算法的历史背景

赵莉莉

1.中国算法的历史背景

中国传统数学经历了由古代直到19世纪初大约两三千年的悠久历史，中国传统数学的社会性首先表现为它的实用性[1]。实用性的特征，决定了它的发展以解决实际应用问题和提高计算技术为其主要目标。这就使得“以算为主，使用算器，建立一套算法体系”成为中国传统数学的显著特色。

以算为主，决定了中国传统数学的成果表现为算法的形式，而数学问题的模式化和以筹为算具，便带来了计算方法程序化的特征。有人曾将中国传统数学与今天的计算机技术对比，认为算筹可以看作是电子计算机的“硬件”而中国古代的算术可以比作电子计算机的“程序设计”，是一种软件的思想。这种看法是很有道理的。中国的筹算不用运算符号，无须保留运算的中间过程，只要求通过筹式的逐步变换而最终获得问题的解答，因此中国古代数学著作中的“术”，都是用一套一套的“程序语言”所描写的程序化算法。各种不同的筹法都有其基本的变换法则和固定的演算程序。例如，“方程”这一筹式以遍乘、直除（累减）为基本变换，而“方程术”便是反复施行这两种基本变换而逐个消元求解的演算程序。中算家善于运用演算的对称性、循环性等特点，将演算程序设计得十分简洁而巧妙，如开方术、增乘开方术、大衍求一术等在筹算程序的设计方面都达到很高的水平。如果说古希腊的数学家以发现数学的定理为乐趣，那么中算家们则以创造精致的算法为己任[2]。

从汉代以来，中国数学家创造了解多元一次方程组的“遍乘直除”算法，计算圆周率的割圆术算法以及解三次方程正根的“开带从立方”算法；隋唐天算家创造了内插公式“招差术”算法；以及秦九韶创造了解一次同余组的“大衍求一术”和求高次方程数值解的“正负开方术”算法等。这些算法所表达的数学真理有些在欧洲要到18世纪以后运用近代数学工具才能重新获得。至于这些算法的结构，其复杂程度也是惊人的。如秦九韶“大衍求一术”和“正负开方术”的分析表明，这些算法的计算程序具有很高的机械化程度，并包含了现代计算机语言中构造算法的基本要素和基本结构[3]。

2.西方算法的歷史背景

古埃及人最基本的算术运算是加法，乘法运算通过逐次加倍的程序来实现，除法运算中，加倍程序被倒过来执行。至于分数计算他们则习惯用单位分数计算。古代美索不达米亚数学与埃及数学一样，处于原始算法的积累时期。埃及纸草书和巴比伦泥版文书中汇集的各种几何图形面积、体积的计算法则，本质上属于算数的应用。

古希腊人重“理”轻“算”，所以形成了具有初步逻辑结构的论证数学体系。

阿拉伯数学家花拉子米的《代数书》更注重探讨问题的一般性解法。意大利数学家猆波那契所著的《算术书》有条理地介绍了各种计算方法，包括指算法，运用印度——阿拉伯数码的算法。

算法精神在文艺复兴之前就通过阿拉伯人传播到欧洲，被欧洲学者吸收，并结出丰硕的成果——微积分。从微积分的历史可以知道，微积分的产生是寻找一系列实际问题的普遍算法的结果。这些问题包括：求极值、求曲线的切线、面积与体积计算、曲线求长等。牛顿与莱布尼茨的成绩是在于将这些特殊的算法统一成两类基本运算——微分与积分，并进一步指出了它们的互逆关系。无论是牛顿的先驱者还是牛顿本人，他们所使用的算法都是不严格的，都没有认真的演绎推导。开普勒的积分学，实际上是作为测量酒桶容积的求积术。在这里，开普勒为了寻求体积算法，可以说是回到了非公理化的经验几何学，并且是自觉的。众所周知牛顿的流数术在逻辑上存在瑕癖。对当时学者来说，首要的是找到行之有效的算法，而不是算法的证明。这种倾向一直延续到18世纪。18世纪的数学家往往不管微积分基础方面的困难而大胆前进。如泰勒公式，欧拉、伯努利甚至19世纪初傅里叶所发现的三角展开等，都是在很长时期内缺乏严格的证明，但却作为有效的算法而广泛地被数学家们所采用，虽然中间充满了争论[4]。

综上所述，作为近代数学发生标志的解析几何与微积分，从方法论角度看都不能说是演绎倾向而是算法倾向的产物。17～18世纪的无穷小算法与中世纪算法相比决不可同日而语，而是有了质的飞跃。

至于说20世纪，至少是到前半个世纪为止，数字中演绎的倾向有增无减，数学已经变成研究任意结构的学问，在这里，演绎精神不仅是衡量数学纯不纯的标准，而且也成为衡量数学美不美的标准。只是从40年代中开始，局面已有所变化。这主要是由于电子计算机的发明与应用而引起的。我们还远不能说电子计算机已经动摇了演绎倾向在现代数学中的地位，但它肯定提高了算法传统的地位。特别是人们正在加紧研究计算机来证明数学定理，为实现从莱布尼茨就开始梦想的、把科学家的演绎思维变成机械化的算法过程的目标而奋斗。这可能预示着一个算法倾向的新时代。

参考文献

[1]李继闵.算法的源流——东方古典数学的特征.北京.科学出版社，2007

[2]李文林.数学的进化——东西方数学史比较研究.北京.科学出版社，2005

[3]李文林.数学史概论.第二版.北京.高等教育出版社，2002

[4]梁宗巨.世界数学通史（上册）.沈阳.辽宁教育出版社，2001