广义S变换时频谱SVD降噪的滚动轴承故障冲击特征提取方法

朱怡，蒋思源

（中国民航大学，天津 300300）

滚动轴承的故障常常表现为轴承工作表面的麻点、裂纹和剥落等局部损伤［1-2］，这些局部损伤在工作过程中会被撞击，从而产生周期性的冲击振动信号，该振动信号的频率即轴承故障特征频率，可用于对轴承故障的诊断。然而，旋转机械设备结构复杂且工作环境多样化，故障振动信号的冲击特征常被淹没在背景信号及噪声中。因此，有效地提取出故障冲击特征，是对滚动轴承相关故障进行诊断的关键［3-5］。

奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）降噪方法是一种高效的非线性滤波方法，对宽带噪声信号的去噪效果优异，适用于包含强噪声信号的滚动轴承振动信号去噪，然而，将一维的故障冲击时域信号有效地构造成Hankel矩阵是SVD降噪效果的关键。文献［6-8］将原始故障信号进行小波分解或EMD等处理后再利用分解分量构造Hankel矩阵，但这些方法都破坏了冲击信号的完整性，导致在低信噪比情况下冲击特征与噪声的奇异值难以区分，冲击特征提取困难。

广义S变换克服了短时Fourier变换窗函数以及连续小波变换基函数固定不变的缺点，是一种高效的自适应信号时频分析方法，适合分析非线性和非平稳信号，可以通过改变调节参数调节时频分辨率以得到冲击信号在时频域中良好的能量集中性，并且其逆变换完全无损［9-10］。以信号的广义S变换时频谱作为Hankel矩阵，既保留了信号的完整性，也提高了冲击特征信号的能量集中性，便于冲击特征信号奇异值与噪声信号奇异值分离。因此，将SVD降噪后的广义S变换时频谱进行广义S逆变换即可得到降噪后的轴承冲击特征信号。

1 广义S变换

对属于能量有限函数空间的信号x（t），其一维广义S变换（Generalized Stransformation，GST）［9］定义为

式中：τ为时移因子；f为频率；ω（τ，f）为高斯窗函数；k，p为调节因子，且k＞0，p＞0。相应地，广义S逆变换为

由（1）式可知，当k，p固定时，广义S变换的高斯窗函数的宽度随频率的变化而自适应地变化，说明该方法具备广泛的自适应性。另外，广义S变换可通过调节系数k，p以达到最佳的时频分辨率，当k=p=1时，广义S变换就退化为标准S变换。由（2）式可知，该方法是一种完全无损且可逆的时频变换，在处理非平稳信号时有非常明显的优势。

相应的，一维离散广义S变换及其逆变换分别定义为［10］

2 SVD降噪

设A为m×n的实数矩阵，其中m＞n，秩为r（r≤n），则必存在m×m的正交阵U和n×n的正交阵V使得

矩阵D的主对角线元素（σ1，σ2，…，σr，0，…，0）为A的奇异值，其主要反映A中各元素的能量集中情况。对于含噪声的时域冲击信号，其冲击成分在时频谱中能量比较集中，而噪声在时频谱中的能量比较分散，因此，其时频谱奇异值能有效地反映信号的冲击成分和噪声成分，且按σ1≥σ2≥…≥σj≥…≥σr的顺序依次排列。前i个奇异值主要反映信号的冲击成分，而较小的奇异值则反映噪声成分，因此，可以将较小的奇异值归零而保留奇异值较大的部分，从而消除噪声的干扰，提取出冲击成分。

为区分信号中冲击成分与噪声成分，自适应地选择奇异值阈值以达到最佳的降噪效果，文献［8］提出了基于奇异值差分谱的奇异值阈值确定方法，奇异值差分谱定义为

奇异值差分谱理论认为奇异值差分序列的最大突变点包含了冲击信号的重要信息，然而仅选择最大峰值点对应的奇异值进行信号重构会丢失一些弱冲击信号特征。为更好地保留信号的冲击特征成分，最大限度地抑制噪声成分，在此将奇异值差分谱中峰值群中最后一个峰值点序号对应的奇异值σi作为奇异值阈值。

峰值群定义为大于等于奇异值差分谱最大极大值点对应的序列号K且小于K+L序列号范围内所对应的极大值大于a倍最大极大值点的极大值点的集合。最后一个峰值点定义为峰值群集合内最靠近K+L序列号的极值点。经过多次的仿真及试验分析，L值取过大且a值取过小，奇异值阈值点会远离最大极大值点，包含的噪声会增多；L值取过小且a值取过大，奇异值阈值点会靠近最大极大值点，丢失冲击成分会增多。因此选择a=0.35，L=20比较合适。

将小于此阈值的奇异值置零，得到SVD降噪后的时频谱，再通过广义S逆变换得到时域冲击信号，其具体步骤为：

1）通过广义S变换得到时频谱矩阵A；

2）计算时频谱矩阵A的奇异值并得到奇异值差分谱bj；

3）选择奇异值差分谱bj峰值群最后一个峰值点对应的奇异σi作为阈值，并将奇异值小于此阈值的置零，得到降噪后的时频谱矩阵B；

4）利用广义S逆变换对时频谱矩阵B进行逆变换得到时域冲击信号。

3 仿真研究

根据轴承发生外圈故障时产生的冲击衰减信号构造仿真信号为

设s（t）的载波中心频率f=3 kHz，阻尼比ξ=0.1，故障特征频率fout=100 Hz，采样频率fs=12.8 kHz，采样点数为1 024。仿真信号的时域波形如图1所示。将高斯白噪声信号加入s（t）得到信噪比为-2 dB的仿真信号x（t），其时域波形如图2所示。

