一类带Michaelis-Menten收获项的改进的Holling-Ⅳ型捕食-食饵模型的共存解

周翔宇,李艳玲

(陕西师范大学 数学与信息科学学院,陕西 西安 710119)



一类带Michaelis-Menten收获项的改进的Holling-Ⅳ型捕食-食饵模型的共存解

周翔宇,李艳玲

(陕西师范大学 数学与信息科学学院,陕西 西安 710119)

摘要:讨论一类带Michaelis-Menten收获项的捕食-食饵模型平衡态正解的存在性,其功能函数为改进的Holling-Ⅳ型.首先利用最大值原理和Harnack不等式给出平衡态方程正解的先验估计;其次借助Pioncare不等式分析非常数正平衡解不存在的条件;最后由L-S度理论得到平衡态系统非常数正解的存在性,从而给出捕食者与食饵在一定条件下可以共存的结果.

关键词:捕食-食饵模型;先验估计;L-S度理论；共存解

0引言

捕食-食饵模型是种群动力学的重要研究内容,吸引了国内外众多学者的关注.最早由Volterra在1926年提出了Lotka-Volterra模型[1],但此模型假设功能反应与食饵数量成正比,这与实际情况不完全相符.随后Holling在实验的基础上对不同物种提出了3种不同的功能反应函数.在食饵与捕食者的相互作用中,很多食饵是具有防卫能力的,特别是随着食饵数量的增加,食饵的防御、匿藏能力也会提高,对捕食者会起到抑制作用.基于此,Andrews提出了Holling Ⅳ型[2]功能反应函数P(x)=mx/a+bx+x2.在现实生产生活中,考虑到经济利益,往往会对食饵进行收获以出售,因此对捕食-食饵模型考虑进收获项是很有必要的,而Michaelis-Menten收获项从生态和经济的角度都更加符合实际[3-5].

目前已有许多学者对带收获项的捕食-食饵模型进行了研究,并取得大量成果.其中,文献[6]研究了带常数收获项的Holling-Ⅳ型捕食-食饵模型,证明了模型的多种分歧情况;文献[7]中提出了带有Michaelis-Menten收获项的改进的HollingⅡ型捕食-食饵模型,并研究了解的稳定性和分歧;文献[8]通过对文献[7]中的模型添加扩散项和扩散系数,研究了解的渐近稳定性,周期解的性态和非常数正解的存在性等.结合文献[6-8],本文考虑如下一类在齐次Neumann边界条件下带Michaelis-Menten收获项的改进的Holling-Ⅳ型捕食-食饵模型

(1)

其中u,v分别代表食饵和捕食者的种群密度,Δ为Lapalce算子,∂v表示单位外法向量的方向导数,Ω为RN(N≥1)中具有光滑边界的有界开区域,d1>0和d2>0分别是食饵和捕食者的扩散系数,α,β,γ,ρ,h,m,c均为正常数.

本文主要借助L-S度理论等,研究系统(1)的共存解,因此考虑对应的平衡态方程

(2)

1预备知识

对于系统(2)非负常数解的情况有如下定理.

定理1对于系统(2),令s=1-c-α/β,Δ0=(α/β-c-1)2-4h,则有

(1) (0,0)为其平凡解,(0,m/β)为其一个非负半平凡解.

(2) 当h>c,c<1且(1+c)2>4h时,有两个半平凡解

当h

当α/β<1-h/c时,仅有U2=(u2,v2)存在.

由最大值原理[9]可以得到如下定理.

证明令

对于系统(1),由最大值原理可得

因此有u(x1)≤1,v(y2)≥m/β.

定理3设α/β≠1-h/c,d是固定的正常数,则存在一个正常数C=C(Λ,d),使得对所有的d1,d2≥d,系统(2)的任意正解(u,v)满足u(x)≥C,v(x)≥m/β.

则由Harnack不等式可知,存在一个正常数C*=C*(N,Ω,Λ,d),使得当d1,d2≥d时,有

(3)

(4)

2非常数正平衡解的不存在性

定理4存在一个正常数D1,使得当d1,d2≥D1时,系统(1)没有非常数正平衡解.

