但是当样本量较大时，需要抽取的波动率变量较多，且模拟的样本数据之间是相关的，使得Gibbs抽样迭代效率较低，收敛速度慢，而向前滤波、后向抽样（FFBS）算法则可以克服这一困难。Artigas［4］及Tsay［5］等利用FFBS算法和状态空间转移方程对Jacquier等［6］提出的非对称SV模型进行估计，证明了FFBS算法比单步Gibbs抽样算法效率更高。由于大量文献都是利用SV模型拟合股票市场或汇率市场［7］，本文将选取深圳、上证基金指数建立SV模型，并创新性地结合FFBS算法对波动率序列进行联合抽样，研究中国基金市场的波动情况。

1　随机波动率模型的参数估计方法

随机波动率模型为

（1）参数α的后验分布。给定对数波动率向量｛z1，z2，…，zT｝、观测值序列｛r1，r2，…，rT｝和参数ση，ρ，σ0，参数α是AR（1）模型的一个系数，若α的先验分布是均值为α0、方差为C0的正态分布，则α的后验分布也是正态分布，且均值为α*，方差为C*，其中

表1　pi，μi，ωi的值

其中μi和ωi分别是表1中给出的正态分布的均值和标准误差，Φ（□）表示标准正态分布的累积分布函数，概率qit是给定rt和zt条件下It的似然函数，得到It的后验分布为

（5）对数波动率向量的抽取（F F B S算法）。通过对式（1）进行对数平方变换，将式（1）变成了线性方程。当ρ≠0时，令，其中与εt是相互独立的正态随机变量。于是状态转移方程变为

上式是关于zt的非线性转移方程，A rtig a s等［4］建议用时变的卡尔曼滤波算法对非线性转移方程进行近似，具体有

根据上面的推导，只要给定初始值z1 | 0和Σ1 | 0，利用卡尔曼滤波算法将收益率数据向前推移，就可以得到状态序列｛zt| t｝，｛Σt| t｝，t= 1，…，T和预测序列｛zt| t- 1｝，｛Σt| t- 1｝，t= 2，…，T。然后利用递归的方法从正态分布中抽取波动率序列｛zt｝，t= 1，…，T。

3　实证分析

根据上述方法对各参数进行估计，模型模拟8 0 0 0次，前面3 0 0 0次作为燃烧期舍去，利用后面5 0 0 0次迭代对参数进行分析，表2给出了模型参数的后验均值和标准差。

表2　模型参数估计结果

由模型的参数估计结果可知：

（1）参数α反映的是对数波动率的持续性，两组数据的波动率持续性参数的估计值都非常接近于1，说明上期的波动对当前波动的影响是非常大的。

（2）参数ση反映的是对数波动率的波动情况，上证基金指数的参数ση= 0 .2 9 6，比深圳基金指数的参数ση大，说明上证基金指数的噪音比较多，波动较大。

（3）相关系数ρ反映的是收益率的杠杆效应，深圳基金指数的相关系数ρ= - 0 .0 6 7，上证基金指数的相关系数ρ= - 0 .0 9 4，这两组数据的相关系数都比较小，说明对于基金市场而言，其“杠杆效应”并不是很明显。

下面给出模型估计的两组数据的波动率时序图（见图1）。

图1　波动率时序图

由波动率时序图可知，从2 0 1 3年初至2 0 1 5年初，上证基金指数的波动比深圳基金指数的波动稍微大一些，进一步说明参数估计结果的正确性。但是在2 0 1 5年6、7月深圳基金指数的波动较大，这和实际情况也是相符合的。

4　结论

本文基于贝叶斯定理，推导出S V模型各个参数的后验分布，探讨了一种基于线性高斯状态空间模型的F F B S抽样算法，用于估计波动率向量，提高G ib b s抽样的效率。对深圳基金指数和上证基金指数建立随机波动率模型，分析了中国基金市场的波动情况，实证结果表明：基于F F B S算法估计的S V模型能很好地反映基金市场的波动情况。F F B S算法适用于一般的线性高斯状态空间模型，可以将该方法用于估计随机扩散模型。

参考文献：

［1］余素红，张世英. SV与GARCH模型对金融时间序列刻画能力的比较研究［J］.系统工程，2002，20（5）∶28-33.

［2］周宏山，冀云.非对称随机波动率模型在中国股市的应用［J］.统计与信息论坛，2007，22（4）∶70-73.

［3］YU J. On Leverage in a Stochastic Volatility Model［J］. Journal of Econometrics，2005，127∶165-178.

［4］ARTIGAS J C，TSAY R S. Effective Estimation of Stochastic Diffusion Models with Leverage Effects and Jumps［D］.Chicago∶University of Chicago，2004.

［5］TSAY R S. Analysis of Financial Time Series［M］. 3rd ed. New Jersey∶John Wiley & Sons Inc，2010.

［6］JACQUIER E，POLSON N G，ROSSI P E. Bayesian Analysis of Stochastic Volatility Models with Fat-tails and Correlated Errors ［J］. Journal of Econometrics，2004，122∶185-212.

［7］李峰.基于MCMC模拟的贝叶斯金融随机波动模型分析［D］.长沙∶湖南大学，2007.

［8］KIM S，SHEPHARD N，CHIB S. Stochastic Volatility∶Likelihood Inference and Comparison with ARCH Models［J］. Review of Economic Studies，1998，65∶1-40.

【责任编辑：王桂珍foshanwgzh@163.com】

App lication of Bayesian stochastic volatility model in Chinese fund market

MO Yu-ting，LIU Jin-shan
（College of Mathematics and Informatics，South China Agricultural University，Guangzhou 510642，China）

Abstract∶By analyzing the statistical structure of the stochastic volatility model，and using the Bayesian theorem，we derive the posterior distribution of model’s parameter. We use the Markov chain Monte Carlo algorithm to estimate model’s parameter，and the FFBS（forward filtering and backward sampling）algorithm to estimate the volatility. We apply the stochastic volatility model to analyze the Shenzhen and Shanghai fund market，and the result indicated that the model can explore the volatility characteristics of fund market.

Key words∶SV model；Bayesian inference；FFBS algorithm

中图分类号：F832.5

文献标志码：A

文章编号：1008-0171（2016）03-0005-06

收稿日期：2016-01-04

基金项目：国家自然科学基金资助项目（11171117）

作者简介：莫玉婷（1991-），女，广东韶关人，华南农业大学硕士研究生。

*通信作者：刘金山（1958-），男，河南方城人，华南农业大学教授。