Boussinesq方程的怪波解

刘芝镗，斯仁道尔吉

(内蒙古师范大学 数学科学学院，内蒙古 呼和浩特 010022)



Boussinesq方程的怪波解

刘芝镗，斯仁道尔吉

(内蒙古师范大学 数学科学学院，内蒙古 呼和浩特 010022)

摘要：通过拓展同宿试验法，构造了测试函数，借助Mathematica符号计算系统，给出了Boussinesq方程的精确解。应用同宿呼吸子极限方法，得出Boussinesq方程的呼吸子孤立波解和有理呼吸波解，并发现有理呼吸波解恰好是Boussinesq方程的怪波解。

关键词：Boussinesq方程；同宿试验法；同宿呼吸子极限法；怪波解

0引言

真实怪波在海洋学[1]、超流体[2]、光学纤维[3-4]和经济学[5]等诸多领域内都存在，从而引起人们的极大关注。随着对怪波的深入研究，相继提出了寻找非线性方程怪波解的反散射方法[6]、Darboux变换法[7]、代数几何解[8]和Hirota方法[9]等具体方法。

Boussinesq方程及其变形方程作为波传播形变的数学模型，在浅水波的研究中有着广泛应用。对于Boussinesq方程，文献[10]利用双函数法给出了新的显式精确行波解。文献[11]利用G′/G展开法给出了其精确解。文献[12]利用首次积分法求出其精确尖波解。文献[13]通过对同缩轨道的研究给出了其周期解等。此外，对于各类变形Boussinesq方程也有许多研究，如文献[14]利用F-展开法求出了变形Boussinesq方程组的周期解；文献[15]利用简化齐次平衡方法求出了变形Boussinesq方程组的多重孤波解、有理函数解及周期解；文献[16]研究了广义Boussinesq方程光滑解的整体存在性与解的稳定性；文献[17]研究了系列Boussinesq方程的Painlevé性质与Bäcklund变换等。

本文旨在研究Boussinesq方程的怪波解，即由Boussinesq方程的平凡解出发，利用文献[18]所提出的拓展同宿试验法(extended homoclinic test approach，EHTA)求出Boussinesq方程的精确解，再利用文献[19]所提出的同宿呼吸子极限法(homoclinic breather limit method，HBLM)对所得出的呼吸子孤立波解取极限，给出Boussinesq方程的怪波解。本文所给出Boussinesq方程怪波解的结果有助于了解和解释Boussinesq方程描述的物理现象的本质属性。

1 Boussinesq方程的精确解

考虑Boussinesq方程：

utt+αuxx+β(u2)xx+γuxxxx=0，

(1)

其中：α,β,γ都是非零的常数。

通过Painlevé分析，取Boussinesq方程的平凡解u0，并引入变换

(2)

其中：f为关于x和t的实函数。

将式(2)代入方程(1),积分两次并令积分常数为0，方程(1)化为：

(3)

根据Hirota双线性算子

(4)

方程(3)写成双线性形式：

(Dt2+(α+2u0β)Dx2+γDx4)f·f=0。

(5)

根据EHTA，取测试函数

f=e-P(x-wt)+b1cos(p1(x+w1t))+b2ep(x-wt)，

(6)

其中：p，p1，w，w1，b1，b2为待定系数。

将测试函数(6)代入式(5)并令sin(p1(x+w1t)),cos(p1(x+w1t)),ejp(x-wt),sin(p1(x+w1t))ejp(x-wt),cos(p1(x+w1t))ejp(x-wt)的系数为0，则得到关于p,p1,b1,b2,w,w1的非线性代数方程组：

(7)

利用Mathematica符号计算系统对方程组(7)进行求解，并一一列出与此相应的方程(1)的精确解:

b2>0，b1为任意参数。

方程(1)的解为：

(8)

b2>0，p1为任意参数。

方程(1)的解为：

(9)

b1为任意参数。

方程(1)的解为：

(10)

2Boussinesq方程的怪波解

令方程组(7)中p=p1，得到以下方程组：

(11)

由方程组(11)化简求出：

(12)

其中：w1,w,b2为自由常数。

(13)

(14)

将式(13)和式(14)代入式(2)，方程(1)的解为：

(15)

(16)

对于式(16)，令b2=1，得到：

(17)

(18)

式(18)是Boussinesq方程的有理解并且是呼吸子类型的解。当x→±∞时，上述解趋于0。并且Uroughwave的振幅在短时间内是周围波振幅的2倍到3倍，所以它还是短时间内形成的怪波，因此式(18)是Boussinesq方程的怪波解。

3结束语

本文首先通过拓展同宿试验法得到Boussinesq方程的3个精确解，再利用同宿呼吸子极限方法，将其中的呼吸子孤立波通过取周期无穷大找到Boussinesq方程的有理呼吸子解，这个解恰好是Boussinesq方程的怪波解。

参考文献：

[1]MULLER P,GARRETT C,OSBORNE A.Rouge waves[J].Oceanography,2005,18:66-75.