图1 外圈故障仿真信号s（t）Fig.1 Outer ring fault simulated signals s（t）

图2 信噪比为-2 dB的外圈故障仿真信号x（t）Fig.2 Outer ring fault simulated signal x（t）with-2 dB SNR

从图中可以看出，s（t）中存在明显的冲击信号衰减的特征以及冲击间隔（0.01 s），对应的冲击特征频率为100 Hz；而x（t）中的时域冲击信号完全被淹没在噪声信号中，仅从时域特征完全无法区分冲击特征时间间隔。直接对x（t）进行广义S变换（k=1，p=0.9），得到的时频谱如图3所示。

图3 信号x（t）的广义S变换时频谱Fig.3 The generalized S transform time-frequency spectrum of signal x（t）

由于冲击特征完全被淹没在噪声中，从广义S变换时频谱中仍然不能看出明显的冲击特征以及冲击间隔。对x（t）进一步处理，得到x（t）的广义S变换时频谱的奇异值及其差分谱，如图4所示。

图4 信号x（t）广义S变换时频谱的奇异值及其差分谱Fig.4 The singular value of generalized S transform timefrequ ency spectrum and difference spectrum with signal x（t）

从图中可以看出：奇异值随序号的增加逐渐减小，奇异值差分谱峰值群的最后一个峰值点对应的序号为11，取σ11为奇异值阈值进行SVD降噪，得到x（t）广义S变换时频谱SVD降噪后的时频谱如图5所示。从图中可以明显看出时频谱上的冲击特征以及冲击特征发生的时间点，恰好与理论值相符，且几乎不存在噪声信号，去噪效果很好。

图5 信号x（t）广义S变换时频谱SVD降噪后的时频谱Fig.5 The time-frequency spectrum with signal x（t）after generalized S transform time-frequency spectrum SVD denoised

对图5的时频谱进行广义S逆变换，结果如图6所示。从图中可以看出明显的时域冲击信号特征，冲击信号发生的时间点也与理论仿真信号相符，冲击间隔为0.01 s，噪声得到了非常好的抑制，冲击特征提取优异。仿真研究表明：基于广义S变换SVD降噪的冲击特征提取方法能很好地提取出故障信号的冲击特征，抑制强背景噪声。

图6 信号x（t）广义S变换时频谱SVD降噪后的信号Fig.6 The signal with signal x（t）after generalized S transform time-frequency spectrum SVD denoised

4 实际应用

为进一步验证该方法在滚动轴承故障冲击特征提取方面的有效性，并将其应用于实际的滚动轴承故障特征提取中。采用试验台数据进行分析［11］，利用电火花加工技术在支承电动机传动轴端的SKF 6205深沟球轴承内圈上设置单点故障。电动机转速为1 790 r/min，采用加速度传感器采集振动信号，采样频率fs=12 kHz，轴承内圈故障特征频率为158 Hz，对应的冲击间隔为0.006 s。

内圈故障振动信号的时域图及其广义S变换时频谱（k=1，p=1.1）如图7所示。从时域图中可以看出，内圈故障振动信号的冲击特征并不明显，冲击间隔难以确定；时频谱中的噪声比较强，时频分辨率受噪声影响较大，时频分辨率低。

图7 内圈故障振动信号的时域图及其广义S变换时频谱Fig.7 Time domainwaveform of and generalized S transform time-frequency spectrum of inner ring fault signal

内圈故障振动信号的广义S变换时频谱奇异值及其差分谱如图8所示。从图中可以看出，奇异值随坐标序号增加而减小，峰值群的最后一个峰值点对应的坐标序号为22，因此取σ22为奇异值阈值。

图8 内圈故障振动信号广义S变换时频谱的奇异值及其差分谱Fig.8 The singular value of generalized S transform timefrequency spectrum and difference spectrum with inner ring fault signal

内圈故障信号的广义S变换时频谱SVD降噪后的时频谱如图9所示，从图中可以看出噪声得到了很好的抑制，冲击特征明显。对其进行逆变换得到的时域图如图10所示，从图中可以看出Δt=0.006 s，很好的抑制了噪声信号，并突出表现出了冲击特征，冲击间隔恰好与理论的0.006 s相符合，说明该方法对于提取滚动轴承故障冲击特征非常的有效，抑制噪声能力强。

图9 故障信号广义S变换时频谱SVD降噪后的时频谱Fig.9 The time-frequency spectrum with fault signal after generalized S transform time-frequency spectrum SVD denoised

图10 故障信号广义S变换时频谱SVD降噪后的信号Fig.10 The signal with fault signal after generalized S transform time-frequency spectrum SVD denoised

5 结束语

广义S变换是一种时频分辨率高，时频谱能量集中，适合分析非平稳冲击信号的自适应时频分析方法。将该方法的时频谱系数矩阵作为SVD的Hankel矩阵，以奇异值差分谱峰值群最后一个峰值点对应的奇异值作为置零阈值，可利用广义S逆变换无损还原时域冲击信号。虽然冲击波形不可避免地会出现一定的变形与失真，但冲击特征得到了最大的保留，噪声也得到了最大的抑制，可通过冲击间隔获得滚动轴承故障特征频率，并有效应用于提取滚动轴承的微弱故障冲击特征。