(5)

令

3非常数正平衡解的全局存在性

本节固定其他参数,以d1,d2为参数讨论系统(1)的非常数正平衡解的全局存在性.

首先,记U=(u,v),Ur=(ur,vr)，且r=1,2.令

经计算可得

则系统(2)可以写成

(6)

并且U是系统(2)的解当且仅当U满足

G(d1,d2;U)=U-(I-Δ)-1(D-1F(U)+U)=0,U∈X.

其中(I-Δ)-1是I-Δ在齐次Neumann边界条件下的逆算子.通过计算得

DUG(d1,d2;Ur)=I-(I-Δ)-1(D-1Jr(U)+I),r=1,2.

(7)

易知,对于每个Xi,μ是DUG(d1,d2;Ur)在Xi上的特征值,当且仅当μ(1+λi)是矩阵

的特征值.记detRr(λi)为Rr(λi)的行列式.令

Mr(d1,d2;λi)=d1d2detRr(λi),r=1,2,

所以有

(8)

关于λ的一元二次方程(8)的判别式记为Δr,其中

令

引理1[15]假设∀λi∈Sp,Mr(d1,d2;λi)≠0且r=1,2,则

index(G(d1,d2;·),Ur)=(-1)σ,

其中

特别地,若∀λi≥0,有Mr(d1,d2;λi)>0,则σ=0.

接下来令

∀s∈[0,1],定义

下面考虑如下问题

(9)

则U是方程(9)的非常数正解，当且仅当U是

W(U,s)=U-(I-Δ)-1(D-1(s)F(U)+U)

(10)

的解.其中

DUG(d1,d2;Ur)=I-(I-Δ)-1(D(1)-1Jr(U)+I),r=1,2,

因此,∀s∈[0,1],W(U,s)=0在U∈∂Σ上无解.根据度的同伦不变性[12]可得

deg(W(U,1),Σ,0)=deg(W(U,0),Σ,0).

(11)

indexW(U1,1)=indexG(d1,d2;U1)=(-1)dimE(λ0)+σq=1,

(12)

indexW(U2,1)=indexG(d1,d2;U2)=(-1)0=1.

(13)

(14)

(15)

结合式(12)～(15)可得

deg(W(U,1),Σ,0)=indexW(U1,1)+indexW(U2,1)=2,

deg(W(U,0),Σ,0)=indexW(U1,0)+indexW(U2,0)=0,

这与式(11)矛盾,故假设不成立,定理5得证.

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编辑、校对：师琅

文章编号:1006-8341(2016)02-0141-07

DOI：10.13338/j.issn.1006-8341.2016.02.002

收稿日期：2015-10-16

基金项目:国家自然科学基金资助项目(663369)

通讯作者:李艳玲(1963—),女,陕西省西安市人,陕西师范大学教授,研究方向为反应扩散方程理论及其应用.

中图分类号：O 175.26

文献标识码：A

The coexistence of a modified Holling-Ⅳ type predator-prey model with Michaelis-Menten type prey harvesting

ZHOUXiangyu,LIYanling

(College of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi′an 710119,China)

Abstract:The existence of positive solution of the steady-state system for a modified Holling-Ⅳ type predator-prey model with Michaelis-Menten type prey harvesting is studied. Firstly, by the maximum principle and Harnack inequality, a priori estimates of the steady-state system is given. Secondly, the non-existence of the nontrivial nonnegative steady-state solution is given by using Poincare inequality. Finally, by the L-S degree theory, the existence of the nontrivial nonnegative solution of the steady-state system is obtained. The results show that the predator and prey can coexist under the certain conditions.

Key words:predator-prey model; priori estimates; L-S degree theory;coexistence

E-mail:yanlingl@snnu.edu.cn

引文格式：周翔宇,李艳玲.一类带Michaelis-Menten收获项的改进的Holling-Ⅳ型捕食-食饵模型的共存解[J].纺织高校基础科学学报,2016,29(2)：141-147.

ZHOU Xiangyu,LI Yanling.The coexistence of a modified Holling-Ⅳ type predator-prey model with Michaelis-Menten type prey harvesting[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(2):141-147.