浅谈“抛物线定义”教学的几点做法

吴建军 赵建丽

摘 要：在教学中不能忽略知识的产生和发展过程，只有让学生亲身经历了，才会有很深刻的印象和透彻的理解。正如“问渠哪得清如许，为有源头活水来”，少一些死记硬背，多一些理解记忆，才能灵活应用，真正提高学生的分析理解能力，这是在教学中应该坚持的方法。

关键词：动手操作；理解记忆；灵活应用

圆锥曲线中，椭圆和双曲线的概念都可以通过动手操作完成，并且操作简单方便，而抛物线的给出却不容易，这也是导致教师忽略的原因之一。正是动手操作的缺失，使得学生在遇到运用抛物线定义解题时，不能灵活。

比如下列一组题目：

1.动圆过点（1，0），且与直线x=-1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________________。

2.若点P到直线y=-1的距离比它到点（0，3）的距离小2，则点P的轨迹方程为________________。

3.设点F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则++=（ ）。

A.9 B.6 C.4 D.3

4.已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求PA+PF的最小值，并求出点P的坐标。

这些全都是利用抛物线定义来解的题目，有些学生不会，或者感觉很陌生，主要是对定义的由来没有深刻印象，因为缺少动手操作，缺少亲身经历。人教B版中抛物线定义的给出方式很好，但在实际课堂中常常因为各种原因，没有让学生实际操作，造成学生对抛物线的定义只是死记硬背，不会灵活应用。

针对这种现实情况，结合自身的教学实践，我摸索出了抛物线的定义教学的几点做法：

一、画抛物线

让学生亲自画抛物线，体会定义由来的方法，介绍如下：

1.工具

画抛物线的图象，需要借助铅笔，带刻度的直尺，圆规。

2.原理

到定直线距离相等的点在一条和定直线平行的直线上，然后从该直线上通过圆规画弧，找到该直线上到定直线和定点距离相等的两个点，最后用光滑的曲线将所找到的点连起来，便画出了一条抛物线。

3.具体做法

（1）为了便于找点，先令定点F到定直线l的距离为2，作直线l1与l的距离为1，以F为圆心，1为半径画弧，与l1交于一点P1；然后作直线l2与l的距离为2，以F为圆心，2为半径画弧，与l2交于两点P2，P3；再作直线l3与l的距离为3，以F为圆心，3为半径画弧，与l3交于两点P4，P5；以此类推，作直线l4，l5与l的距离为4，5，以F为圆心，4，5为半径画弧，与l4，l5交于点P6，P7，P8，P9等等，然后用光滑曲线联系起来。

（2）改变定点F到定直线l的距离为4，再画一遍。

（3）改变定点F到定直线l的距离为ρ，该如何处理？

画出图象，再去分析抛物线上的点满足的几何条件，给出抛物线的定义，学生易于接受，效果比较好。

二、抛物线标准方程的推导

在抛物线标准方程的推导中，我采取了放给学生，让学生自己推导的方法。

在教学中，学生给出了三种建系的方法，分别是以K，F及K，F的中点为坐标原点来建系，我把学生分成三组，分别去尝试推导，然后去比较三种方程形式的特点，最后确定以K，F的中点为坐标原点来建系比较方便和简洁。

1.以K为坐标原点建系，则F（p，0），l∶x=0，设抛物线上任意一点M（x，y），则M（x，y）到定直线l∶x=0的距离d=x，MF=，由抛物线定义可知x=化简得：y2=p2-2px。

2.以F为坐标原点建系，则F（0，0），l∶x=-p，设抛物线上任意一点M（x，y），则M（x，y）到定直线l∶x=-p的距离d=x+p，MF=，由抛物线定义可知x+p=，化简得：y2=p2+2px。

3.以K、F的中点为坐标原点建系，则F（，0），l∶x=-，设抛物线上任意一点M（x，y），则M（x，y）到定直线l∶x=-的距离d=x+，MF=，由抛物线定义可知x+=化简得：y2=2px。

通过三种不同建系方法下的方程的比较，让学生明确建系方法不唯一，只是每种建系方法对应于不同的抛物线的方程，根据数学中的简洁原则，我们选择了以K，F的中点为坐标原点建立直角坐标系；并且在推导过程中，学生了解了焦点坐标和准线方程都与有关系，而p的含义是焦点到准线的距离；另外也知道了方程中一次项的系数为什么是2p，有助于大家记忆抛物线的标准方程。

三、关于抛物线定义的应用

在应用抛物线定义时，遇到抛物线上的点到焦点的距离，要把它化为到准线的距离，究其原因是我们研究的抛物线的准线都是与坐标轴平行的直线，点到准线的距离比点到焦点的距离好表示，运算起来更加简便。但是不转化也可以解决问题，比如求抛物线y2=4x上的点P（3，y0）到抛物线焦点F的距离。

解法一：抛物线的准线方程为x=-1，抛物线y2=4x上的点P（3，y0）到抛物线焦点F的距离即到准线的距离d=3-（-1）=4。

解法二：抛物线焦点F（1，0），将点P（3，y0）带入抛物线y2=4x中的，y02=12，y0=±2，设P（3，2）则，PF==1即点P（3，y0）到抛物线焦点F的距离为4。

开篇提到的几个题目，在学生理解和掌握了定义由来和标准方程的推导之后，就很简单了。我们在教学中不能忽略知识的产生和发展过程，只有让学生亲身经历了，才会有很深刻的印象和透彻的理解。正如“问渠那得清如许，为有源头活水来”，少一些死记硬背，多一些理解记忆，才能灵活应用，真正提高学生的分析理解能力，是在教学中应该坚持的方法。

编辑 李琴芳