[2]EFIMOV V B,GANSHIN A N,KOLMAKOV G V,et al.Rouge waves in superfluid helium[J].The European physical journal (special topics),2009,373:675-678.

[3]SOLLI D R,ROPERS C,KOONATHE P,et al.Optical rouge wave[J].Nature,2007,450:1054-1057.

[4]BLUDOV Y V,KONOTOP V V,AKHMEDIEV N.Rouge waves as spatial energy concentrators in arrays of nonlinear waveguids[J].Optics letters,2009,34(19):3015-3017.

[5]YAN Z Y.Vector financial rouge waves[J].Physics letters a,2011,375:4274-4279.

[6]BERTOLA M,TOVBIS A.Universality for the focusing nonlinear Schrödinger equation at the gradient catastrophe point:rational breathers and poles of thetritronquéesolution to Painlevé I[J].Communications on pure applied mathematics,2013,66:678-752.

[7]HE J S,ZHANG H R,WANG L H,et al.A generating mechanism for higher order rouge waves[J].Physical review e,2013,87:052914.

[8]DUBARD P,MATVEEV V B.Multi-rogue waves solutions:from the NLS to the KP-I equation[J].Nonlinearity,2013,26(12):R93-R125.

[9]OHTA Y,YANG J K.Rogue waves in the Davey-Stewartson I equation[J].Physical review e,2012,86:036604.

[10]黄文华,张解放,盛正卯.Boussinesq方程的新显式精确行波解[J].浙江大学学报(理学版),2003,30(2):145-149.

[11]郭冠平.G′/G展开法求Boussinesq方程的新精确解[J].商丘师范学院学报，2010,26:68-71.

[12]马强,江波.首次积分法求Boussinesq方程的精确尖波解[J].数学的实践与认知,2012,42(17):211-215.

[13]DAI Z D,HUANG J,JIANG M R.Homoclinic orbits and periodic soliton for Boussinesq equation with even constraint[J].Chaos,solitons & fractals,2005,26(4):1189-1194.

[14]李保安,李修勇,李晓燕,等.变形Boussinesq方程组的周期波解和孤立波解[J].河南科技大学学报(自然科学版),2004,25(2):91-94.

[15]李伟,张金良.变形Boussinesq方程组的精确解[J].河南科技大学学报(自然科学版),2016,37(2):92-95.

[16]BONA J L,SACHS R L.Global existence of smooth solutions and stability waves for a generalized Boussinesq equation[J].Communications in mathematical physics,1988,118(1):15-29.

[17]WEISS J.The Painlevé property and bäcklund transformations for the sequence of Boussinesq equation[J].Journal of mathematical physics,1985,26(2):258-269.

[18]DAI Z D,WU F X,LIU J,et al.New mechanical feature of two-solitary wave to the KdV equation[J].Chinese physics letters,2012,29(4):1-2.

[19]XU Z H,CHEN H L,DAI Z D.Rouge wave for the (2+1)-dimensional Kadomtsev-Petviashvili equation[J].Applied mathematics letters,2014,37:34-38.

基金项目：国家自然科学基金项目(11261037,10461006);内蒙古自然科学基金项目(2014MS0111);内蒙古师范大学“十百千”人才培养工程基金项目(RCPY-2-2012-K-033);内蒙古师范大学研究生科研创新基金项目(CXJJS15073);内蒙古自治区研究生教育创新计划基金项目

作者简介：刘芝镗(1990-),女,山西平遥人,硕士生；斯仁道尔吉(1954-),男,蒙古族,内蒙古正蓝旗人,教授,博士,博士生导师,主要研究方向为孤立子与可积系统理论及应用.

收稿日期：2016-04-13

文章编号：1672-6871(2016)05-0067-04

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.05.015

中图分类号：O175.29

文献标志码：A